Néhány kockadobással kapcsolatos feladat 1 P 6

Átírás

1 Néhány kockadobással kapcsolatos feladat Feldobunk egy kockát. Az eseménytér: ; 2; ; ; ; Az összes esetek száma:. Feldobunk egy kockát. Mi a valószínűsége, hogy hatost dobunk? A kedvező esetek száma: (hatost dobtunk) Az összes esetek száma: P 2. Mennyi a valószínűsége, hogy szabályos kockával páros számot dobunk? A kedvező esetek száma: 2; ; db Az összes esetek száma: P 0%. Feldobunk egy kockát. Mi a valószínűsége, hogy legalább hármast dobunk? A kedvező esetek száma: ; ; ; db Az összes esetek száma: P,7%. Feldobunk egy kockát. Mi a valószínűsége, hogy legfeljebb hármast dobunk? A kedvező esetek száma: ; 2; db Az összes esetek száma: P 0% 2. Feldobunk egy kockát. Mi a valószínűsége, hogy prímszámot dobunk?. Feldobunk egy kockát. Mi a valószínűsége, hogy hármasnál kisebbet dobunk? 7. Írjon le egy olyan véletlen kísérletet, amelyben egy Ön által előre megadott esemény bekövetkezésének valószínűsége 0,2! 8. Mennyi a valószínűsége annak, hogy egy dobókockával kétszer egymás után dobva az első szám páros, a második szám páratlan? Az összes esetek száma: ;; ;2; ;; ;; ;; ; 2;; 2;2; 2;; 2;; 2;; 2; ;; ;2; ;; ;; ;; ; ;; ;2; ;; ;; ;; ; A kedvező esetek száma: 9 2;; 2;; 2; ;; ;; ; ;; ;; ; P 9 2% ;; ;2; ;; ;; ;; ; ;; ;2; ;; ;; ;; ;

2 H. (páros) 2. (páratlan) Kedvező esetek száma L 9 Harmadik megoldás: Fogjuk fel a kísérletet két esemény szorzataként. Az első dobás páros. Az első dobás valószínűsége /. A második dobás páratlan. Az második dobás valószínűsége /. P P(első) P(második) 2% Az eredmény jó. Kérdés, hogy a módszer jó-e? Az hogy ellentétes paritású számokat dobok, két olyan esemény szorzata, amelyek kizárják egymást. Sejtés: Egymástól független események szorzatának a valószínűsége megegyezik az események valószínűségének a szorzatával. / P(AB) = P(A)P(B) ha A és B független./ Mikor független két esemény? Vajon mivel egyezik meg két tetszőleges esemény szorzatának a valószínűsége? Mivel egyezik meg két esemény összegének a valószínűsége? A klasszikus valószínűség fejlődése során is sok probléma vetődött fel. 9. Mennyi a valószínűsége annak, hogy egy dobókockával kétszer egymás után dobva az egyik szám páros, a másik szám páratlan? A kedvező esetek száma: ps + pt; pt + ps 2 db Az összes esetek száma: ps + pt; pt + ps; pt + pt; ps + ps db P 2 0% Az első dobás mindegy, hogy páros vagy páratlan, tehát hatféle lehet. A második dobás háromféle lehet. (Ha az első dobás páros volt, akkor másodikra három páratlan számból választhatunk. Ha az első dobás páratlan volt, akkor másodikra három páros számból választhatunk.) A kedvező esetek száma: = 8 Az összes esetek száma: = 8 P 0% 2 Harmadik megoldás: Az első dobás mindegy, hogy páros vagy páratlan, tehát a valószínűsége. A második dobás háromféle lehet. (Ha az első dobás páros volt, akkor másodikra három páratlan számból választhatunk. Ha az első dobás páratlan volt, akkor másodikra három páros számból választhatunk.) A második dobás valószínűsége /. P P(első) P(második) 0% 2 0. Egy szabályos játékkockát egymás után ötször feldobunk. Mennyi annak a valószínűsége, hogy minden dobás páros szám?. Mennyi a valószínűsége annak, hogy egy dobókockával kétszer egymás után dobva különböző számot dobunk? Az első dobás bármi lehet. Ez lehetőség. A második dobásnál számot dobhatunk. A kedvező esetek száma: = 0

3 Az összes esetek száma: = 0 P ;; ;2; ;; ;; ;; ; 2;; 2;2; 2;; 2;; 2;; 2; ;; ;2; ;; ;; ;; ; ;; ;2; ;; ;; ;; ; ;; ;2; ;; ;; ;; ; ;; ;2; ;; ;; ;; ; Az összes esetek száma: ;; ;2; ;; ;; ;; ; 2;; 2;2; 2;; 2;; 2;; 2; ;; ;2; ;; ;; ;; ; ;; ;2; ;; ;; ;; ; ;; ;2; ;; ;; ;; ; ;; ;2; ;; ;; ;; ; A kedvező esetek száma: 0 0 P Harmadik megoldás: Az első dobás mindegy, hogy mi, tehát a valószínűsége. A második dobás nem lehet ugyanaz, mint az első, tehát a második dobás ötféle lehet. A második dobás valószínűsége /. P P(első) P(második) 2. A Ne nevess korán!" társasjátékban a játékosok csak -ost dobva tehetik bábujukat a startmezőre. Mennyi annak a valószínűsége, hogy Nóri az első -ost a) másodszorra dobja; b) ötödszörre dobja? a.) Az összes esetek száma: ;; ;2; ;; ;; ;; ; 2;; 2;2; 2;; 2;; 2;; 2; ;; ;2; ;; ;; ;; ; a) Az első dobás nem hatos, ennek a valószínűsége /. A második dobás hatos, ennek a valószínűsége /. P P(első) P(második) ;; ;2; ;; ;; ;; ; ;; ;2; ;; ;; ;; ; ;; ;2; ;; ;; ;; ; A kedvező esetek száma: P

4 b) Az első öt dobás nem hatos, ennek a valószínűsége (/). A hatodik dobás hatos, ennek a valószínűsége /. P P(első) P(második) P(.) P(.) P(.). Egy dobókockával 8 dobást végeztünk. Mennyi a valószínűsége annak, hogy pontosan -szor dobunk - est? 8. Egy szabályos dobókockával az első hatos dobásig dobunk. Határozza meg annak a valószínűségét, hogy egy dobássorozat legfeljebb dobásból áll!. Ha 00-szor feldobunk kockát, akkor várhatóan hányszor fordul elő, hogy különböző számot látunk? Feldobunk két kockát. Az eseménytér: ;; ;2; ;; ;; ;; ; 2;; 2;2; 2;; 2;; 2;; 2; ;; ;2; ;; ;; ;; ; ;; ;2; ;; ;; ;; ; ;; ;2; ;; ;; ;; ; ;; ;2; ;; ;; ;; ; Az összes esetek száma: Felvetődhet a kérdés, hogy miért kell megkülönböztetni a ; és a ; dobást, amikor általában ugyanolyan színű kockával dobunk? A válasz egyszerű: mert a tapasztalt valószínűség és a számított valószínűség ekkor egyezik meg. Képzeljük el, hogy a kockák színe halványsárga és halványzöld. Ekkor mindegy, hogy ki nézi a dobásokat egy színvak ember vagy egy nem színvak ember. A dobások ugyanazok. Könnyebbé teszi az esetek megszámolását a következő táblázat:

5 . Két szabályos játékkockát egyszerre feldobunk. Mennyi a valószínűsége, hogy két egyenlő számot dobunk? ;; ;2; ;; ;; ;; ; 2;; 2;2; 2;; 2;; 2;; 2; ;; ;2; ;; ;; ;; ; ;; ;2; ;; ;; ;; ; Az első dobás mindegy, hogy mi, tehát a valószínűsége. A második dobás ugyanaz, mint az első, tehát a második dobás egyféle lehet. A második dobás valószínűsége /. P P(első) P(második) ;; ;2; ;; ;; ;; ; ;; ;2; ;; ;; ;; ; Az összes esetek száma: A kedvező esetek száma: P 2. Feldobunk két kockát. Mennyi annak a valószínűsége, hogy a kapott pontok összege a) ; b) 7 lesz? a) Összes esetek száma: a) Kedvező esetek száma: + ; + ; 2 + ; + 2; + db P(A B ) P(A B ) P(A B 7) b) Kedvező esetek száma: + ; + ; 2 + ; + 2; + ; + db P(A B 7)

6 . Mennyi a valószínűsége annak, hogy két dobókockával dobva legalább lesz a dobott pontok összege? P A B 2 Ha megvizsgáljuk a táblázatot, észrevehetjük, hogy a komplementer esemény valószínűségével is dolgozhatunk. P A B P(C) P(C). Két kockával dobva mennyi annak a valószínűsége, hogy a dobott számok összege -nál kisebb? 0 P Az összes esetek száma. A kedvező esetek száma: 0 2 = + = +2 = 2+ = + = += 2+2 = + = + =2+ = +2 0 P. Két kockával dobva egyszerre mekkora valószínűséggel lesz a kapott számok nagyobbika? /. Egy szabályos dobókockát egymás után kétszer feldobunk. Mennyi a valószínűsége, hogy másodszorra nagyobb számot dobunk, mint elsőre? ;; ;2; ;; ;; ;; ; 2;; 2;2; 2;; 2;; 2;; 2; ;; ;2; ;; ;; ;; ; ;; ;2; ;; ;; ;; ; ;; ;2; ;; ;; ;; ; ;; ;2; ;; ;; ;; ; Kedvező esetek száma: Összes esetek száma: P 7. Két kockával dobunk egyszerre, aztán ezt megismételjük. a) Mennyi a valószínűsége, hogy a dobott számok összege mindkétszer 0 lesz? b*) Mennyi a valószínűsége, hogy a dobott számok összege egyforma lesz? 8. Mennyi annak a valószínűsége, hogy felül különböző számokat látunk, ha egyszerre dobunk a) két kockával; 0/ b) három kockával? ( )/2 9. Melyik pontszámösszeg a legvalószínűbb három szabályos kockával dobva?