Szabályos fahengeres keresztmetszet geometriai jellemzőinek meghatározása számítással

Átírás

1 Szabályos fahengeres keresztmetszet geometriai jellemzőinek meghatározása számítással Előző dolgozatunkban jele: ( E ), címe: Szimmetrikusan szélezett körkeresztmetszet geometriai jellemzőinek meghatározása számítással már mintegy előkészítettük az itteni feladat megoldását is; az ottani eredményeket itt is felhasználjuk, ( E / ) hivatkozással. z itt tanulmányozandó kétszeresen szimmetrikus keresztmetszetet az 1. ábra mutatja. FELT: dott:, h, az 1. ábra szerint. eresett: a keresztmetszet minden lényeges geometriai jellemzője. 1. ábra MEGOLÁS: a 1.) k a? z 1. ábra szerint is: a Rsin 1; ( 1 ) R h h h cos ( ) R R Most ( ) - ből: h 1 arccos 1, ( 3 ) majd ( 1 ) és ( 3 ) - mal:

2 h a sin arccos 1. smerősebb képletre jutunk így: h h h sin 1 1cos , majd ( 1 ) és ( 5 ) - tel: h h a 1. ( ) ( 5 ) ( 6 ) efiníció szerint: a k a, ( 7 ) most pedig ( 6 ), ( 7 ) - tel: h h ka 1. ( 8 ) Majd ( 7 ) és ( 8 ) - cal: a ka. ( 9 ) ( 8 ) függvény grafikonját a. ábra szemlélteti. ( 8 ) függvény értéktáblázatát ld. az 1. táblázatban! grafikon és a táblázat készítéséhez figyelembe vettük, hogy az 1. ábra szerint is: max 5, ( 10 ) majd ( ) szerint: cos cos 5 h 1, ( 11 ) innen: h 1 1 0, ( 1 ) Eszerint fennáll az alábbi korlátozás: h 0 0,16. ( 13 )

3 3 ka f(x)=*sqrt(x*(1-x)) h / ábra x f(x) f'(x) f''(x) 0 0 0,01 0, , , ,0 0, , ,1573 0,03 0,3117 5, , ,0 0,391918, , ,05 0,358899,1983-8,9809 0,06 0, , ,3991 0,07 0, , , ,08 0,5586 3, , ,09 0,573635, , ,10 0, , , ,11 0,657795, ,3891 0,1 0,69931, , ,13 0,676069, ,1569 0,1 0,693971, , ,15 0,7118 1, , táblázat: ( 8 ) képlet, ill. a. ábra függvényének, valamint első és második deriváltjának értéktáblázata, mely a Graph programmal készült ld.: [ 1 ]!

4 .) k? z ( E ) - beli keresztmetszeti területet - vel jelölve: ~ két leeső körszelet területe: 1 '; ' ; ~ négy leeső körszelet területe: 1 ~ a maradó keresztmetszeti terület: ' '. ( 1 ) efiníció szerint: k, így ( 1 ) és ( 15 ) - tel: ' ' k 1 k 1, tehát ( 15 ) k k 1. ( 16 ) Most ( E / 1 ) szerint: h 1 h k arcsin 1 sin arcsin 1, így ( 16 ) és ( 17 ) - tel: h 1 h k arcsin 1 sin arcsin 1 1. ( 17 ) ( 18 ) Végül ( 15 ) és ( 18 ) szerint: k. ( 19 ) ( 18 ) függvény grafikonját a 3. ábra szemlélteti. ( 18 ) függvény értéktáblázatát ld. az. táblázatban!

5 5 k f(x)=(/pi)*(asin(1-*x)+0.5*sin(*asin(1-*x))) h / 3. ábra x f(x) f'(x) f''(x) 0 1, ,01 0,9933-1, ,163 0,0 0, ,603-3,931 0,03 0, , ,061 0,0 0,9633-1,9960-3, ,05 0,953 -,1997-1,0319 0,06 0,9001 -,190-18, ,07 0, , , ,08 0, , ,7693 0,09 0,8169 -,9150-1,5991 0,10 0,7918-3, ,581 0,11 0, , , ,1 0,7811-3, , ,13 0,693-3,556-11,0651 0,1 0,6596-3, ,5679 0,15 0,6376-3, ,980. táblázat: ( 18 ) képlet, ill. a 3. ábra függvényének, valamint első és második deriváltjának értéktáblázata, mely a Graph programmal készült ld.: [ 1 ]!

6 6 3.) k? Jelöljük az ( E ) x, y mennyiségeit x, y - vel! Ezek segítségével: ~ az alsó és felső körszelet másodrendű nyomatéka az x tengelyre: x,1 x ; ~ a bal és jobb oldali körszeletre ugyanez: x, y ; ~ a vizsgált keresztmetszetre tehát:, x x,1 x, x y x y tehát. (0 ) x x y efiníció szerint: x k, x majd (0) és ( 1 ) - gyel: k 1 k k 1, x y x y x x y x x y ( 1 ) tehát k k k 1. ( ) vizsgált keresztmetszetre még fennáll az ( 3 ) x y összefüggés is, így ( ), ( ), ( 3 ) - mal írhatjuk, hogy k k k k k 1. ( ) x y x y Ezután felírjuk ( ) - hez ( E / 18 ) és ( E / 3 ) - mal: h 1 h k x arcsin 1 sin arcsin 1 ; ( 5 ) h h 1 h k y arcsin 1 sin arcsin 1 sin arcsin 1 ; 3 1 ( 6 )

7 7 k k 1 x y h h 1 h arcsin 1 sin arcsin 1 sin arcsin 1 1, 3 6 ( 7 ) ezután ( ), ( 5 ), ( 6 ) és ( 7 ) - tel: h h 1 h k arcsin 1 sin arcsin 1 sin arcsin Most már ( 1 ) és ( 8 ) - cal: ( 8 ) k. ( 9 ) 1 k f(x)=(/pi)*(*asin(1-*x) *sin(*asin(1-*x)) *sin(*asin(1-*x))) h / ábra

8 8 x f(x) f'(x) f''(x) 0 1, ,01 0, ,9736-9, ,0 0,9630 -, ,8933 0,03 0, ,0550-3, ,0 0,8993-3, ,1306 0,05 0, , , ,06 0,8197 -,1100-0, ,07 0, ,957-16,5 0,08 0, ,0-1, ,09 0, , ,0637 0,10 0,6515 -,678-7,6058 0,11 0, , , ,1 0, , ,6970 0,13 0,5039 -,788 -,1337 0,1 0,5536 -,799-0, ,15 0,0735 -, , táblázat: ( 8 ) képlet, ill. a. ábra függvényének, valamint első és második deriváltjának értéktáblázata, mely a Graph programmal készült ld.: [ 1 ]! ( 8 ) függvény grafikonját a. ábra szemlélteti. ( 8 ) függvény értéktáblázatát ld. az 3. táblázatban!.) k? Minthogy ( 3 ) fennáll, valamint e e e R h, ( 30 ) x y ezért x y. e R h efiníció szerint: k. ( 31 ) ( 3 ) Részletezve, ( 1 ), ( ), ( 9 ), ( 30 ), ( 31 ), ( 3 ) - vel: R 1 1 k R h k k, R h h h 1 1 R R tehát 1 k k. h 1 ( 33 )

9 9 majd ( ), ( 8 ) és ( 33 ) - mal: ( 3 ) h h 1 h arcsin 1 sin arcsin 1 sin arcsin k h 1 Végül ( 3 ), ( 35 ) - tel: ( 35 ) k. ( 36 ) k f(x)=((/pi)(*asin(1-*x) *sin(*asin(1-*x)) *sin(*asin(1-*x)))-1)/(1-*x) h / ábra ( 35 ) függvény grafikonját a 5. ábra szemlélteti. ( 35 ) függvény értéktáblázatát ld. a. táblázatban!

10 10 szélsőérték helye és nagysága, a Graph program szolgáltatásai szerint: x max = ; f ( x max ) = Ezek elvileg nem, gyakorlatilag azonban megegyeznek az ( E ) megfelelő értékeivel: x* max = ; f *( x max ) = , ahol * - gal jelöltük a k x - re vonatkozó adatokat. % - os eltérések: ~ x max - ra: mintegy 3,1 %; ~ f( x max ) - ra: mintegy 0,01 %, ahol viszonyítási alapnak az ( E ) - beli adatokat vettük. x f(x) f'(x) f''(x) 0 1, ,01 1, ,0098-9, ,0 1, ,7573-6,3711 0,03 0,999-1, ,3317 0,0 0,9775-1, , ,05 0, , , ,06 0,9306 -,580-35,107 0,07 0, , ,5550 0,08 0,876-3,011-30, ,09 0,890-3, ,3513 0,10 0,8063-3, ,569 0,11 0,7671 -, , ,1 0,7501 -,3977-7,7586 0,13 0, ,6779-7,8989 0,1 0,635 -, ,3518 0,15 0, , ,1016. táblázat: ( 35 ) képlet, ill. a 5. ábra függvényének, valamint első és második deriváltjának érték- táblázata, mely a Graph programmal készült ld.: [ 1 ]! Megjegyzések: M1. [ ] - ben is, megtalálható, az ( E ) - beli és az itteni esetekre vonatkozó grafikonokat [ 3 ] is átvette a megfelelő orosz nyelvű szakirodalomból. M. z ( E ) - ben is hivatkozott [ ] munka táblázatait ( E ) - ben fel is használtuk ellenőrzésre. Ezek [ 3 ] - ban is szerepelnek, egy másik ábrához párosítva, ami tévedések miatt igen zavaró lehet. Például: ha ezt választottuk volna képleteink ellenőrzésére, úgy a nem - egyezések miatt képleteink hibájára is gondolhattunk volna.

11 11 M3. z említett grafikonok [ ] - ből átvéve az alábbiak, ld.: 6. ábra! Érdemes a lehetséges összehasonlításokat elvégezni. Mi jónak látjuk az egyezést. 6. ábra

12 1 Ezek a ( E ) - beli x, y, valamint az itteni mennyiségre vonatkoznak. smét megemlítjük, hogy az ábrán látható képleteken kívül egyebet nem közöltek. M. fahengeres keresztmetszet négyzetté válik, ha h 1 1 0, Egyfajta ellenőrzést ad az is, ha kiszámítjuk gyalog, majd a Graph programmal az ehhez tartozó a,,, adatokat is. 1. Számpélda Határozzuk meg a legnagyobb gyengítés estén a szabályos fahengeres keresztmetszetből előálló négyzet jellemző geometriai adatait! Megoldás: ld. a 7. ábrát is! 7. ábra 1.) a meghatározása: 7. ábra szerint geometriailag: a cos 5 0, ; ( # )

13 13 Most ( 9 ) szerint is: a k ; a a Graph programmal: x G = ; f ( x G ) = h tt: x G, f xg k a. Ezekkel: a k ( ## ) a Látjuk, hogy ( # ) és ( ## ) egyezése teljesen elfogadható..) meghatározása: Geometriailag: 1 a 0,5. ) Most ( 19 ) szerint: k ; a Graph programmal: x G = 0.167; f ( x G ) = Behelyettesítve: k , Látjuk, hogy ) és ) egyezése teljesen elfogadható. ) 3.) meghatározása: Geometriailag: a 0, ( ) Most ( 9 ) szerint: k ;

14 1 a Graph programmal: x G = ; f ( x G ) = Behelyettesítve: 6 k , ( ) Látjuk, hogy ( ) és ( ) egyezése teljesen elfogadható..) meghatározása: Geometriailag: 3 3 a 3 0, Most ( 36 ) szerint: k ; a Graph programmal: x G = ; f ( x G ) = Behelyettesítve: 3 3 k , ( ) ( ) Látjuk, hogy ( ) és ( ) egyezése teljesen elfogadható. Ezzel a kitűzött feladatunkat megoldottuk. Megjegyzések: M1. dolgozatban bizonyos keresztmetszeti adatok pl.:,, stb. számításának ismeretét feltételeztük. Ehhez ld. pl.: [ 5 ]! M. fenti számpélda egyben a grafikonok, táblázatok elvi használatát is bemutatja. ( valóságban ugyanis az történt, hogy a kérdéses grafikonra való dupla kattintás után előállt annak Graph - beli eredetije, melynek függvényérték - kereső szolgáltatásával jutottunk a megfelelő k - adatokhoz.)

15 15. Számpélda dott egy szabályos fahengeres keresztmetszet, melyre a = /. Határozzuk meg a h, H,,, mennyiségeket, ahol H a gerenda magassága! Megoldás: Ehhez készült a 8. ábra is. 1.) h meghatározása 8. ábra z ( 1 ) képlettel és az adottsággal: a 1 sin 1, innen: 1 1 arcsin (! ) Most ( ) és (! ) képletekkel: 3 h cos 1 cos 30 1, innen: h 3 1, (!! )

16 16 3 h 1 0, ,067, tehát h 0,067. ( SZ / h ) Ez az eredmény megegyezik a [ ] - ben található táblázatból kiolvashatóval..) H meghatározása z ábrák szerint: h H h 1 ; ezzel és (!! ) képlettel: 3 H 0, ,866, tehát H 0,866. ( SZ / H ) Ez az eredmény megegyezik a [ ] - ben találhatóval. 3.) meghatározása ( 19 ) képlettel: k k k ; innen: k ; a ( 18 ) képlettel is: h 1 h arcsin 1 sin arcsin 1 ; most ( ) és (!! ) képletekkel: 0, ,695, tehát 0,695. ( SZ / ) ( ) Ez az eredmény megegyezik a [ ] - ben találhatóval.

17 17.) meghatározása ( 1 ) képlet szerint: k k k, 6 6 innen: k ; 6 most a ( 8 ) és (!! ) képletekkel: arcsin sin arcsin sin arcsin 0, , vagyis 0, ,0389, tehát 0,0389. ( SZ / ) Ez az eredmény megegyezik a [ ] - ben találhatóval. Viszont megjegyzendő, hogy a [ ] mű táblázatában található adatok között van az ( SZ / ) - ből számíthatótól néhány százalékkal eltérő eredmény. 5.) meghatározása ( 3 ) képlettel: 3 k k ; most ezzel és ( 33 ) - mal: 3 3 k 3 k ; h 3 6 h 1 1 most a.) pontbeli eredményekkel is: 3 ; h számszerűen, (!! ) képlettel is: 0, , , 08990, 3 tehát 3 0, ( SZ / )

18 18 Ez az eredmény megegyezik a [ ] - ben találhatóval. Viszont megjegyzendő, hogy a [ ] mű táblázatában található adatok között van az ( SZ / ) - ból számíthatótól néhány százalékkal eltérő eredmény. Ezzel a kitűzött feladatunkat megoldottuk. rodalom: [ 1 ] [ ] Szerk.: V.. vanov: onsztrukcii iz gyereva i plasztmassz ( Primerü raszcsota i konsztruirovanyija ) Budivel nik, ijev, [ 3 ] Hilvert Elek: Faszerkezetek Tankönyvkiadó, Budapest, [ ] ardos ndor ~ Valkó Gábor: Építőipari kézikönyv. kiadás, Műszaki önyvkiadó, Budapest, [ 5 ] Muttnyánszky Ádám: Szilárdságtan Műszaki önyvkiadó, Budapest, Sződliget, 009. július 30. Összeállította: Galgóczi Gyula mérnöktanár