A Michelson-Morley kísérlet gyökeres átértékelése

Átírás

1 A Michelson-Morley kísérlet gyökeres átértékelése Az [1]-ben több évnyi irányvesztett bolyongás után végre sikerült rálelni a Dobó-féle dimenziótlan k D (vagy a vele lényegileg egyenértékő, modellünkben sebesség-dimenziójú Bolyai-féle k=c 0 k D ) paraméter igazi helyére, valódi fizikai szerepére és jelentésére. Most az [1]-beli (3) összefüggés felhasználásával a szakirodalomban évtizedek alatt szinte már lerágott csont -tá idézett-taglalt Michelson-Morley kísérletet fogjuk átfogóan (újra)értelmezni. A kísérlet matematikai háttere Jelölje a K 0 -hoz képest v-sebességő K v -rendszerben nyugvó interferométer osztóprizma utáni karhosszait L v. (Értelmezésünkben a v-irányú és a v-re merıleges karok K v -ben tökéletesen egyenlı hosszúságúak. Ugyanakkor viszont, ha most K v lassulni kezdene K 0 - ban, akkor a haladás irányában álló kar egyre jobban hosszabbodna a sebességre merıleges karhoz képest!) Az interferométer v-re merıleges irányú karjában terjedı fény sebességét c jelöli az 1. Ábrán; míg a K 0 -ban mint a lokális éterhez képest nyugvó, lokálisan abszolút rendszerben a fény terjedési sebessége a c 0 egyetemes fizikai állandó: A Az 1. Ábra ABD háromszögének a, b, d oldalai hiperbolikus mértékőek. Itt a d oldal nem más, mint a c 0 euklideszi mértékő (sebesség)mennyiség hiperbolikus mértéke. Kicsit részletesebben: a hiperbolikus geometriájú térben lévı ABD háromszög AB oldalának jelen esetben eredeti, azaz hiperbolikus mértéke d, míg ugyanezen AB oldal klasszikus/középiskolás/megszokott, azaz euklideszi mértéke c 0. (Ld. errıl bıvebben [2]-t.) Hasonló áll az AD oldalra is, de a BD oldalra már nem! Ennél a euklideszi mértéke megváltozik. (Ld. a [6] (B ) alatti kifejezését.) Ebbıl kifolyólag (vagyis a Dobó-kontrakció miatt) BD euklideszi mértéke v, c v1 paramétere. c 0 d B f(v,c ) a 1. Ábra γ=90 0 A továbblépéshez részben az ábrából is láthatóan szükségünk van a hiperbolikus Pitagorasz-tételre, amely a hiperbolikus koszinusz-tétel speciális eseteként adódik (hasonlóan ahhoz, ahogyan a klasszikus, euklideszi Pitagorasz-tétel az euklideszi geometria koszinuszb c D lesz, ahol k 0 a K 0 rendszer görbületi 1

2 tételének speciális esete γ=90 0 -ra). Éspedig azért van éppen e tételre szükségünk, mert amint azt Dobó Andorral már számtalan írásunkban kifejtettük (ld. ehhez még [3]-t is, amely, megengedhetetlenül, kizárólagosan csak a k Dv =1 minden v-re speciális esetre: az Einsteinféle speciális relativitáselméletre szőkíti a kérdéskör tárgyalását) a (sebességreprezentációbeli) sebességterek, legalábbis a(z abszolút értékben) K 0 -hoz képest c 0 alatti sebességő K v -k tartományában (amikor v <c 0 ) Bolyai-féle hiperbolikus geometriákat alkotnak. A hiperbolikus koszinusztétel általános alakja az 1. Ábra jelöléseivel: I. cosh cosh cosh sinh sinh cos γ (A K 0 rendszer görbületi paramétere: k 0 =c 0 k D0, szintén egyetemes csak még K D0 számértéke ismeretének hiányában ismeretlen állandó; továbbá cosh( ) ch( ) és sinh( ) sh( )!) Ennek γ=90 0 -ra alkalmazott speciális esete, azaz a hiperbolikus Pitagorasz-tétel: II. Fennáll a hiperbolikus függvények közötti alábbi összefüggés: III. cosh x (tanh( ) th( )) Végül fel kell még írnunk a Dobó-féle alapösszefüggéseket is: IV. c k tanh v k tanh k tanh (Itt például c az euklideszi mértéke az 1. Ábrán a hiperbolikus háromszög AD oldalának, amelynek hiperbolikus mértéke éppen b. Ld. még továbbra is [2]-t.) A III.-t és IV.-t alkalmazva II.-re, adódik: II. Ebbıl kapjuk, hogy 1 c k 1 1 v. c k k 1 c k 1 v k k c v k k v k k c v k v c v 1 v k c 1 v c 1 v k 2

3 Eredményül azt kaptuk tehát, hogy a K 0 -hoz (és így a lokális éterhez) képest v-sebességő K v rendszerben, annak haladási irányára merılegesen terjedı (vákuumbeli) fénysugár c sebessége K 0 -ban: (1) c c (Az oldalak euklideszi mértékeinek ismeretében, az euklideszi Pitagorasz-tétel alkalmazásával ugyanerre az eredményre jutunk. Ekkor a v, c c c ) összefüggésbıl kell a c sebességet kifejezni! A(1)-el azonos eredményt kapunk a [2]-ben szereplı (6) alapján is, ha a w=c 0, u=c, v=v és α=π/2 választással élünk. A továbbiakban pedig az α=0-t használjuk ki.) Ám nekünk a továbblépéshez e sebességösszetevı K v -beli értékére lesz szükségünk hiszen a címbeli Michelson-Morley kísérletet K v -ben végrehajtva akarjuk újraértelmezni! A [4]- ben leírtak szerint (ld. a 6) képletet, és az azt megelızı okfejtést) ehhez a K 0 hiperbolikus terébıl át kell transzformálni c -t a K v hiperbolikus terébe, c -vé. Ez praktikusan c nagyítását jelenti a (k v /k 0 )>1 arányossági tényezıvel (0<c 0 <k 0 <k v, ha v >0): (1). Itt 1<k D0 <k Dv a K 0 -beli és K v -beli (lokális, sebesség-dimenziójú) hiperbolikus terek görbületi paramétereivel szoros rokonságban álló, ámde dimenziótlan mennyiségek: a dolgozat legelején említett Dobó-féle k -k. (Látható (1) -bıl, hogy v =c 0 értékre c =0 lenne. Már e tény is azt sejteti, hogy a most alkalmazott hiperbolikus geometriai megközelítés csak a lokális K 0 -hoz képest 0 v <c 0 sebességő K v rendszerekre alkalmazható! De minderrıl majd külön tanulmányban szeretnék részletekbe menıen írni. Ugyanakkor c k v mindig teljesül.) A kísérlet matematikai kiértékelése Most már rátérhetünk jelen dolgozat fı témájára, az interferométeres kísérlet kiértékelésére. Kiindulásul tételezzük fel, hogy a kísérlet valóban negatív azaz a Föld éterhez képesti, feltételezett v sebességének mentén, azzal párhuzamosan, és az arra merılegesen haladó 3

4 fénysugarak hajszálpontosan egyenlı idık alatt futják be az osztóprizma utáni karokat, mielıtt újra találkoznának: (2) t t A v-re merıleges karban haladó fénysugárnak az út megtételéhez szükséges idı (felhasználva (1) -t): (3). míg a v-irányú karban terjedı fény útját (4) t idı alatt futja be K v -ben. A (4)-ben szereplı c v -k a jelen írás elején már említett [1]-beli (3) összefüggés alapján (w=c 0 ): és (5) c (6) c Beírva (5)-t és (6)-t (4)-be: (7). A (2), (3), és (7) egyenletekbıl együttesen következıen: (8) 1 amibıl adódóan: 4

5 (9) k c v c k v 0 k v 1 k 0 k 1 (vagy v=0) (A görbületi paraméter geometriai jelentése miatt k eleve pozitív /valós/ szám: k R, k >0.) Azt kaptuk tehát eredményül, hogy ha a Michelson-Morley kétkaros interferométeres kísérlet valóban negatív, azaz ha a kettéosztott fénysugarak matematikai pontossággal egyenlı idık alatt járják be az egymásra merıleges karokat, akkor - vagy pontosan nulla a Föld éterhez képesti sebessége (tehát Einstein kizárólagos következtetése az éter létezésének cáfolatára logikailag az értelmezési lehetıségek körének önkényes beszőkítése, illogikus volt!); hacsak bolygónk valódi sebességének iránya a lokális éterben nem éppen os szöget zár be a két karral, azok felezı merılegeseként (ehhez ld. még Dobó több munkáját is e tárgyban); - vagy az éter Dobó-féle k-jának számértéke egzaktul k D0 =1. 1 Viszont a már eddig is többször hivatkozott [2] szépen, tömören összefoglalja korábbi kutatási eredményeinket, amelyek fizikai megfontolásokból kizárják a k =1 esetet, és csakis a k >1 értéket engedik meg, tekintik fizikailag értelmezhetınek. Eszerint ha (2) fönnáll, ellentmondásra jutunk, tehát (2) nem állhat fenn! Ezt a bizonyítást nevezik a matematikában reductio ad absurdum bizonyításnak. Ez úgy mutatja meg egy állítás helytelen voltát, hogy abból valami képtelenséget vezet le. Itt a képtelenséget a (9) alatti kifejezés tartalmazza. Mint látható, ezen az úton is ugyanazt az eredményt kaptam, mint Dobó, aki v>0 és k D0 >1 egyenlıtlenségekbıl direkt módon a (2) t t t 0 teljesülését bizonyította. Mindebbıl pedig következik: ha feltételezzük, hogy Földünk lokális éterhez képesti sebessége nem pontosan nulla, továbbá, hogy e sebesség iránya nem pontosan felezi az interferométer egymásra merıleges karjainak szögét (ez utóbbi eshetıség elvileg kiszőrhetı a kísérletnek az év különbözı idıpontjaiban és bolygónk különbözı helyein történı többszöri, sorozatszerő elvégzésével/megismétlésével), akkor a Michelson-Morley kísérlet kiértékelése hibás! Elvégzıinek és Einsteinnek értelmezésével szemben valójában nem zárja ki Földünk (lokális) éterhez képesti mozgását! (Mivel az interferenciakép a berendezés elforgatása során nem változott, a csíkok nem tolódtak el, ezért a kísérlet bármilyen gondos elvégzése után is mindig t=0 maradt. Ennek folytán a Föld lokális éterhez képesti sebessége nem határozható meg a mérési pontosságon belül!) 1 Ez még csak részben éppen a lokális éterhez képest nyugvó, abszolút K 0 -ban jelentené az eredeti Einsteini elmélethez való visszatérést; ugyanis a k Dv ( k D0 ) feltétel teljesülhet minden v >0 értékre k D0 -nál határozottan nagyobb k Dv -vel is! 5

6 Mielıtt azonban e rejtélyes kijelentés bıvebb kifejtésébe fognánk, meg kell ismerkednünk még egy további levezetéssel. Jelölje (ε c 0 ) a Föld lokális éterhez képest feltételezett sebességét: (10) 0ε1 Ekkor az (5) egyenletben is alkalmazott [1]-beli (3) összefüggés szerint: (11). c ε ε c ε ε Most tegyük fel, hogy a Földhöz rögzített K v -ben mért c v ( a Földön nagyjából állandó 2 ) fénysebességnél legfeljebb N-szer nagyobb sebesség mérhetı K v -ben, azaz bolygónkon! Emlékeztetünk többek közt a svájci Genf környékén a közelmúltban, a Genfi Egyetem kutatói által elvégzett lézeres kvantumoptikai (photon pair entanglement, azaz összegubancolódott/összecsatolódott fotonpár) kísérletre, amely azóta is értelmezhetetlen, már-már botrányos rejtély a hivatalos/mértékadó fizikusok számára; ugyanis az csak a határsebességnek gondolt vákuumbeli fénysebességnél legalább N=100-szor, még inkább N=115-ször nagyobb hatás/információ-sebesség feltételezésével magyarázható! (Ld. például: Korábban errıl Dobó is írt részletesen.) Ekkor tehát a (11) alapján: (12) N c ε ε c k (1<k D0 <k Dv ) feltételezve azt, hogy Földünkön a vákuumbeli fénysebességnél mely nagyjából állandó (elegendı pontossággal) N-szer nagyobb a mérhetı legnagyobb sebesség, azaz a túlléphetetlen határsebesség, c 0 k Dv. Egyszerősítés után (13) N Ebbıl adódóan ε ε 1 (14). N1 ε k 1 ε k ε N1 εk k ε Azaz: (15) 0 k N1 εk ε A másodfokú egyenlet megoldóképletét alkalmazva kapjuk: (16) k, ε ε ε 2 ezt is jelenti matematikailag az ε1 előfeltevés 6

7 Mivel a geometriai tartalom miatt k D0 >0 mindig fönn kell álljon, így a kisebbik gyök nyilvánvalóan elvetendı (hiszen 4ε>0), ezért: (17) k ε ε ε N1 ε εε ε ε N1 ε ε ε (Itt felhasználtuk azt, hogy ε kicsiny, N nagy értéket vesz fel; és így 1 x 1 x/2.) Például v=380 km/s éterhez képesti Föld-sebességgel számolva ami majdnem 13-szorosa bolygónk Nap körüli átlagos keringési sebességének! (ekkor ε 0, , ha a K 0 -hoz, azaz az éterhez képest a vákuumbeli fény sebességét mint egyetemes fizikai állandót nagyjából a földi vákuumbeli fénysebességhez közeli értékőnek feltételezzük: c km/s), és továbbra is N=115 (a Földön elérhetı/mérhetı) maximális sebesség választással élve azt kapjuk, hogy (18) k 114, ami alig-alig marad el a gondolatkísérletünkben a K v -beli felsı sebességkorlát szerepét játszó N=115 értéktıl. (İszintén bevallom: én magam egy k D0 1, körüli értéknek jobban örültem volna..) Értelmezést könnyítı emlékeztetıül: valójában most azt kaptuk, hogy ha a Földön mely feltevésünk szerint 380 km/s sebességgel mozog a lokális éterhez képest eddig (közvetve) mért/észlelt legnagyobb sebesség az itt mérhetı (vákuumbeli) fénysebességnél (mely jó közelítéssel állandónak vehetı ) éppen 115-ször nagyobb, akkor bárhol a Világegyetemben a lokális éterhez képest észlelhetı sebességek felsı korlátja mint egyetemes fizikai állandó: k D0 114, A kísérlet mőködése a gyakorlatban Valójában hogyan is mőködik a Michelson-Morley interferométer a gyakorlatban? Mert ugye elméleti levezetésünkkor azt feltételeztük, hogy a valóságban is megépített interferométerek legjobb tudomásom szerint 20 cm és 16 m közé esı karhosszai hajszálpontosan egyenlı hosszúságúak. Aligha kell kimerítıen bizonygatni, hogy pl. 16 m hosszú karok esetén a v-irányú és az arra merıleges karok soha nem tekinthetık pontosan egyenlı hosszúságúnak! Magyarán: interferenciagyőrők mindenképpen megjelennek az észlelıernyın függetlenül attól, hogy van-e éter, avagy nincs, hogy ha van is: áll-e hozzá képest Földünk, avagy száguld benne Szerencsére ezzel mindig is tökéletesen tisztában voltak e híres kísérlet elvégzıi; úgyhogy mérésüket valójában két lépésben hajtották végre. Az elsı lépés az általunk is tárgyalt elrendezés volt, majd ezt követte a második lépés, amelyben az interferométert pontosan kal elforgatva megismételték a mérést: azaz szerepet cserélt egymással a két kar. 3 3 Persze azért azt is el kell ismerni, hogy a feltételezett v irányába eső kar hossza még kis v értéknél is megnő, ha v-re merőlegessé tesszük; míg az eredetileg arra merőleges kar hossza ellentétesen változik az 7

8 Interferenciagyőrők mindkét elrendezéskor keletkeztek hiszen a két kar például 10 nm-es pontossággal aligha egyenlı hosszúságú, ám ha Földünk valóban halad érzékelhetı v sebességgel a lokális éterben, akkor a kétféle elrendezésben (a karhosszak technikai pontatlanságból eredı eltérésébıl adódó aszimmetria következményeként) kétféle interferencigyőrő-rendszert kell kapni. Tömörebben: ha az eredeti, majd a kal elforgatott állásban tapasztalt interferencia-eloszlások különböznek egymástól, akkor az csakis /legnagyobbrészt a Föld éterhez képesti v sebességével magyarázható! Ugyanis ha a két karhossz valóban matematikai pontossággal egyenlı hosszúságú lenne, akkor a kétféle állásban továbbra is eltekintve a 3 lábjegyzetbeli járulékos hatástól hajszálpontosan ugyanazt az interferencia-győrőrendszert kellene kapnunk; azaz a végeredmény szempontjából az interferométer karjaiból egy-egy, egymással pontosan egyenlı hosszúságú részt, legalábbis gondolatilag, akár le is vághatnánk. Igen ám, csakhogy mindebbıl az is következik, hogy a kísérlet lényegi tartalma szempontjából mindegy, hogy 20 cm vagy 16 m hosszúak-e az interferométer osztóprizma utáni karjai: kizárólagosan csak az az érdekes, hogy a két kar közötti valóságos (L 1 -L 2 )= L hosszkülönbség mekkora! (Ismételten utalunk a 3 lábjegyzetbeli megjegyzésre, amely most úgy is megfogalmazható, hogy a kétféle elforgatás elıtti és utáni állásban megvalósuló L-k kicsit mindenképpen eltérnek egymástól; de e különbség, legalábbis föltevésünk szerint, másodlagosnak tekinthetı a primer jelenséghez képest. A fenti számértékekkel végzett utólagos számítás szerint az ebbıl eredı többlethatás, még 16 m-es karhosszaknál is mindössze: L 1,95 nm, azaz a λ=400 nm-es hullámhossznak kevesebb mint 0,5%-a; míg 20 cm-es karoknál már csupán 0,006%-a!) Készítettem egy egyszerő Excel-modellt. Ha λ=400 nm-es hullámhosszal (az emberi szem által látható 396 nm< λ<720 nm tartományban maradva) és L 0,1 mm-nyi karhosszkülönbséggel számolunk (ekkora pontosság még 16 m-es karok esetén is elvárható korunk és közelmúltunk mőszaki színvonalán), továbbra is az N=115 és a v 380 km/s választással élve, akkor azt kapjuk, hogy a v-irányú és az arra merıleges karokat befutó fénysugarak a λ=400 nm hullámhossznak mindössze 0,04%-t kitevı fáziskülönbséggel egyesülnek újra az észlelıernyın! Ilyen parányi fáziscsúszás pedig biztosan nem okoz kimutatható/látható különbséget a kétféle állásban észlelt győrőrendszerek között. Természetesen, ha újabb kísérletek még nagyobb sebességeket mérnének Földünkön (N 2 >N=115), akkor a (k D0 >) 114, alsó korlát értéke is nagyobbnak adódna. A teljességhez még az is hozzátartozik, hogy fönti levezetésünk és így az azon alapuló Excell-számítás is felsı korlátnak tekintendı; ugyanis arra a maximális hatást feltételezı határesetre vonatkozik, amikor a Földünk lokális éterhez képesti v sebessége éppen δ=0 szöget zár be az interferométer egyik karjával. Márpedig ennél nagyobb hatás a v cosδ v elforgatáskor, azaz megrövidül és ezt a pluszhatást (mármint a hosszúság-kontrakcióból eredő aszimmetriát) most sem vesszük számításba! Azt viszont talán joggal feltételezhetjük, hogy kis v -kre ez a hosszúságváltozásból, os elforgatáskor összeadódó hatás még mindig elhanyagolható a két karhossz egyenlőségének műszaki pontatlanságából eredő hatás mellett. Dobó eredményeire támaszkodva belátható, hogy elhanyagolható az a hiba is, amely nem teljesen pontos os elforgatásból ered. A kísérlet történeti hátterét ld. [5]-ben. 8

9 triviális egyenlıtlenség miatt soha nem fordulhat elı kisebb annál inkább. (Részleteiben ld. még Dobó e tárgyú levezetéseit.) Végezetül ide másolom az Excel-modellel elvégzett egyik konkrét számításomat: Bemenı paraméterek: ε= 0, (0<ε<1) N= 115,00 (N*c v =k Dv *c 0 ; alapesetben: N=115; N<k Dv ) Lambda= 400 nm (396 =< Lambda =<720) Delta_L= 0, m (0,2 =< L =<16) Számított értékek: I. c +v -bıl: k D0 = 114, (ekkor csak egy pozitív gyök van) ε/k 2 D0 = 9,61176E-08 c +v /c -v = 99, % ε 2 /k D0 2 = 1,21871E-10 t L /t II = 99, % Delta_s/Lambda= 0,04% Delta_t= 5,36382E-19 (c 0 =2,997*10 8 m/s) Delta_s= 1,60754E-10 II. c -v -bıl: k (1) D0 = 115, (ekkor két különbözı pozitív gyök van) ε/k 2 D0 = 9,56314E-08 c +v /c -v = 99, % ε 2 /k D0 2 = 1,21254E , =(k D0 +k D0 (1) )/2 t L /t II = 99, % Delta_s (1) /Lambda= 0,04% Delta_t (1) = Delta_s (1) = 5,36382E-19 1,60754E-10 k D0 (2) = 1,10116E-05 Ez sem elfogadható gyök, mert - bár pozitív - mindig < 1. ε/k D0 2 = c +v /c -v = ε 2 /k D0 2 = t L /t II = Delta_s (2) /Lambda= Delta_t (2) = Delta_s (2) = Záró következtetésként megállapítható, hogy az unos-untalan hivatkozott Michelson- Morley kísérlet mint az Einsteini speciális relativitáselmélet egyik sarkköve és támasza nem alkalmas a technika mai színvonalán/pontosságán annak tapasztalati eldöntésére, hogy Földünk vajon mozog-e (s ha igen: mekkora 0<v<<c 0 sebességgel) a helyi éterhez képest, vagy pedig nincs is értelme bármiféle (lokálisan) abszolút sebességrıl beszélni! (Azért számoltam éppen v 380 km/s feltételezett abszolút sebességgel, mert értesüléseim szerint a COBE 4 mérései a Földnek kb. ekkora sebességét mutatták ki a mikrohullámú háttérsugárzáshoz képest.) Budapest, április 23. (Béla) Topa Zsolt fizikus, szakközgazdász Hivatkozások [1] Topa Zsolt: A Dobó-féle k D jelentésének újragondolása (Kézirat, Budapest, október 23., csütörtök.) 4 COBE: Cosmic Background Explorer amerikai műhold, amely és között térképezte fel a mikrohullámú háttérsugárzást. 9

10 [2] Dobó Andor: Miért nem lehet k=1? (Kézirat, Budapest, március 25.) [3] I. M. Jaglom: Galilei relativitási elve és egy nemeuklideszi geometria (Gondolat, Budapest, 1985.) [4] Topa Zsolt: Sebességösszegzés újragondolva (Kézirat, Budapest, április 26., szerda.) [5] Dobó Andor: A kísérlet bizonyító szerepérıl (Kézirat, Budapest, január 31.) [6] Topa Zsolt: Apróságok (Kézirat, Budapest, július 17.) FÜGGELÉK A dolgozat elején leírtak megértését megkönnyítendı, most kicsit részletesebben kifejtem a hiperbolikus távolság és a Dobó-féle alapösszefüggéssel (ld. IV. egyenlet) hozzárendelt fizikai sebesség viszonyát. Mindehhez Dobó Andornak a nekem e tárgyban írt levelét, továbbá szóbeli magyarázatainak gondolatmenetét hívom segítségül. Elıször is a korábbi írásaimban közölteket pontosítani kívánom: a v=k 0 th(d/k 0 ) képlettel definiált mennyiség nem feltétlenül egyenlı a d hiperbolikus távolság euklideszi mértékével. Általánosan csak annyi állítható, hogy annak egy olyan felsı korlátja, amely az esetek egy részében egyenlı d euklideszi mértékével, míg az esetek másik részében nagyobb annál. Ez abból adódik, hogy más az euklideszi és hiperbolikus távolságok közötti összefüggés, ha a pontnégyes kettısviszonyát átmérın (vagyis középponton áthaladó és így leghosszabb húron), és más, ha (középponton nem áthaladó) húron értelmezzük. Ez, kicsit máshonnan közelítve a problémát, úgy is megfogalmazható, hogy a Dobó-féle alapösszefüggés a hiperbolikus sebességtér valamely d tagjához nem (feltétlenül) annak euklideszi mértékét rendeli, hanem egy formális függvénydefiníciót ad v-re ; ám e definíciószerő függvénykapcsolat az esetek speciális részében egyúttal a d euklideszi mértékét szolgáltatja, míg általánosan annak felsı korlátját! Ezek után térjünk rá Dobó tárgyalására: Legyen k th w c, k th u c és k th v v A b. D a d B 10

11 Az ABD háromszög oldalainak euklideszi mértékei: (1) δ AD k th (2) δ AB k th (3) µ BD k th 1 th. Az euklideszi mértékő oldalakra alkalmazva a ( klasszikus /euklideszi) Pitagorasz-tételt: 4 5 δ µ δ k th k th Egyszerősítve k -val, majd az (5)-be helyettesítve a th x 1 összefüggés megfelelıit: A (6)-ból átalakítással nyerjük a hiperbolikus Pitagorasz-tételt: 7 ch ch ch teljes összhangban II.-vel Mivel chx ezért (7) így is írható: 8, vagy ami ugyanaz: 9 A (9)-bıl vagy (10) w u v 11

12 (11) u w. A (10) illetve (11) közvetlenül megkapható a (3) és (4) alapján, ha figyelembe vesszük, hogy δ 1 =u, δ 2 =w és (12) µ k th 1 th v1 v, u Iménti egyenlet kisárgított hátterő összefüggésére utalt a dolgozat elsı oldalán a Dobó-kontrakció elnevezés melyet akár Dobó-féle sebesség-kontrakciónak is hívhatunk. Ekkor a (4) alapján (10 ) u v 1 w vagy u v, u w ami megfelel (10)-nek. Nyilván, általános esetben v, u u, v. Fenti levezetéssel egyúttal az általánosabb hiperbolikus koszinusz-tétel felhasználása nélkül, közvetlenül is származtattuk a Bolyai-geometria Pitagorasz-tételét. Budapest, április 30. (E napon született Gauss 1777-ben!) 12