Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Geometria II.
|
|
- Emil Kiss
- 7 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 Geometria II. Síkidomok, testek: A sík feldarabolásával síkidomokat, a tér feldarabolásával testeket kapunk. Törött vonal: A csatlakozó szakaszok törött vonalat alkotnak. DEFNÍCIÓ: (Sokszögvonal) A záródó törött vonalat egyszerű sokszögvonalnak nevezzük, ha a törött vonal minden csúcsához két szakasz csatlakozik, továbbá a szakaszok nem zárnak be egyenesszöget és a szakaszoknak a csúcsokon kívül nincs más közös pontjuk. DEFINÍCIÓ: (Sokszöglap) A síkbeli egyszerű sokszögvonal két síkidomra vágja a síkot, s ezek közül a sokszögvonalon belüli korlátosat sokszöglapnak nevezzük. DEFINÍCIÓ: (Sokszög) A sokszöglap és sokszögvonal együttesét sokszögnek (poligonnak) nevezzük. A sokszöget határoló szakaszokat a sokszög oldalainak nevezzük. A sokszögön belül a nem szomszédos csúcsokat összekötő szakaszokat átlóknak nevezzük. Az n oldalú sokszögnek n csúcsa és n belső szöge van. A sokszöget határoló törött vonal hosszát a sokszög kerületének nevezzük. Az egyenesszög és a sokszög belső szöge közötti különbségét a sokszög külső szögének nevezzük. Jelöléssel: konvex α esetén α = 180 α, konkáv α esetén α = α 180. DEFINÍCIÓ: (Konvex alakzat) Egy síkbeli alakzatot konvexnek nevezünk, ha bármely két pontjával együtt a két pontot összekötő szakasz pontjai is az alakzathoz tartoznak. DEFINÍCIÓ: (Konkáv alakzat) Egy síkbeli alakzatot konkávnak nevezünk, ha nem konvex, azaz van olyan az alakzat két pontját összekötő szakasz, amely nem tartozik teljes egészében az alakzathoz. 1
2 Egy konvex sokszög bármely egyenes vágással 2 darabra esik szét. Egy konvex sokszög minden szöge kisebb az egyenesszögnél. DEFINÍCIÓ: (Szabályos sokszög) Egy sokszöget szabályosnak nevezünk, ha minden oldala egyenlő hosszúságú és minden szöge egyenlő nagyságú. Minden szabályos sokszögnek van beírt és köré írt köre, melyek középpontja a szimmetriatengelyek metszéspontja. Minden szabályos n - szög felbontható n darab egybevágó egyenlő szárú háromszgre, melyek szárszöge 360 n. Minden szabályos sokszög külső szögének nagysága 360 n. Egy n oldalú konvex sokszög átlóinak száma n (n 3) 2. Egy n oldalú konvex sokszög belső szögeinek összege (n 2) 180. Egy n oldalú konvex sokszög külső szögeinek összege 360. Egy n oldalú szabályos sokszög belső szögének nagysága (n 2) 180 n. 2
3 Háromszögek DEFINÍCIÓ: (Háromszög) Az olyan sokszöget, amelynek 3 oldala van, háromszögnek nevezzük. Hegyesszögű háromszögben minden szög hegyesszög. Tompaszögű háromszögben 1 tompaszög és 2 hegyesszög található. Derékszögű háromszögben 1 derékszög és 2 hegyesszög található. Derékszögű háromszögben a derékszöget közbezáró két oldalt befogónak nevezzük. Derékszögű háromszögben a derékszöggel szemben fekvő oldalt átfogónak nevezzük. Derékszögű háromszögben az átfogó mindig nagyobb, mint a háromszög befogói. DEFINÍCIÓ: (Egyenlő szárú háromszög) Egy háromszöget egyenlő szárúnak nevezünk, ha van két egyenlő hosszúságú oldala. Az egyenlő szárú háromszög két egyenlő hosszúságú oldalát száraknak nevezzük. Az egyenlő szárú háromszögnek azt az oldalát, amelyen a két egyenlő nagyságú szög fekszik, a háromszög alapjának nevezzük. Az egyenlő szárú háromszögben a szárak által bezárt szöget szárszögnek nevezzük. Az egyenlő szárú háromszög tengelyesen szimmetrikus és a tengely felezi a szárszöget. Az egyenlő szárú háromszögben a tengely merőlegesen felezi az alapot. 3
4 Egy háromszög pontosan akkor egyenlő szárú háromszög, ha van két egyenlő nagyságú szöge, illetve ha van szimmetria tengelye. DEFINÍCIÓ: (Szabályos háromszög) Szabályos háromszögnek nevezzük az egyenlő oldalú és egyenlő szögű háromszögeket. A szabályos háromszögnek 3 szimmetriatengelye van, melyek magasságvonalak, súlyvonalak, oldalfelező merőlegesek és szögfelezők is egyben. A szabályos háromszög beírt körének középpontja, köré írt körének középpontja, súlypontja és magasságpontja egybeesik, s ez a háromszög középpontja. Az a oldalú szabályos háromszög magassága: m = a 3 2. DEFINÍCIÓ: (Belső szög) A háromszög egy csúcsából kiinduló oldalegyenesei által meghatározott négy szögtartomány közül a háromszöget tartalmazó szögtartományt a háromszög belső szögének nevezzük. DEFINÍCIÓ: (Külső szög) A háromszög valamely oldala és egy szomszédos oldal meghosszabbítása által bezárt szöget a háromszög külső szögének nevezzük. Jele: α, β, γ. A háromszög belső szögeinek összege 180. Jelöléssel: α + β + γ = 180. A háromszög bármely külső szöge egyenlő a nem mellette fekvő belső szögek összegével. Jelöléssel: α = β + γ; β = α + γ; γ = α + β. A háromszög külső szögeinek összege 360. Jelölléssel: α + β + γ = 360. A háromszögben egyenlő hosszúságú oldalakkal szemben egyenlő nagyságú szögek fekszenek. 4
5 A háromszögben a hosszabb oldallal szemben fekvő szöge nagyobb, mint a rövidebb oldallal szemben fekvő szöge. (Háromszög egyenlőtlenség) A háromszög bármely két oldalának összege nagyobb a harmadik oldalnál, azaz bármely oldala nagyobb a másik két oldal különbségénél. Jelöléssel: a > b + c; b > a + c; c > a + b. A háromszög ugyanazon szögének külső és belső szögfelezője merőleges egymásra. (Háromszög - szerkesztés alapesetei) Egy háromszög egyértelműen meghatározott, ha adott 3 oldala 2 oldala és az ezek által közbezárt szög 2 oldala és a 2 oldal közül a nagyobbal szemben fekvő szöge 1 oldala és a rajta fekvő 2 szöge. DEFINÍCIÓ: (Háromszög köré írt köre) Az olyan kört, amely áthalad a háromszög csúcsain a háromszög köré írt körének nevezzük. A háromszög oldalfelező merőlegesei egy pontban metszik egymást, s ez a metszéspont a háromszög köré írható körének középpontja. 5
6 A köré írt kör sugara a középpontot a háromszög egy csúcsával összekötő szakasz. Jele: R. A köré írt kör középpontja a háromszög csúcsaitól azonos távolságra van. Hegyesszögű háromszögben a köré írt kör középpontja a háromszögön belülre esik. Tompaszögű háromszögben a köré írt kör középpontja a háromszögön kívülre esik. Derékszögű háromszögben a köré írt kör középpontja az átfogó felezőpontja. DEFINÍCIÓ: (Háromszög beírt köre) Az olyan kört, amely érinti a háromszög oldalait a háromszög beírt körének nevezzük. A háromszög szögfelezői egy pontban metszik egymást, s ez a metszéspont a háromszög be írható körének középpontja. A beírt kör sugara a középpontból a háromszög egy oldalára bocsátott merőleges szakasz. Jele: r. A beírt kör középpontja a háromszög oldalaitól azonos távolságra van. A háromszög szögfelezője és a szöggel szemközti oldal felezőmerőlegese a köré írt körön metszik egymást. Derékszögű háromszög átfogója a két befogó összegének és a beírható kör kétszeres sugarának különbségével egyenlő. 6
7 DEFINÍCIÓ: (Háromszög hozzá írt köre) Az olyan kört, amely a háromszög egyik oldalát és a másik két oldalának meghosszabbítását érinti, a háromszög hozzá írt (mellé írt) körének nevezzük. A háromszög egy belső szögfelezője és a nem mellette fekvő két külső szög szögfelezője egy pontban metszik egymást, s ez a metszéspont a háromszög hozzá írt körének középpontja. 7
8 A hozzá írt kör sugara a középpontból a háromszög egy oldalegyenesére bocsátott merőleges szakasz. Jele: r a (az a oldalhoz hozzá írt kör sugara); r b ; r c. A hozzá írt kör középpontja a háromszög oldalegyeneseitől azonos távolságra van. A háromszög a, b és c oldalához hozzá írt körének sugara: r a = 2T b+c a r b = 2T a+c b r c = 2T a+b c DEFINÍCIÓ: (Háromszög középvonala) A háromszög két oldalfelező pontját összekötő szakaszt a háromszög középvonalának nevezzük. A háromszög középvonala párhuzamos a nem felezett oldallal és hossza annak a fele. A háromszög 3 középvonala a háromszöget 4 egybevágó háromszögre bontja. DEFINÍCIÓ: (Háromszög magasságvonala) A háromszög egy csúcsából a szemközti oldalra bocsátott merőleges egyenest a háromszög egy magasságvonalának nevezzük. Jele: m a ; m b ; m c. DEFINÍCIÓ: (Háromszög magassága) A háromszög magassága a háromszög csúcsa és a szemközti oldalegyenes távolsága. 8
9 A háromszög magasságvonalai egy pontban metszik egymást, s ezt a pontot a háromszög magasságpontjának nevezzük. Jele: M. Hegyesszögű háromszögben a magasságpont a háromszögön belülre esik. Tompaszögű háromszögben a magasságpont a háromszögön kívülre esik. Derékszögű háromszögben a magasságpont az átfogóval szemben levő csúcs. Tekintve egy háromszög három csúcsát és a magasságpontját, kiválasztva ezek közül három pontot, olyan háromszöget kapunk, melynek magasságpontja éppen a ki nem választott negyedik pont. Hegyesszögű háromszögben a magasságpont valamely oldalra vonatkozó tükörképe illeszkedik a háromszög köré írt körére. DEFINÍCIÓ: (Háromszög súlyvonala) A háromszög egy csúcsát a szemközti oldal felezőpontjával összekötő szakaszt a háromszög egy súlyvonalának nevezzük. Jele: s a ; s b ; s c. A háromszög súlyvonalai egy pontban metszik egymást, s ezt a pontot a háromszög súlypontjának nevezzük. Jele: S. 9
10 A háromszög súlypontja a súlyvonalaknak a csúcsoktól távolabbi harmadolópontja. A háromszög súlyvanala felezi a háromszög területét. DEFINÍCIÓ: (Euler egyenes) A háromszög magasságpontja, súlypontja és a köré írható körének középpontja egy egyenesre esik. Ezt az egyenest a háromszög Euler egyenesének nevezzük. Az S pont az MO szakasz O hoz közelebbi harmadolópontja. DEFINÍCIÓ: (Feuerbach kör) A háromszög oldalfelező pontjai, magasságainak talppontjai, illetve a magasságpont és a csúcsok által meghatározott szakaszok felezőpontjai egy körön vannak. Ezt a kört a háromszög Feuerbach körének nevezzük. A kör középpontja az MO szakasz felezőpontja, sugara pedig a háromszög köré írt kör sugarának a fele. DEFINÍCIÓ: (Simson egyenes) A háromszög köré írt körének bármely pontjából a háromszög oldalaira bocsátott merőlegesek talppontjai egy egyenesre esnek. Ezt az egyenest a körvonal adott pontjához tartozó Simson egyenesének nevezzük. (Pitagorasz tétel) A derékszögű háromszögben a befogók hosszának négyzetösszege egyenlő az átfogó hosszának négyzetével. Jelöléssel: a 2 + b 2 = c 2 (ahol c a háromszög átfogója). 10
11 Igaz a tétel megfordítása is: Ha egy háromszög két oldalhosszának négyzetösszege egyenlő a harmadik oldal hosszának négyzetével, akkor a háromszög derékszögű. Hegyesszögű háromszögben a két rövidebb oldal négyzetösszege nagyobb, mint a leghosszabb oldal négyzete. Tompaszögű háromszögben a két rövidebb oldal négyzetösszege kisebb, mint a leghosszabb oldal négyzete. (Thalesz tétel) Azon pontok halmaza a síkon, amelyekből a sík egy AB szakasza derékszögben látszik, az AB átmérőjű kör, kivéve az A és B pontot. Az AB szakasz, mint átmérő fölé rajzolt kört az AB szakaszhoz tartozó Thalesz körnek nevezzük. A tétel másképpen megfogalmazva: Ha egy kör átmérőjének végpontjait összekötjük a körvonal bármely más pontjával, akkor derékszögű háromszöget kapunk. Igaz a tétel megfordítása is: Ha egy szakasz egy adott pontból derékszög alatt látszik, akkor az a pont a szakasz, mint átmérő fölé rajzolt körvonalnak az átmérőre nem illeszkedő pontja. A Thalesz kör belső pontjaiból az AB szakasz 90 - nál nagyobb, míg a körön kívüli pontokból 90 - nál kisebb szögben látszik. 11
12 Négyszögek DEFINÍCIÓ: (Négyszög) Az olyan sokszöget, melynek 4 oldala van, négyszögnek nevezzük. A négyszög belső, illetve külső szögeinek összege 360. Jelöléssel: α + β + γ + δ = 360 ; α + β + γ + δ = 360. DEFINÍCIÓ: (Trapéz) Az olyan négyszöget, melynek van párhuzamos oldalpárja, trapéznak nevezzük. A trapéz párhuzamos oldalait alapoknak, a másik két oldalát száraknak nevezzük. A trapéz egy száron fekvő szögei kiegészítő szögek. DEFINÍCIÓ: (Húrtrapéz) Az olyan trapézt, amelynek van szimmetriatengelye, húrtrapéznak nevezzük. 12
13 A húrtrapéz szimmetriatengelye felezi az alapokat. A húrtrapéznak van köré írt köre. A húrtrapéz 2 szára egyenlő hosszúságú. A húrtrapéz azonos alapon fekvő szögei egyenlő nagyságúak. A húrtrapéz szemben fekvő szögei kiegészítő szögek. A húrtrapéz átlói egyenlő hosszúságúak, s a metszéspontra illeszkedik a szimmetriatengely. DEFINÍCIÓ: (Paralelogramma) Az olyan négyszöget, melynek szemközti oldalai párhuzamosak paralelogrammának nevezzük. A paralelogramma szemközti oldalai egyenlő hosszúságúak. A paralelogramma szemközti szögei egyenlő nagyságúak és váltószögek. A paralelogramma szomszédos szögei társszögek és kiegészítő szögek. A paralelogramma átlói felezik egymást, s metszéspontjuk a szimmetria középpont. Minden paralelogramma trapéz. 13
14 DEDFINÍCIÓ: (Deltoid) Az olyan négyszöget, amelynek két két szomszédos oldala egyenlő hosszúságú, deltoidnak nevezzük. A deltoid átlói merőlegesek egymásra és egyik felezi a másikat. A deltoid egyik átlója a négyszög szimmetriatengelye, amely 2 szöget felez, s a másik 2 szög pedig egyenlő nagyságú. DEFINÍCIÓ: (Rombusz) Az olyan négyszöget, amelynek minden oldala egyenlő hosszúságú, rombusznak nevezzük. A rombusz átlói merőlegesen felezik egymást. Minden rombusz paralelogramma, illetve deltoid. 14
15 DEFINÍCIÓ: (Téglalap) Az olyan négyszöget, amelynek minden szöge egyenlő nagyságú, téglalapnak nevezzük. A téglalap átlói egyenlő hosszúságúak és felezik egymást. Minden téglalap paralelogramma. DEFINÍCIÓ: (Négyzet) Az olyan négyszöget, amelynek minden oldal és minden szöge egyenlő nagyságú, négyzetnek nevezzük. A négyzet átlói egyenlő hosszúságúak és merőlegesen felezik egymást. Minden négyzet téglalap, illetve deltoid. Minden középpontosan szimmetrikus négyszög paralelogramma. 15
16 DEFINÍCIÓ: (Paralelogramma középvonala) A paralelogramma 2 szemközti oldalának felezőpontját összekötő szakaszt a paralelogramma középvonálnak nevezzük. A paralelogramma középvonala párhuzamos a paralelogramma nem felezett oldalaival és hossza a nem felezett oldalak hosszával egyenlő. DEFNÍCIÓ: (Trapéz középvonala) A trapéz szárainak felezőpontjait összekötő szakaszt a trapéz középvonalának nevezzük. A trapéz középvonala párhuzamos a trapéz alapjaival és hossza az alapok hosszának számtani közepe. Jelöléssel: k = a+c 2. Minden négyszögnek két középvonala van. Síkidom területe: A síkbeli alakzat területe olyan valós szám, amely a következő tulajdonságokkal rendelkezik: minden sokszög területe pozitív szám az egymással egybevágó sokszögek területe egyenlő ha egy sokszöget 2 részre bontunk, akkor a 2 rész területének összege egyenlő az eredetiével az 1 oldalú négyzet területe 1. 16
17 Négyszögek területképlete: Ha egy síkidomot feldarabolunk, akkor a darabok területének összege megegyezik az eredeti síkidom területével. A speciális négyszögek területét visszavezethetjük téglalapokra. Négyzet: T = a 2 Téglalap: T = a b Paralelogramma: T = a m a = b m b. Deltoid: T = e f 2 Rombusz: T = a m a = e f 2 Trapéz: T = a+c 2 m = k m 17
18 Háromszög területképletei: (s a kerület fele, R a köré írt kör sugara, r a beírt kör sugara) T = a m a 2 T = abc 4R T = r s = b m b 2 = c m c 2 T = s (s a) (s b) (s c) Heron - képlet Tetszőleges sokszög területét megkapjuk, ha a sokszöget háromszögekre daraboljuk. Kör és részei DEFINÍCIÓ: (Kör) Azon pontok halmaza a síkon, amelyek a sík egy adott O pontjától adott r távolságra vannak, egy kört (körvonalat) határoznak meg. Az O pontot a kör középpontjának, az r távolságot a kör sugarának nevezzük. Ha a körbe és a kör köré szabályos sokszögeket írunk és ezek oldalszámát növeljük, akkor a beírt sokszögek területe és a köré írt sokszögek területe egyetlen számot fog közre. Ez a szám a kör területének mértékszáma: π 3,14. A π az egység sugarú kör területe. Ezt a módszert kétoldali közelítésnek nevezzük. A kör kerülete: K = 2rπ. A kör területe: T = r 2 π. DEFINÍCIÓ: (Zárt körlap) Azon pontok halmaza a síkon, amelyek a sík egy adott O pontjától adott r távolságnál nem nagyobb távolságra vannak, egy zárt körlapot határoznak meg. DEFINÍCIÓ: (Nyílt körlap) Azon pontok halmaza a síkon, amelyek a sík egy adott O pontjától adott r távolságnál kisebb távolságra vannak, egy nyílt körlapot határoznak meg. 18
19 DEFINÍCIÓ: (Koncentrikus körök) Két kört koncentrikusnak nevezünk, ha középpontjaik egybeesnek. DEFINÍCIÓ: (Körív) A körvonal két pontja közé eső részét körívnek nevezzük. Minden körívhez tartozik egy α = AOB középponti szög, ahol az A, B pontok a körív végpontjai. Egy α középponti szöghöz tartozó körív hossza: i α = 2rπ α 360. DEFINÍCIÓ: (Húr) A kör 2 pontját összekötő szakaszt a kör húrjának nevezzük. Ha a húr illeszkedik a kör középpontjára, akkor azt a kör átmérőjének nevezzük, s ennek hossza a sugár kétszerese. DEFINÍCIÓ: (Szelő) A kör 2 pontjára illeszkedő egyenest a kör szelőjének nevezzük. DEFINÍCIÓ: (Érintő) Azt az egyenest, amelynek pontosan 1 közös pontja van a körrel, a kör érintőjének nevezzük. Egy körhöz egy külső pontból két érintő húzható. A kör minden húrjának felező merőlegese illeszkedik a kör középpontjára. Ha 2 kör érinti egymást, akkor a két kör középpontja és az érintési pont egy egyenesen van. Egy kör minden egyes pontjába pontosan egy érintő húzható és az érintési pontba húzott sugár merőleges az érintőre. 19
20 DEFINÍCIÓ: (Körgyűrű) A körgyűrű olyan síkidom, amelyet a koncentrikus r, illetve R sugarú körvonalak határolnak, ahol r < R. DEFINÍCIÓ: (Körgyűrű cikk) Egy középponti szögnek és a körgyűrűnek a közös részét körgyűrűcikknek nevezzük. DEFINÍCIÓ: (Körcikk) A körcikk olyan síkidom, amelyet a körvonal egy íve és a kör két sugara határol. DEFINÍCIÓ: (Körszelet) A körszelet olyan síkidom, amelyet a körvonal egy íve és a kör egy húrja határol. 20
21 DEFINÍCIÓ: (Érintőszakasz) Az érintőnek az adott ponttól az érintési pontig terjedő szakaszát érintőszakasznak nevezzük. Egy külső pontból a körhöz húzott érintőszakaszok hossza egyenlő. A kör részeinek területe: Kör gyűrű területe: T = R 2 π r 2 π. Körgyűrű cikk területe: T = R 2 π α 360 r2 α π ; T = i R + i r m = ρ m (i R ; i r a hatáéroló ívek hossza, m a szélesség, ρ a körgyűrű középvonala) Körcikk területe: T = r 2 π α 360 = r i 2 Körszelet területe: T = T körcikk T háromszög, vagy T = T körcikk + T háromszög. 21
Ha a síkot egyenes vagy görbe vonalakkal feldaraboljuk, akkor síkidomokat kapunk.
Síkidomok Ha a síkot egyenes vagy görbe vonalakkal feldaraboljuk, akkor síkidomokat kapunk. A határoló vonalak által bezárt síkrész a síkidom területe. A síkidomok határoló vonalak szerint lehetnek szabályos
RészletesebbenBrósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Geometria IV.
Geometria IV. 1. Szerkessz egy adott körhöz egy adott külső ponton átmenő érintőket! Jelöljük az adott kört k val, a kör középpontját O val, az adott külső pontot pedig P vel. A szerkesztéshez azt használjuk
Részletesebben3. KÖRGEOMETRIA. 3.1. Körrel kapcsolatos alapismeretek
3. KÖRGEOMETRIA Hajós György: Bevezetés a geometriába, Tankönyvkiadó, Budapest, 89 109. és 121. oldal. Pelle Béla: Geometria, Tankönyvkiadó, Budapest, 86 97. és 117 121. oldal. Kovács Zoltán: Geometria,
RészletesebbenKoordináta - geometria I.
Koordináta - geometria I. DEFINÍCIÓ: (Helyvektor) A derékszögű koordináta - rendszerben a pont helyvektora az origóból a pontba mutató vektor. TÉTEL: Ha i az (1; 0) és j a (0; 1) pont helyvektora, akkor
Részletesebben6) Határozza meg a következő halmazokat! A= {deltoidok} {téglalapok}; B= {négyzetek} {húrnégyszögek} (2pont)
(8/1) Síkgeometria 1) Döntse el, hogy a következő állítások közül melyik igaz, melyik hamis! a) Van olyan rombusz, amely téglalap is. (1pont) b) Minden paralelogrammának pontosan két szimmetriatengelye
RészletesebbenTérgeometria feladatok. 2. Egy négyzetes oszlop magassága háromszor akkora, mint az alapéle, felszíne 504 cm 2. Mekkora a testátlója és a térfogata?
Térgeometria feladatok Téglatest 1. Egy téglatest éleinek aránya 2 : 3 : 5, felszíne 992 cm 2. Mekkora a testátlója és a 2. Egy négyzetes oszlop magassága háromszor akkora, mint az alapéle, felszíne 504
RészletesebbenÁbrahám Gábor A háromszög és a terület Feladatok. Feladatok
I. Klasszikus, bevezető feladatok Feladatok 1. Az alábbi feladatokban hányad része a satírozott rész területe az eredeti négyszög területének? a) Egy paralelogramma valamely belső pontját összekötjük a
RészletesebbenVektorok összeadása, kivonása, szorzás számmal, koordináták, lineáris függetlenség
Vektoralgebra Vektorok összeadása, kivonása, szorzás számmal, koordináták, lineáris függetlenség Feladatok: 1) A koordinátarendszerben úgy helyezzük el az egységkockát, hogy az origó az egyik csúcsba essék,
RészletesebbenBrósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Térgeometria V.
Térgeometria V. 1. Egy 4, 6 dm átmérőjű, 5 dm magasságú, 7, dm sűrűségű hengerből a lehető legnagyobb szabályos nyolcoldalú oszlopot kell készíteni. Mekkora lesz a tömege? Az oszlop magassága a henger
RészletesebbenBrósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló gimnáziuma) Térgeometria III.
Térgeometria III. 1. Szabályos háromoldalú gúla alapéle 1 cm, oldaléle 1 cm. Milyen magas a gúla? Tekintsük a következő ábrát: Az alaplap szabályos ABC, így a D csúcs merőleges vetülete a háromszög S súlypontja.
RészletesebbenElektronikus tananyag MATEMATIKA 10. osztály II. félév
Elektronikus tananyag MATEMATIKA 0. osztály II. félév A hasonlósági transzformáció és alkalmazásai. Párhuzamos szelők és szelőszakaszok A párhuzamos szelők tétele TÉTEL: Ha egy szög szárait párhuzamos
RészletesebbenGeometriai alapfogalmak
Geometriai alapfogalmak Alapfogalmak (nem definiáljuk): pont, egyenes, sík, tér. Félegyenes: egy egyenest egy pontja két félegyenesre bontja. Ez a pont a félegyenes végpontja. A félegyenes végtelen hosszú.
RészletesebbenBaka Endre. Szabadka, Jugoszlávia
ÉRDEKESSÉGEK HÁROMSZÖGEN aka Ende Szabadka, Jugoszlávia LPPONI HÁROMSZÖG Ebben a fejezetben kettő, a talpponti háomszöggel kapsolatos, nem túl ismet tételt szeetnék bemutatni és bizonyítani. De előszö
RészletesebbenAdd meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit!
1. 2. 3. 4. 5. Add meg az összeadásban szereplő Add meg a kivonásban szereplő Add meg a szorzásban szereplő Add meg az osztásban szereplő Hogyan függ két szám előjelétől a két szám szorzata, hányadosa?
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉPSZINT Koordináta-geometria
MTEMTIK ÉRETTSÉGI TÍPUSFELDTOK KÖZÉPSZINT Koordináta-gomtria szürkíttt háttrű fladatrzk nm tartoznak az érinttt témakörhöz azonban szolgálhatnak fontos információval az érinttt fladatrzk mgoldásához! 1)
RészletesebbenMATEMATIKA KOMPETENCIATERÜLET A
MATEMATIKA KOMPETENCIATERÜLET A Matematika 7. évfolyam TANULÓI MUNKAFÜZET 2. félév A kiadvány KHF/4002-17/2008 engedélyszámon 2008. 08. 18. időponttól tankönyvi engedélyt kapott Educatio Kht. Kompetenciafejlesztő
RészletesebbenVektoralgebrai feladatok
Vektoralgebrai feladatok 1. Vektorok összeadása és szorzatai, azok alkalmazása 1.1 a) Írja fel a és vektorokat az és átlóvektorok segítségével! b) Milyen hosszú az + ha =1? 1.2 Fejezze ki az alábbi vektorokat
RészletesebbenOsztályozó és Javító vizsga témakörei matematikából 9. osztály 2. félév
Osztályozó és Javító vizsga témakörei matematikából 9. osztály 2. félév IV. Háromszögek, négyszögek, sokszögek Pontok, egyenesek, síkok és ezek kölcsönös helyzete Néhány alapvető geometriai fogalom A háromszögekről.
RészletesebbenA skatulya-elv alkalmazásai
1 A skatulya-elv alkalmazásai Számelmélet 1. Az első 4n darab pozitív egész számot beosztjuk n számú halmazba. Igazoljuk, hogy mindig lesz három olyan szám, amelyek ugyanabban a halmazban vannak és valamely
RészletesebbenOrszágos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2011/2012 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) Döntő. x 3x 2 <
Oktatási Hivatal Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 011/01 Matematika I. kategória (SZKKÖZÉPISKOL) Döntő 1. Határozza meg az összes olyan egész számot, amely eleget tesz az egyenlőtlenségnek! log
Részletesebben2) 2005/0513/4 Egy kör sugara 6 cm. Számítsa ki ebben a körben a 120 -os középponti szöghöz tartozó körcikk területét!
SÍKGEOMETRIA 2004-2014 1) 2004/mfs/12 Kör alakú amfiteátrum küzdőterének két átellenes pontjában áll egy-egy gladiátor, az uralkodó a pálya szélén ül. A gladiátorok egyenes vonalban odafutnak az uralkodóhoz.
RészletesebbenBrósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Geometria V.
Geometria V. DEFINÍCIÓ: (Középponti szög) Ha egy szög csúcsa egy adott kör középpontja, akkor a kör középponti szögének nevezzük. DEFINÍCIÓ: (Kerületi szög) Ha egy szög csúcsa egy adott körvonal pontja,
RészletesebbenA döntő feladatai. valós számok!
OKTV 006/007. A döntő feladatai. Legyenek az x ( a + d ) x + ad bc 0 egyenlet gyökei az x és x valós számok! Bizonyítsa be, hogy ekkor az y ( a + d + abc + bcd ) y + ( ad bc) 0 egyenlet gyökei az y x és
RészletesebbenA parabola és az egyenes, a parabola és kör kölcsönös helyzete
66 A paraola 00 egyen a keresett kör középpontja Az pont koordinátái: ( y) Ekkor felírhatjuk a következô egyenletet: ( - ) + ( y- ) = mert a kör sugara > 0 Innen rendezéssel: ( y- ) = 6 - A mértani hely
RészletesebbenBrósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Térgeometria II.
Térgeometria II. 1. Hány részre osztja a teret a kocka lapjainak 6 síkja? Tekintsük a következő ábrát: Oldalnézetből a következő látjuk: Ezek alapján a teret 3 9 = 27 részre osztja fel a kocka lapsíkjai.
RészletesebbenMegyei Matematika Szakkör Feladatsorok. A foglakozások hétfő délutánonként 16.30-tól kezdődnek a Matematikai Intézet M402-es tantermében.
Debreceni Egyetem, Matematikai Intézet H-4010 Debrecen, Pf. 12 +3652512900 office.math@science.unideb.hu Megyei Matematika Szakkör Feladatsorok A foglakozások hétfő délutánonként 16.30-tól kezdődnek a
RészletesebbenBOLYAI MATEMATIKA CSAPATVERSENY DÖNTŐ 2004. 5. osztály
5. osztály Ha egy négyzetet az ábrán látható módon feldarabolunk, akkor a tangram nevű ősi kínai játékot kapjuk. Mekkora a nagy négyzet területe, ha a kicsié 8 cm 2? (A kis négyzet egyik csúcsa a nagy
RészletesebbenAnalízis elo adások. Vajda István. 2012. szeptember 24. Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem. Vajda István (Óbudai Egyetem)
Vajda István Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem 1/8 A halmaz alapfogalom, tehát nem definiáljuk. Jelölés: A halmazokat általában nyomtatott nagybetu vel jelöljük Egy H halmazt akkor tekintünk
RészletesebbenA 2014/2015. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny. MATEMATIKA III. KATEGÓRIA (a speciális tanterv szerint haladó gimnazisták)
A 2014/2015. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első forduló MATEMATIKA III. KATEGÓRIA (a speciális tanterv szerint haladó gimnazisták) Javítási-értékelési útmutató Kérjük a javító tanárokat,
RészletesebbenAzonosító jel: Matematika emelt szint
I. 1. Hatjegyű pozitív egész számokat képezünk úgy, hogy a képzett számban szereplő számjegy annyiszor fordul elő, amekkora a számjegy. Hány ilyen hatjegyű szám képezhető? 11 pont írásbeli vizsga 1012
RészletesebbenHASONLÓSÁGGAL KAPCSOLATOS FELADATOK. 2,4 cm
HASONLÓSÁGGAL KAPCSOLATOS FELADATOK Egserő, hasonlósággal kapcsolatos feladatok 1. Határod meg a, és sakasok hossát! cm cm 2, cm 2. Határod meg a,,, u és v sakasok hossát! 2 v 2 . Határod meg a,,, u és
Részletesebben( ) Schultz János EGYENLŐTLENSÉGEK A HÁROMSZÖG GEOMETRIÁJÁBAN
Shultz János EGYENLŐLENSÉGEK A HÁOMSZÖG GEOMEIÁJÁBAN Igzoljuk hogy egy szályos háromszög első pontját súsokkl összekötő három szkszól mindig szerkeszthető háromszög Egy tégllp elsejéen vegyünk fel egy
RészletesebbenArany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2011/2012-es tanév első (iskolai) forduló haladók I. kategória
Bolyai János Matematikai Társulat Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 011/01-es tanév első (iskolai) forduló haladók I. kategória Megoldások és javítási útmutató 1. Az ábrán látható ABC derékszögű háromszög
Részletesebben1. HÁROMSZÖGGEOMETRIA
1.1. Nevezetes egyenlőtlenségek 1. HÁROMSZÖGGEOMETRIA Fagnano feladata: Bizonyítandó, hogy adott hegyesszögű hároszögbe írt legkisebb kerületű hároszög csúcsai az adott hároszög agasságainak talppontjaival
RészletesebbenBrósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Geometria I.
Geometria I. Alapfogalmak: Az olyan fogalmakat, amelyeket nem tudunk egyszerűbb fogalmakra visszavezetni, alapfogalmaknak nevezzük, s ezeket nem definiáljuk. Pl.: pont, egyenes, sík, tér, illeszkedés.
RészletesebbenMATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A
MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A Matematika 6. évfolyam TANULÓI MUNKAFÜZET 2. FÉLÉV A kiadvány KHF/4356-14/2008. engedélyszámon 2008.11.25. időponttól tankönyvi engedélyt kapott Educatio Kht. Kompetenciafejlesztő
RészletesebbenKapitány Benedek AZ IZOPERIMETRIKUS EGYENLŐTLENSÉG. BSc szakdolgozat. Témavezető: Frenkel Péter Algebra és Számelmélet Tanszék
EÖTVÖS LORÁND TUDOMÁNY EGYETEM TERMÉSZETTUDOMÁNYI KAR Kapitány Benedek AZ IZOPERIMETRIKUS EGYENLŐTLENSÉG BSc szakdolgozat Témavezető: Frenkel Péter Algebra és Számelmélet Tanszék Budapest, 2013 Tartalomjegyzék
RészletesebbenBOLYAI MATEMATIKA CSAPATVERSENY FŐVÁROSI DÖNTŐ SZÓBELI (2005. NOVEMBER 26.) 5. osztály
5. osztály Írd be az ábrán látható hat üres körbe a 10, 30, 40, 60, 70 és 90 számokat úgy, hogy a háromszög mindhárom oldala mentén a számok összege 200 legyen! 50 20 80 Egy dobozban háromféle színű: piros,
RészletesebbenEmelt szintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Szászné Simon Judit; dátum: 2005. november. I. rész
Szászné Simon Judit, 005. november Emelt szintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Szászné Simon Judit; dátum: 005. november. feladat I. rész Oldjuk meg a valós számok halmazán a x 5x
RészletesebbenI. rész. Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati. Név:...osztály:... Matematika kisérettségi. 2012. május 15. Fontos tudnivalók
Matematika kisérettségi 2012. május 15. I. rész Fontos tudnivalók 1. A feladatok megoldására 30 percet fordíthat, az id elteltével a munkát be kell fejeznie. 2. A megoldások sorrendje tetsz leges. 3. A
RészletesebbenGeometria. A geometria vagy mértan a geo+metros= földmérés szóból ered, görög tudósok és egyiptomi földmérnökök tapasztalataira épül.
Geometri A geometri vgy mértn geo+metros= földmérés szóól ered, görög tudósok és egyiptomi földmérnökök tpsztltir épül. Az euklideszi geometri lpfoglmkr, lpreláiókr és xiómákr épül. - lpfoglmk: például
RészletesebbenMATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA 12.C ÉS 13.B OSZTÁLY HETI 4 ÓRA 31 HÉT/ ÖSSZ 124 ÓRA
MINŐSÉGIRÁNYÍTÁSI ELJÁRÁS MELLÉKLET Tanmenetborító Azonosító: ME-III.1./1 Változatszám: 2 Érvényesség kezdete: 2013.09. 01. Oldal/összes: 1/6 Fájlnév:ME-III.1.1. Tanmenetborító SZK-DC- 2013 MATEMATIKA
RészletesebbenBudapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Matematika Intézet
Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Matematika Intézet Példatár a Bevezető matematika tárgyhoz Amit tudni kell a BSC képzés előtt Összeállította: Kádasné dr. V. Nagy Éva egyetemi docens Szerkesztette:
RészletesebbenÉpületvillamosság laboratórium. Villámvédelemi felfogó-rendszer hatásosságának vizsgálata
Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Villamos Energetika Tanszék Nagyfeszültségű Technika és Berendezések Csoport Épületvillamosság laboratórium Villámvédelemi felfogó-rendszer hatásosságának
RészletesebbenGeometria, 7 8. évfolyam
Geometria, 7 8. évfolyam Fazakas Tünde és Hraskó András 010. január 5. 4 TARTALOMJEGYZÉK Tartalomjegyzék Feladatok 7 1. Szerkesztések I.................................. 7 1.1. Alapszerkesztések.............................
RészletesebbenPRÓBAÉRETTSÉGI MATEMATIKA. 2003. május-június SZÓBELI EMELT SZINT. Tanulói példány. Vizsgafejlesztő Központ
PRÓBAÉRETTSÉGI 2003. május-június MATEMATIKA SZÓBELI EMELT SZINT Tanulói példány Vizsgafejlesztő Központ 1. Halmazok, halmazműveletek Alapfogalmak, halmazműveletek, számosság, számhalmazok, nevezetes ponthalmazok
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Koordinátageometria
1) MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Koordinátageometria A szürkített hátterű feladatrzek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett
RészletesebbenBOLYAI MATEMATIKA CSAPATVERSENY ORSZÁGOS DÖNTŐ SZÓBELI (2012. NOVEMBER 24.) 3. osztály
3. osztály Két szám összege 33. Mennyi ennek a két számnak a különbsége, ha az egyik kétszerese a másiknak? Hány olyan háromjegyű szám van, amelyben a számjegyek összege legalább 25? 4. osztály A Zimrili
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉPSZINT Függvények
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek megoldásához!
RészletesebbenMATEMATIKA 9. osztály Segédanyag 4 óra/hét
MATEMATIKA 9. osztály Segédanyag 4 óra/hét - 1 - Az óraszámok az AROMOBAN követhetőek nyomon! A tananyag feldolgozása a SOKSZÍNŰ MATEMATIKA (Mozaik, 013) tankönyv és a SOKSZÍNŰ MATEMATIKA FELADATGYŰJTEMÉNY
Részletesebben- hányadost és az osztót összeszorozzuk, majd a maradékot hozzáadjuk a kapott értékhez
1. Számtani műveletek 1. Összeadás 73 + 19 = 92 összeadandók (tagok) összeg Összeadáskor a tagok felcserélhetőek, az összeg nem változik. a+b = b+a Összeadáskor a tagok tetszőlegesen csoportosíthatóak
RészletesebbenAnalízis elo adások. Vajda István. 2012. október 3. Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem. Vajda István (Óbudai Egyetem)
Vajda István Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem / 40 Fogalmak A függvények értelmezése Definíció: Az (A, B ; R ) bináris relációt függvénynek nevezzük, ha bármely a A -hoz pontosan egy olyan
RészletesebbenIV. Trigonometria. Szögek átváltása fokról radiánra és fordítva. Hegyesszögû trigonometriai alapfeladatok
. Trigoometria Szögek átváltása fokról radiára és fordítva 456. a) ; 90 ; 60 ; 45 ;,5. b) 10 ; 150; 15 ; 40 ; 10. 457. a) 00 ; 15 ; 6 ; 70 ; 5. b). 57,96 ;. 14,9 ;. 9,794 ;. 16,7 ;. 6,6. r 458. a). 114,59
RészletesebbenFejezetek az abszolút geometriából 6. Merőleges és párhuzamos egyenesek
Fejezetek az abszolút geometriából 6. Merőleges és párhuzamos egyenesek Ebben a fejezetben megadottnak feltételezzük az abszolút tér egy síkját és tételeink mindig ebben a síkban értendők. T1 (merőleges
Részletesebben2. előadás: További gömbi fogalmak
2 előadás: További gömbi fogalmak 2 előadás: További gömbi fogalmak Valamely gömbi főkör ívének α azimutja az ív egy tetszőleges pontjában az a szög, amit az ív és a meridián érintői zárnak be egymással
RészletesebbenNT-17112 Az érthető matematika 9. Tanmenetjavaslat
NT-17112 Az érthető matematika 9. Tanmenetjavaslat Ezzel a segédanyaggal szeretnék segítséget nyújtani a középiskolák azon matematikatanárainak, akik a matematikai oktatáshoz és neveléshez Juhász István
RészletesebbenMATEMATIKA ÍRÁSBELI VIZSGA 2012. május 8.
MATEMATIKA ÍRÁSBELI VIZSGA 2012. május 8. I. rész Fontos tudnivalók A feladatok megoldásához szöveges adatok tárolására és megjelenítésére nem alkalmas zsebszámológépet és bármelyik négyjegyű függvénytáblázatot
RészletesebbenForgásfelületek származtatása és ábrázolása
Forgásfelületek származtatása és ábrázolása Ha egy rögzített egyenes körül egy tetszőleges görbét forgatunk, akkor a görbe úgynevezett forgásfelületet ír le; a rögzített egyenes, amely körül a görbe forog,
RészletesebbenMATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS EMELT SZINT
Matematika PRÉ megoldókulcs 0. január 8. MTEMTIK PRÓBÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULS EMELT SZINT. Egy atlétika csapat alapozást tart. Robbanékonyságukat és állóképességüket 0 méteres síkfutással fejlesztik. Összesen
Részletesebben5. Trigonometria. 2 cos 40 cos 20 sin 20. BC kifejezés pontos értéke?
5. Trigonometria I. Feladatok 1. Mutassuk meg, hogy cos 0 cos 0 sin 0 3. KöMaL 010/október; C. 108.. Az ABC háromszög belsejében lévő P pontra PAB PBC PCA φ. Mutassuk meg, hogy ha a háromszög szögei α,
RészletesebbenMATEMATIKA GYAKORLÓ FELADATGYŰJTEMÉNY
MATEMATIKA GYAKORLÓ FELADATGYŰJTEMÉNY (Kezdő 9. évfolyam) A feladatokat a Borbás Lászlóné MATEMATIKA a nyelvi előkészítő évfolyamok számára című könyv alapján állítottuk össze. I. Számok, műveletek számokkal.
RészletesebbenMatematika házivizsga 11. évfolyamon részletes követelmények
Matematika házivizsga on részletes követelmények A vizsga időpontja: 016. április 11. típusa: írásbeli időtartama:180 perc (45 perc + 135 perc) Tankönyv: Sokszínű matematika 11. és a hozzá tartozó feladatgyűjtemény
RészletesebbenNT-17102/1 Matematika 9. (Heuréka) Tanmenetjavaslat
NT-17102/1 Matematika 9. (Heuréka) Tanmenetjavaslat A Dr. Fried Katalin Dr. Gerőcs László Számadó László Matematika 9. tankönyvben (Heuréka-sorozat) a középszintű érettségihez találjuk meg a tananyagot,
Részletesebben10. évfolyam, negyedik epochafüzet
10. évfolyam, negyedik epochafüzet (Geometria) Tulajdonos: NEGYEDIK EPOCHAFÜZET TARTALOM I. Síkgeometria... 4 I.1. A háromszög... 4 I.2. Nevezetes négyszögek... 8 I.3. Sokszögek... 14 I.4. Kör és részei...
RészletesebbenHraskó András: FPI tehetséggondozó szakkör 10. évf
FPI tehetséggondozó szakkör 10. évf. I. foglalkozás, 2011. szeptember 20. I.1. Helyezzünk 15 piros pontot egy hatszög oldalaira úgy, hogy minden oldalon ugyanannyi piros pont legyen! I.2. Melyek azok a
RészletesebbenJavítóvizsga témakörei matematika tantárgyból
9.osztály Halmazok: - ismerje és használja a halmazok megadásának különböző módjait, a halmaz elemének fogalmát - halmazműveletek : ismerje és alkalmazza gyakorlati és matematikai feladatokban a következő
RészletesebbenMunkafüzet megoldások 7. osztályos tanulók számára. Makara Ágnes Bankáné Mező Katalin Argayné Magyar Bernadette Vépy-Benyhe Judit
Kalandtúra 7. unkafüzet megoldások 7. osztályos tanulók számára akara Ágnes Bankáné ező Katalin Argayné agyar Bernadette Vépy-Benyhe Judit BEELEGÍTŐ GONDOLKODÁS. SZÓRAKOZTATÓ FELADVÁNYOK. oldal. 6... 6.
RészletesebbenMATEMATIKA ÍRÁSBELI VIZSGA 2011. május 3.
MATEMATIKA ÍRÁSBELI VIZSGA I. rész Fontos tudnivalók A megoldások sorrendje tetszőleges. A feladatok megoldásához szöveges adatok tárolására és megjelenítésére nem alkalmas zsebszámológépet és bármelyik
RészletesebbenKőszegi Irén MATEMATIKA. 9. évfolyam
-- Kőszegi Irén MATEMATIKA 9. évfolyam (a b) 2 = a 2 2ab + b 2 2015 1 2 Tartalom 1. HALMAZOK... 5 2. SZÁMHALMAZOK... 8 3. HATVÁNYOK... 12 4. OSZTHATÓSÁG... 14 5. ALGEBRAI KIFEJEZÉSEK... 17 6. FÜGGVÉNYEK...
RészletesebbenGeometriai egyenlőtlenségek a gömbfelületen
Geometriai egyenlőtlenségek a gömbfelületen Szakdolgozat Készítette: RÁCZ KRISZTINA Matematika BSc Tanári szakirány Témavezető: KERTÉSZ GÁBOR Egyetemi adjunktus Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Trigonometria
005-05 MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Trigonometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett
RészletesebbenOsztályozó vizsga kérdések. Mechanika. I.félév. 2. Az erőhatás jellege, jelölések, mértékegységek
Osztályozó vizsga kérdések Mechanika I.félév 1. Az erő fogalma, jellemzői, mértékegysége 2. Az erőhatás jellege, jelölések, mértékegységek 4 A 4. 4 3. A statika I., II. alaptörvénye 4. A statika III. IV.
RészletesebbenMATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS EMELT SZINT
Matematika PRÉ megoldókulcs 0. január. MTEMTIK PRÓBÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS EMELT SZINT ) dottak a 0; ; ; ; ; ; 5; 7; 7; 8 számjegyek. Hány darab tízjegyű, 5-tel osztható szám készíthető az adott számjegyekből
RészletesebbenG Szabályfelismerés 2.2. 2. feladatcsomag
ÖSSZEFÜÉSEK Szabályfelismerés 2.2 Alapfeladat Szabályfelismerés 2. feladatcsomag összefüggés-felismerő képesség fejlesztése szabályfelismeréssel megkezdett sorozat folytatása a felismert szabály alapján
RészletesebbenMezei Ildikó-Ilona. Analitikus mértan
Mezei Ildikó-Ilona Analitikus mértan feladatgyűjtemény Kolozsvár 05 Tartalomjegyzék. Vektoralgebra 3.. Műveletek vektorokkal.................................. 3.. Egyenes vektoriális egyenlete..............................
RészletesebbenEgy csodálatos egyenesről (A Simson-egyenes) Bíró Bálint, Eger
Egy csodálatos egyenesről (A Simson-egyenes) Bíró Bálint, Eger. feladat Állítsunk merőlegeseket egy húrnégyszög csúcsaiból a csúcsokon át nem menő átlókra. Bizonyítsuk be, hogy a merőlegesek talppontjai
RészletesebbenAranymetszés a geometriában
SZEGEDI TUDOMÁNYEGYETEM Természettudományi és Informatikai Kar Geometria Tanszék Matematika BSc, tanári szakirány SZAKDOLGOZAT Aranymetszés a geometriában Készítette: Juhász Szabolcs Témavezető: Dr. Gévay
RészletesebbenBevezetés. Párhuzamos vetítés és tulajdonságai
Bevezetés Az ábrázoló geometria célja a háromdimenziós térben elhelyezkedő alakzatok helyzeti és metrikus viszonyainak egyértelműen és egyértelműen visszaállítható (rekonstruálható) módon történő való
RészletesebbenTalpponti háromszög és konvergens sorozatok
Talpponti háromszög és konvergens sorozatok Az alábbiakban a háromszögek talpponti háromszögének egy tulajdonságát fogjuk igazolni. Ez vezet majd el egy bizonyos sorozat konvergenciájának felismeréséhez
RészletesebbenMatematika tanári szeminárium a Fazekasban 2012-2013/4.
atematika tanári szeminárium a Fazekasban 2012-2013/4. 4. foglalkozás öal. 4474. feladatra 1 sok szép megoldást hoztak Gyenes Zoltán diákjai, a 9.c osztály tanulói. példához nagyon hasonló kérdéssel a
RészletesebbenLécgerenda. 1. ábra. 2. ábra
Lécgerenda Egy korábbi dolgozatunkban melynek címe: Karimás csőillesztés már szóltunk arról, hogy a szeezetek számításaiban néha célszerű lehet a diszkrét mennyiségeket folyto - nosan megoszló mennyiségekkel
RészletesebbenNT-17102 Matematika 9. (Heuréka) Tanmenetjavaslat
NT-17102 Matematika 9. (Heuréka) Tanmenetjavaslat Ezzel a segédanyaggal szeretnék segítséget nyújtani a középiskolák azon matematikatanárainak, akik a matematikai oktatáshoz és neveléshez Dr. Fried Katalin
RészletesebbenPitagorasz tételének általánosítása n-dimenzióra
Pitagorasz tételének általánosítása n-dimenzióra Ajánlom ezt az írást Lázárné Kántor Irénnek, a kolozsvári Báthory István Líceum volt matematika tanárának és igazgatójának, aki bevezetett a matematika
RészletesebbenLehet hogy igaz, de nem biztos. Biztosan igaz. Lehetetlen. A paralelogrammának van szimmetria-középpontja. b) A trapéznak két szimmetriatengelye van.
Geometria, sokszögek, szögek, -, 2004_01/5 Lili rajzolt néhány síkidomot: egy háromszöget, egy deltoidot, egy paralelogrammát és egy trapézt. A következő állítások ezekre vonatkoznak. Tegyél * jelet a
RészletesebbenPRÓBAÉRETTSÉGI VIZSGA
MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI VIZSGA 2012. Január 21. EMELT SZINTŰ PRÓBAÉRETTSÉGI VIZSGA 2012. Január 21. Az írásbeli vizsga időtartama: 240 perc Név Tanárok neve Email Pontszám STUDIUM GENERALE MATEMATIKA
RészletesebbenElsőfokú egyenletek...
1. Hozza egyszerűbb alakra a következő kifejezést: 1967. N 1. Elsőfokú egyenletek... I. sorozat ( 1 a 1 + 1 ) ( 1 : a+1 a 1 1 ). a+1 2. Oldja meg a következő egyenletet: 1981. G 1. 3x 1 2x 6 + 5 2 = 3x+1
RészletesebbenIzoperimetrikus típusú egyenlőtlenségek az orsókonvexitásban
Szegedi Tudományegyetem Bolyai Intézet Izoperimetrikus típusú egyenlőtlenségek az orsókonvexitásban Isoperimetric type inequalities in spindle convexity Szakdolgozat Készítette: Siroki Dávid matematika
RészletesebbenSíkgeometria 12. évfolyam. Szögek, szögpárok és fajtáik
Szögek, szögpárok és fajtáik Szögfajták: Jelölés: Mindkét esetben: α + β = 180 Pótszögek: Olyan szögek, amelyeknek összege 90. Oldalak szerint csoportosítva A háromszögek Általános háromszög: Minden oldala
Részletesebben2) = 0 ahol x 1 és x 2 az ax 2 + bx + c = 0 ( a,b, c R és a 0 )
Fogalom gyűjtemény Abszcissza: az x tengely Abszolút értékes egyenletek: azok az egyenletek, amelyekben abszolút érték jel szerepel. Abszolútérték-függvény: egy elemi egyváltozós valós függvény, mely minden
RészletesebbenJAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ
EMIR azonosító: TÁMOP-3..8-09/-00-0004 MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ PRÓBAÉRETTSÉGI VIZSGA 4 ÍRÁSBELI VIZSGA Ideje: 04. április 4. JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Oktatási Hivatal Cím: H 055 Budapest, Szalay u.
Részletesebben4. előadás. Vektorok
4. előadás Vektorok Vektorok bevezetése Ha adottak a térben az A és a B pontok, akkor pontosan egy olyan eltolás létezik, amely A-t B- be viszi. Ha φ egy tetszőleges eltolás, akkor ez a tér minden P pontjához
RészletesebbenKör kvadratúrája. Ezzel a címmel találtunk egy ábrát [ 1 ] - ben 1. ábra. 1. ábra
1 Kör kvadratúrája Ezzel a címmel találtunk egy ábrát [ 1 ] - ben 1. ábra. 1. ábra Ez az ábra hibás, hiába javított kiadásról van szó. Nézzük, miért! Az ábrázolt kék kör és rózsaszín négyzet területe egyenlő.
RészletesebbenIzöperimetrikus pröblémák
Eö tvö s Lörá nd Tudömá nyegyetem Terme szettudömá nyi Kár Izöperimetrikus pröblémák Szakdolgozat Készítette: Kiss Évá Mágdölná Mátemátiká BSc. Tánári szákirány Témávezető: Dr. habil. Csikós Bálázs Tszv.
RészletesebbenMATEMATIKA I. RÉSZLETES ÉRETTSÉGI VIZSGAKÖVETELMÉNY A) KOMPETENCIÁK
MATEMATIKA I. RÉSZLETES ÉRETTSÉGI VIZSGAKÖVETELMÉNY Az érettségi követelményeit két szinten határozzuk meg: - középszinten a mai társadalomban tájékozódni és alkotni tudó ember matematikai ismereteit kell
Részletesebben3. Nevezetes ponthalmazok a síkban és a térben
3. Nevezetes ponthalmazok a síkban és a térben 1. 1. Alapfogalmak 2. Nevezetes sík- és térbeli alakzatok, definícióik 3. Thalész-tétel 4. Gyakorlati alkalmazás Pont: alapfogalom, nem definiáljuk Egyenes:
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2012. május 8. KÖZÉPSZINT
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 01. május 8. KÖZÉPSZINT 1) Egy mértani sorozat első tagja 3, hányadosa első hat tagjának összegét! n n 1 Sn na1 d, ebből: S I.. Adja meg a sorozat ( pont) 6 63.( pont) ) Írja fel annak
RészletesebbenFELADATOK A. A feladatsorban használt jelölések: R + = {r R r>0}, R = {r R r < 0}, [a; b] = {r R a r b}, ahol a, b R és a b.
FELADATOK A RELÁCIÓK, GRÁFOK TÉMAKÖRHÖZ 1. rész A feladatsorban használt jelölések: R = {r R r < 0}, R + = {r R r>0}, [a; b] = {r R a r b}, ahol a, b R és a b. 4.1. Feladat. Adja meg az α = {(x, y) x +
RészletesebbenMATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ
Matematika középszint 05 ÉRETTSÉGI VIZSGA 007. május 8. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók Formai előírások:.
Részletesebben11. Lecke. Integrált LOGO- és matematikaoktatás: Geometria és egyenletek. 11. Lecke / 1.
11. Lecke / 1. 11. Lecke Integrált LOGO- és matematikaoktatás: Geometria és egyenletek A számítástechnika számos alkalmazása matematikai módszerek programozásán alapszik. Ismertettünk már példákat lineáris
RészletesebbenA MŰSZAKI MECHANIKA TANTÁRGY JAVÍTÓVIZSGA KÖVETELMÉNYEI 20150. AUGUSZTUS
A MŰSZAKI MECHANIKA TANTÁRGY JAVÍTÓVIZSGA KÖVETELMÉNYEI 20150. AUGUSZTUS 1., Merev testek általános statikája mértékegységek a mechanikában a számító- és szerkesztő eljárások parallel alkalmazása Statikai
Részletesebben