Többváltozós analízis gyakorlat, megoldások

Átírás

1 Többváltozós analízis gakorlat, megoldások Általános iskolai matematikatanár szak 7/8. őszi félév. Differenciál- és integrálszámítás alkalmazásai. Határozzuk meg az alábbi differenciálegenletek összes, valamint a megadott feltételeket kielégítő megoldásait! a = Olan intervallumokon keressük, ahol / I.. konstans megoldások: = I = I.. I = ln = ln + c = ec Összes megoldás: = c, c R, D =, + vag D =,. ábra. a feladat b = I R intervallumokon keressük.. konstans megoldás: nincs, ui. = I =. = = + c Összes megoldás: = + c és = + c, D = c, c c R +. ábra. b feladat

2 c =, = I R intervallumokon keressük.. konstans megoldások: = I = I, D = R. I = ln = Összes megoldás: = c e, c R, D = R + c = e e c 3. Kezdetiérték-feladat: = c e = c = e = e d = 4 3. ábra. c feladat I R intervallumokon keressük.. konstans megoldások: = I = I, D = R. I = = + c Összes megoldás: = + c, D = R, ha c, és D = c, + vag D =, c, ha c < 4. ábra. d feladat e = λ λ R, = I R intervallumokon keressük.. konstans megoldások: = I = I, D = R. I = λ ln = λ + c = eλ e c Összes megoldás: = e λ c, c R, D = R 3. Kezdetiérték-feladat: = c = = e λ, D = R f + e = e

3 5. ábra. e feladat I R intervallumokon keressük.. konstans megoldások: = I = I, D = R. I = e +e ln = ln + e + c = + e e c Összes megoldás: = + e c, c R, D = R 6. ábra. f feladat g = + I R intervallumokon keressük. Alkalmazzuk a z = + helettesítést! Ekkor z = z z +z = arctan z = + c, c R, + c π, π z = tan + c = tan + c, c R, D = π c, π c h + = + e, = e 7. ábra. g feladat 3

4 Olan intervallumokon keressük, ahol / I.. homogén egenlet megoldása: = ln = ln + c = e c = c, c R ha I =. inhomogén egenlet megoldása = c alakban, behelettesítve: c c + c = + e c = + e, parciális integrálással c = e + K, K R Összes megoldás: = e + K, K R, D =, + vag D =, 3. Kezdetiérték-feladat: = e e + K = e K = = e, D =, + 8. ábra. h feladat i π = sin, = Olan intervallumokon keressük, ahol / I.. homogén egenlet megoldása: = ha I = ln = ln + c = e c = c, c R. inhomogén egenlet megoldása = c alakban, behelettesítve: c + c c = sin c = sin c = cos + K, K R Összes megoldás: = cos + K, K R, D =, + vag D =, 3. Kezdetiérték-feladat: π = K π = K = π = cos + π, D =, + 9. ábra. i feladat j + = 3, = 5 6 4

5 Olan intervallumokon keressük, ahol / I.. homogén egenlet megoldása: = ha I ln = ln + c = e c = c, c R. inhomogén egenlet megoldása = c c c 3 + c 3 alakban, behelettesítve: = 3 c = 5 c = K, K R = Összes megoldás: = K, K R, D =, + vag D =, 3. Kezdetiérték-feladat: = K = 5 6 K = = 6 4, D =, +. ábra. j feladat k + = e sin, = I R intervallumokon keressük.. homogén egenlet megoldása: = ha I = ln = + c = e c e = c e, c R. inhomogén egenlet megoldása = c e alakban, behelettesítve: c e c e + c e = e sin c = sin, parciális integrálással c = cos + sin + K, K R Összes megoldás: = cos + sin + K e, K R, D = R 3. Kezdetiérték-feladat: = K = = cos + sin + e, D = R. ábra. k feladat 5

6 3. Kétváltozós függvének 6. Ábrázoljuk a következő függvének szintvonalait! Készítsünk a függvének grafikonjairól térbeli rajzot! a f, = + ;. ábra. f, = + b f, = + ; ábra. f, = + 6

7 c f, = ; ábra. f, = d f, = + ; 5 5. ábra. f, = + e f, = ; f f, =. 7

8 ábra. f, = 4 7. ábra. f, = 4. Parciális deriválás. Adjuk meg az alábbi függvének parciális deriváltfüggvéneit! a f, = f, =, f, = b f, = f, =, f, = c f, = + + f, =, d f, = f, = + f, = , f, = e f, = f, = f f, = sin +, f, = f, = cos +, f, = cos + g f, = e f, = e, f, = e 8

9 h f, = cos f, = cos 3 sin, f, = cos 3 sin i f, = ln + f, = ln + + +, j f, = sin f, =, sin f, = k f, = f, = ln cos sin f, = ln, f, = ln l f, = f, = , f, = m f, = + f, = n f, = arctan f, = +, f, = o f, = arcsin arccos f, = p f, = arcsin arccos f, =,, f, = + + arccos f, = ln, f, = arccos arccos. Adjuk meg az alábbi függvének első- és másodrendű parciális deriváltfüggvéneit! a f, = arcsin f, = 3 6 +, f, = f, = 6 6, f, = f, = 6 +, f, = + 6 b f, = + f, = +, f, = + f, = 4 +, 3 f, = f, = +, 3 f, = c f, = sin cos f, = cos cos, f, = sin sin f, = f, = sin cos, f, = f, = cos sin d f, = + f, = +, f, = + f, = 6 +, 3 f, = f, = 8 +, 3 f, = e f, = ln + f, =, f, = f, = f, = f f, = e 4, f, = f, = + f, = f, = e f, = f, = f, = f, = e 9

10 5. Kétváltozós szélsőértékszámítás. Állapítsuk meg a következő függvénekről, hog van-e lokális szélsőértékük, és ha igen, hol, és ezek mekkorák! a f, = f, = 3, 3 és f, =. f zérushelei a, és az 3 6, pontok. A, pontban f, indefinit det f, = 9 <, íg itt neregpontja van f-nek, az, pontban pedig f, pozitív definit det f, = 7 és a mátri bal felső eleme pozitív, íg itt lokális minimuma van f-nek, f, =. b f, = f, = 4 3 4, , f 4, = 4. f zérushelei a,, ±, pontok. A, pontban f, indefinit det f, = 6 <, íg itt f-nek neregpontja van. A ±, pontokban f ±, ± pozitív definit det f ±, ± > és a mátri bal felső eleme pozitív, tehát ezekben a pontokban f-nek lokális minimuma van, f, =, f, =. c f, = e f, = e , e f zérushelei a, és 4,. Mivel f, = pozitív definit det f, = > és a mátri bal felső eleme pozitív, ezért, lokális minimumhel, f, =. 4 9 f 4, = e 3 indefinit det f 9 4, = e 6 <, ezért 4, neregpont. d f, = ln ln ; f, = + 4, +, f, = f zérushelei az, és, pontok, de f értelmezési tartomána miatt csak az, jöhet szóba. Mivel f, pozitív definit det f, = 6 > és a mátri bal felső eleme 6 pozitív, ezért, lokális minimumhel, f, = 7 ln. e f, = 6 4 f, = 6 4, 6 4, f zérushelei a,,, 4, 6,, 6, 4 és 3, pontok. f 4 6 4, = 6 4. Können 6 látható, hog det f, = det f, 4 = det f 6, = det f 6, 4 = 4 <, ezért ezeken a heleken nincs lokális szélsőértéke f-nek. Másrészt f 3, negatív definit det f 3, = 8 8 > és a mátri bal felső eleme 8 negatív, ezért 3, lokális maimumhel, f3, = 36. f f, = + f, =, 4, f, =. f zérushele az 4, pont. Mivel f, pozitív definit det f, = 8 > és a mátri bal felső eleme pozitív, ezért, lokális minimumhel, f, = 7 4. g f, = f, =, +, f, =. f zérushele az, pont. Mivel f, pozitív definit det f, = 4 > és a mátri bal felső eleme pozitív, ezért, lokális minimumhel, f, = 4. h f, = f, = 3 6 +, +, f, =. f zérushelei a,, 8 3, 8 3 pontok. A, pontban f, indefinit det f, = 6 <, íg itt f-nek

11 neregpontja van. A 8 3, 8 3 pontban f 8 3, 8 3 pozitív definit det f 8 3, 8 3 > és a mátri bal felső eleme >, tehát ebben a pontban f-nek lokális minimuma van, f 8 3, 8 3 = i f, = f, = +, 3 8 +, f, =. f zérushelei a 6 8,,, pontok. A, pontban f, negatív definit det f, = > és a mátri bal felső eleme negatív, íg itt f-nek lokális maimumhele van, f, =. A, pontban f, indefinit det f, = <, tehát ebben a pontban f-nek neregpontja van. j f, = 3 + e f, = e, e Látható, hog az első parciális derivált sehol sem, tehát a függvénnek nincs lokális szélsőértéke.. Szöveges feladatok szélsőértékszámításra tartomán alatt itt mindig zárt halmazt értünk. a Határozzuk meg a z = 4 egenletű felület z része és az -sík által határolt térrészbe írható maimális térfogatú téglatest oldalait, ha a téglatest oldalai párhuzamosak a koordinátasíkokkal! 8. ábra..a feladat Ha a téglatest megadott felületen fekvő P csúcsának koordinátái,, 4, >, akkor a téglatest oldalai,, 4, íg térfogata f, = 44 = Ennek maimumát keressük a T = {, :,, + 4 } tartománon. Mivel az f függvén értéke a határokon mindenütt, belül pozitív, ezért a maimumhel csak lokális szélsőértékhel lehet. f, = 44 3, 44 6, aminek zérushelei, figelembevételével, és, de ez utóbbi nilván nem maimumhel. Ezért, lokális maimumhel, tehát a keresett téglatest oldalai,,. b Határozzuk meg az f, = függvén minimumát és maimumát az és tengelek, valamint az + = egenletű görbe által határolt tartomán. síknegedbe eső részén! f, =,. Mivel f, = indefinit minden, -ra, ezért f- nek nincs lokális szélsőértékhele. Az f értékei a megadott tartomán határain a következők: az tengelen f,, az tengelen f,, a köríven pedig f, =. Tehát f minimuma f, =, maimuma f, =. c Határozzuk meg az f,, z = sin sin sin z függvén maimumát, ha,, z eg háromszög szögei! A feltétel szerint z = π, íg sin z = sinπ = sin +. Tehát az g, = sin sin sin + függvén maimumát keressük a T := {, :,, + π} tartománon. Mivel az g függvén értéke a határokon mindenütt, belül pedig felvesz pozitív értéket, ezért a maimumhel lokális szélsőértékhel lesz. g, = cos sin sin + + sin sin cos +, sin cos sin + + sin sin cos +

12 9. ábra..b feladat = sin sin +, sin sin +. Mivel maimumhelet keresünk, ezért sin sin, íg az g zérusheleinek megtalálásához a sin + = és sin + = egenleteket kell megoldanunk. Ezekből + = kπ, k Z, de mivel háromszög szögeiről van szó, ezért csak k = lehet, tehát + = π. Hasonlóan, a másik egenletből + = π. Íg = = π 3, amiből a keresett függvénmaimum g π 3, π 3 = d Határozzuk meg az f, = 3 függvén minimumát és maimumát az -tengel, az = és az = görbék által határolt tartománon!. ábra..d feladat f, =, 3, íg lokális szélsőértékhel csak a 3, pontban lehet, ami a tartomán határán van. Az f értékei a megadott tartomán határain a következők: az tengelen f, =, az = egenesen f, = 4, a görbén pedig f, = 3, [, ]. Ez utóbbi egváltozós függvén lokális szélsőértékhelei az =, = pontokban vannak, itt =, =, itt f, =, f, =. Az f függvén tehát legkisebb értéke f, =, legnagobb értéke f, 4 = Ívhossz, vonalintegrál. Határozzuk meg a következő görbék ívhosszát! a g : [, π] R, gt = r cos t, r sin t r > körvonal Mivel g t = r sin t, r cos t, íg sg = π g t dt = π π r sin t + r cos t dt = r dt = πr.

13 b g : [, π] R, gt = rt r sin t, r r cos t r > ciklois Mivel g t = r r cos t, r sin t, íg π π sg = g t dt = = π r sin t π dt = r r cos t + r sin t dt = r sin t dt = r [ cos t c g : [, π] R, gt = r cos 3 t, r sin 3 t r > asztroid Mivel g t = 3r cos t sin t, 3r sin t cos t, íg sg = = π π = 6r g t dt = π 3r cos t sin t dt = [ ] π cos t g t dt = π = 4 3r = 6r. π 3r sin t dt = 4 π ] π cos tdt = 4rcos π cos = 8r. 9r cos t sin tcos t + sin t dt π 3r sin t dt d g : [, h] R 3, gt = t, r cos t, r sin t h, r > csavarvonal Mivel g t =, r sin t, r cos t, íg sg = h g t dt = h + r dt = h + r.. Legen f : [, 4] R, f = 3 3. Határozzuk meg f grafikonjának ívhosszát! A grafikon legkézenfekvőbb paraméterezése g : [, 4] R gt = t, ft. Emiatt g t =, f t, tehát sg = f t dt = + t dt = 3. Számítsuk ki az g f vonalintegrált, ha f, = +, 4 + és [ ] 4 t dt = t 3 = a g : [, π] R, gt = cos t, sin t Mivel g sin t t = sin t, cos t és fgt = cos + sin t, cos t = sin t, cos t, cos + sin t íg π π π f = fgt, g t dt = sin t + cos t dt = dt = π. g b g : [, π] R, gt = cos t, sin t Mivel g t = sin t, cos t és fgt = sin t, cos t, íg g f = π fgt, g t dt = π sin t cos t dt = sin t cos + sin t, π cos t cos + sin t dt = π. 4. Legen g a felső félsíkba eső, origó középpontú egség sugarú félkörív pozitív iránítással, továbbá legen f, =,. Számítsuk ki az g f vonalintegrált! A g görbe eg paraméterezése g : [, π] R, gt = cos t, sin t. Ekkor fgt = sin t, cos t és g t = sin t, cos t, íg π π π f = fgt, g t dt = sin t + cos t dt = dt = π. 5. Legen g a g,, pontokat összekötő egségsugarú körív negatív iránítással, to- +,. Számítsuk ki az g f vonalintegrált! vábbá legen f, =, = 3

14 A g görbe eg paraméterezése g : [ π 4, ] π 4 R, gt = cos t, sin t. Ekkor fgt =, tg t és g t = sin t, cos t, íg π π π 4 f = fgt, g 4 4 t dt = sin t + tg t cos t dt = sin t + sin t dt =. g π 4 π 4 6. Legen g a,,, pontokat összekötő szakasz a, pont felé iránítva, továbbá legen f, = cos, cos. Számítsuk ki az g f vonalintegrált! A g görbe eg paraméterezése g : [, ] R, gt =, + t, = t, t. Ekkor fgt = cos t, cos t és g t =,, íg f = fgt, g t dt = cos t + cos t dt = [sin t + sin t] g = sin + sin sin sin =. π 4 7. Kétdimenziós integrál. Határozzuk meg az f : R R függvének integrálját a T tartománon! a f, := +, T := [, ] [3, 4] T f, dd = d + 7 d = [ + 7 ] = 5. b f, := ep +, T := [, ] [, ] T f, dd = e e + = e. e+ d c f, := +, T := [, ] [, 3 ] T f, dd = 3 + d [ π 3 d = π 3 ] 3 3 = π 9. d f, := cos +, T := [ ] [ ], π, π T f, dd = π sin + π d = [ + ] =4 d = = d = d = [e+ ] = = d = e+ e d = [ e + e ] = d = [ arctg ] = 3 d = π = 3 d = π cos + d d = π sin d = [ cos + π + cos ] π π π [ sin + π + sin ] π = π. e f, := sin +, T := [, ] [ π, π ] T f, dd = π π sin + d [ sin + π ]= = d = π cos + π + cos d = d = π 4 π cos + π cos d = 4 [sin + ] π π sin =. f f, := ep, T := [, ] [, ] T f, dd = [ cos + ] = π = d = e d d = [ e ] = = d = e d = 4

15 [ e] [ e ] = e 4 e + 4 = 4 e. g f, :=, T := [, a] [, a] a R + ++ T f, dd = a [ ln ++a + ] a a = ln +a +a d ++ d = a + ln + a = ln +a+a +a. [ ++ ] =a = d = a. Határozzuk meg az f : R R függvének integrálját a T tartománon! a f, := +, T := {, R : [, ], } T f, dd = + d d = ++a + d = [ + 3 3] = = d =. ábra..a feladat d = [ ] = b f, := 3 +, T a K := {, R : + = 4, }, a K := {, R : + + =, }, és a K 3 := {, R : + =, } félkörök által határolt tartomán T f, dd = d d d d = [ ] = 4 [ d + = ] = 4 d = = d +. ábra..b feladat 5

16 d = 8. c f, := + +, T := {, R : [, ], 3 } T f, dd = d d = + arctg 3 arctg d = 3. ábra..c feladat [ + arctg 3 arctg ] π 3 π [ + ln arctg 3 ] + ln = ln + π 8. d f, := +, T f, dd = r e + e d + r [ e e ] r d [ + ln + ] = π T := {, R : [ r, r], e + e } e +e + d d = r [ r + ] =e +e d = d = π ln arctg 3 + d = r r = r r e + e r + d = e + e d = r e e d = [ e e e + e + e e ] r = r e r e r r e r + e r + e r e r. r r 4. ábra..d feladat 6