a térerősség mindig az üreg falára merőleges, ezért a tér ott nem gömbszimmetrikus.

Átírás

1 2. Gyakorlat 25A-0 Tekintsünk egy l0 cm sugarú üreges fémgömböt, amelyen +0 µc töltés van. Legyen a gömb középpontja a koordinátarendszer origójában. A gömb belsejében az x = 5 cm pontban legyen egy 3 µc nagyságú pontszerű töltés. Számítsuk ki az elektromos térerősséget a gömbön kívül, az x tengely mentén. Vázoljuk fel az erővonalakat a gömbön kívül és azon belül! A q = 3 µc töltés megosztja a fémgömb töltéseit, az üreg felületén ennek hatására éppen q töltés jelenik meg. A fém belsejében azonban a térerősség továbbra is 0 marad, mert az üreg felületén indukált (megosztott), q (ez jelen esetben pozitív) össztöltésű töltéseloszlás tere és a q tere éppen kompenzálják egymást a fém belsejében. Az üregben a térerősség mindig az üreg falára merőleges, ezért a tér ott nem gömbszimmetrikus. A megosztás miatt a külső gömbfelszínen már nem Q = 0 µc, hanem Q = Q + q = 7 µc töltés lesz. Kívül a tér ugyanolyan lesz, mintha csak egy Q töltés lenne a rendszerben a gömb középpontjában, tehát a tér gömbszimmetrikus és a gömb középpontjától mérve /r 2 -el arányos. Az x tengelyen tehát a tér is x irányú lesz és a gömb középpontjától mérve a távolság négyzetével csökken: Q E = (E x, E y, E z ) = (, 0, 0) (2.) 4 π ε o x2 Az erővonalak (ld. 2. ábra) kívül gömbszimmetrikusak, az üregen belül viszont csak annyit tudunk róluk, hogy az üreg falán megosztott pozitív töltésekről, az üreg falára merőlegesen indulnak és a negatív q töltésen végződnek.

2 25B ábra. Egyenletesen töltött üreges gömb amiben egy negatív töltés van. Kék a negatív töltést és az üregen belüli erővonalakat, a piros a pozitív töltéseket és a fémgömbön kívüli erővonalakat jelzi. Egy nagyon hosszú, R sugarú fémrúdon σ egyenletes felületmenti töltéssűrűség van. a) Elhanyagolva a rúd végeinek hatását, számítsuk kí az E térerősséget a henger felszínétől R távolságban! b) Számítsuk ki azt a v sebességet, amellyel egy elektron a rúd körül R távolságban stacionárius körpályán mozogna! a) Az, hogy a fémrúd nagyon hosszú azt jelenti, hogy (első közelítésben) végtelennek tekinthetjük. Szimmetria okokból a térerősség merőleges kell legyen az egyenletesen feltöltött henger felületére, ezért nagysága csak a távolságtól függ. A Gauss törvény használatához egy, a fémrúddal koaxiális, henger alakú, r sugarú és l magasságú hengerfelületet vegyünk fel. Mivel a térerősség ennek a hengernek a palástjára mindenütt merőleges és ugyanakkora nagyságú, a határoló körök síkjával pedig párhuzamos, erre a teljes zárt felületre vett fluxus megegyezik az r sugarú hengerpalástra vett fluxussal. Az ezen a felületen belüli összes töltés pedig a σ töltéssűrűség és a fémrúd l hosszúságú szakasza felületének szorzata. A Gauss törvény szerint tehát a térerősség a vezetőn kívül, tőle r távolságra ε o 2 r π l E = 2 R π l σ E(r) = R σ ε o r Innen a térerősség a fémrúdtól r = 2 R távolságban E(R) = σ 2 ε o 2 (2.2)

3 b) Ha egy elektron kering ezen az r = 2 R sugarú körpályán, akkor e E = m e v 2 r 2 e E R e σ R v = = (2.3) m e ε o m e 25C-20 Szigetelő anyagból készült 2 a sugarú gömbben az egyenletes térfogati töltéssűrűség ρ. (Tételezzük fel, hogy a gömb anyagának nincs hatása a térerősség nagyságára!) Az 2.2 ábrán látható helyen a gömbben a sugarú gömb alakú üreget képezünk. Mutassuk meg, hogy az üregben az elektromos térerősség homogén és nagysága, E x = 0 és E y = ρ a 3ε ábra. Egyenletesen töltött gömb gömb alakú üreggel A feladatot úgy képzelhetjük el, hogy a homogén üreg nélküli gömbbeli térből levonjuk az üreggel azonos méretű kis gömb terét. Tekintsünk az üregen (kis gömbön) belül egy P pontot, az egyszerűség kedvéért úgy, hogy helyvektorának x koordinátája pozitív legyen, valamint y koordinátája nagyobb legyen mint a, és a forgásszimmetria miatt vehetjük a z = 0 síkot. Jelölje ekkor a nagyobb, illetve a kisebb gömb középpontjából a P pontba húzott sugarat r, ill. r! Ha r és r a vízszintessel φ, illetve α szöget zárnak be (ld. 2.3 ábra), akkor fennállnak, hogy r cosα = r cosφ, (2.4) r sinα + a = r sinφ (2.5) Az elektromos teret úgy számoljuk ki, hogy vesszük a 2 asugarú homogén gömb terét és ebből levonjuk egy a sugarú ugyanakkora töltéssűrűségű gömbét. A 2 a sugarú üreg nélküli gömbben a térerősség a Gauss-törvény alapján számolható: E da = ρ(r) d 3 r (2.6) A 3 V

4 amelyből a térerősség nagysága 2.3. ábra. Segédábra a szögekkel. E 4 r 2 π = ε o ρ 4 3 r 3 π (2.7) E = A térerősség vektor komponensei: ( ρ E = r cosφ ρ ) r sinφ 3 ε o 3 ε o ρ 3 ε o r (2.8) (2.9) Az üreg miatt levonandó E térerősség hasonlóképpen számítandó ki, csak figyelembe kell venni, hogy r nem φ, hanem α szöget zár be a vízszintessel. Így az (2.8) egyenlethez hasonlóan: E = ρ r (2.0) 3 ε ( o ) ρ E = r ρ cosα, r sinα (2.) 3 ε o 3 ε o Figyelembe véve a (2.4) és (2.5) összefüggéseket ( E e = E E = 0, ρ a ) 3 ε o (2.2) Tehát az üregen belüli a térerősség vektornak csak az y koordinátája marad meg és az sem fog függeni a szögtől, így a tér az üregen beül valóban homogén és nagysága pedig ρ a 3 ε o vagyis a feladat állításait igazoltuk. 4

5 26B-9 A tér egy tartományában a volt egységekben kifejezett V potencíált a [ ] [ ] V V V = (3 )x 2 + (0, 2 )y m 2 m függvény adja meg, ahol x és y méterekben megadott távolságok. Számítsuk ki az x = 0 cm, y = 5 cm koordínátájú helyen levő elektronra ható erő nagyságát és irányát. A potenciál és a térerősség közötti kapcsolat E x = V (x, y, z), E y = x E = grad V (r) Esetünkben V (x, y, z) V (x, y) = A x 2 + B y V (x, y, z), E z = y E x = 2 A x, E y = B, E z = 0 F x = 2 e A x, F y = e B F = e Ex 2 + Ey 2 + Ez 2 = e 4 A 2 x 2 + B 2 V (x, y, z), z Az erő iránya az x tengellyel α szöget zár be, ahol tg α = B [ ] V 2 A x, B = 0, 2, [ ] [ ] m V V A = 3 és 2 A x = 0.6 Behelyettesítve a számértékeket m/2 m F x = 6 0,, = 9, N F = 9, , =, N tg α = 0, 2/0, 6 = 0.33 α = 8.4 o 27A-2 F y = 0, 2, = 3, N Becsüljük meg azt a legnagyobb potenciált, amelyre egy 0 cm átmérőjű fémgömböt fel lehet tölteni, anélkül, hogy a térerősség értéke meghaladná a környező száraz levegő dielektromos átütési szilárdságát. 5

6 A feltöltött R sugarú fémgömb felületén a térerősség és a potenciál pontosan akkora, mintha a teljes töltése a középpontjában lenne: E(R) = Q R 2 (2.3) Φ(R) = Q = E(R) R R (2.4) A száraz levegő dielektromos átütési szilárdsága E o = V, R = 5 cm. Innen Φ(R) = cm E o R = =, V 27B-8 A 2 µf és 3 µf kapacitású kondenzátorra egyenként V max maximális feszültség adható. Ha e két kondenzátort sorba kapcsoljuk, a két végpont közötti feszültség 800 V. Mekkora V max? Bár a feladat ezt nem mondja ki világosan tételezzük fel, hogy a sorba kapcsolt kondenzátorok két végpontján levő feszültség éppen az a maximális feszültség, ami mellett még éppen egyik kondenzátor sem megy tönkre. Ez nem egyenlő 2 V max -al! Legyen C = 2µF és C 2 = 3 µf! A két kondenzátor eredő kapacitása A kondenzátorokon lévő töltés ugyanakkora: A kondenzátorokra eső feszültség Így értelemszerűen U max = 480 V. 27B-20 C e = C C 2 C + C 2 =, 2 µf (2.5) Q = C e U = C C 2 C + C 2 U = 9, C (2.6) C 2 U = Q = U = 480 V C C + C 2 (2.7) U 2 = Q C = U = 320 V. C 2 C + C 2 (2.8) Egy 0, µf kapacitásu síkkondenzátor lemezei 0, 75 m 2 területűek, a szigetelő réteg dielektromos állandója 2,5. A kondenzátort 600 V -os feszültségre töltjük fel. 6

7 a) Számítsuk ki a lemezek töltését! b) Számítsuk ki a szigetelő réteg felületén indukált töltést! c) Számitsuk ki a szigetelő rétegben az elektromos térerősséget! Felhasználju, hogy a kondenzátor kapacitása C = Q U = ε r ε o A d a) Q = C U = 0, = C b) σ szabad = Q A = C 0, 75 m 2 = C m 2 A szigetelő A felületén indukált (polarizációs) töltés : (2.9) σ pol = σ szabad ( ε r ) ε r = 4, C m 2 (2.20) c) A Gauss tétel alapján a lemezek közötti térerősség I.ZH E = Q A ε ε o = , 75 8, , 5 = 3, V m Egy 2 L hosszú szigetelő rúdon +Q nagyságú töltés oszlik el egyenletesen. Mekkora és milyen irányú az elektromos térerősség a rúd felezőpontjától a rúdra merőleges irányban L távolságban? Válasszuk a koordinátarendszerünk origóját a rúd közepáre és legyen az x tengely rúdirányú! Az eredő térerősség kiszámításához a rudat felosztjuk dx hosszúságú szakaszokra. A lineáris töltéssűrűség λ = Q. A 2.4 ábrán használt jelölésekkel az origótól x 2 L távolságban levő dx szakasztól származó térerősség nagysága de = λ dx r 2 (2.2) Ha a térerősség vákuumban E, akkor anyagban E bent = E + E pol. De E bent = E ε r, vagyis E = E + E pol. Innen E pol = ε r E (E pol < 0). Síkkondenzátor esetén a térerősségek és az ε r ε r azokat létrehozó felületi töltéssűrűségek kapcsolata: 2ε o E = σ szabad, 2ε o E bent = σ szabad + σ pol, és 2ε o E pol = σ pol, amit behelyettesítve megkapjuk (2.20)-t. 7

8 2.4. ábra. Segédábra a kiszh feladatához. Ennek csak a rúdra merőleges, függőleges komponense számít, mert az origóra szimmetrikusan elhelyezkedő dx szakaszok térerősségeinek x komponensei kiejtik egymást, ennek nagysága pedig de cosα. A teljes térerősség nagysága eszerint: Innen többféle úton is haladhatunk: E = L λ cos α dx (2.22) L r2 I) Fejezzünk ki mindent az α szöggel! Ehhez az integrációs változót és az integrálás határait is módosítani kell: r = L cosα (2.23) x = L tgα (2.24) dx = dx d(l tgα) dα = = L dα dα dα cos 2 α (2.25) L tgγ = L γ = arctg(l/l) = arctg() = 45 o (2.26) E = λ L L cos α dx = λ r2 45 o cosα Ldα 45 o L 2 cos 2 α cos 2 α (2.27) 8

9 Innen E = λ 45 o L cosαdα (2.28) 45 o = λ L [sinα]45o = Q 2 L 2 E = 45 o ( ( )) Q (2.29) L 2 Ellenőrzésként megnézhetjük a dimenziókat: [ε o ] = As V m, [Q] = As, [L2 ] = m 2, ahonnan a fenti képletre [E] = V m As As m = V 2 m adódik. II) A dx meghatározásához (2.25) helyett használjuk ki, hogy kis dα szögekre az ívhossz r dα! Nekünk azonban nem az ívhossz, hanem a dx szakasz hossza kell. A 2.5 ábra szerint r = L cosα (2.30) ds = r d α (2.3) dx = ds cos α = r d α cos α = L dα cos 2 α (2.32) Ezt behelyettesítve ugyanarra az eredményre jutunk. III) A dα szöget kényelmesebben is bevezethetjük. A (2.30) és (2.32), ill. a 2.5 ábra szerint ugyanis (2.28)-be ezt és a szög szerinti határokat behelyettesítve E = λ = λ = λ L L L 45 o 45 o 45 o amivel visszajutottunk (2.28) -ra dx cosα = r dα (2.33) (cos α dx) = λ r2 r dα = λ 45 o 45 o cosα 45 L o 45 o d α r r 2 dα 45 o cos αdα (2.34) 9

10 2.5. ábra. Kis szögekre az ívhossz 0