2. Rugalmas állandók mérése

Átírás

1 . Rugalas állandók érése PÁPICS PÉTER ISTVÁN csillagász, 3. évfolya Beadva:

2 1. A -ES, AZAZ AZ ABLAK FELLI MÉRHELYEN MÉRTEM. Ezen a laboron a férudak Young-oduluszát értük, pontosabban behajlást értünk, és ebbl száolhatunk Young-oduluszt. Külön vizsgáltuk az állandó rúdhossz és az állandó hajlítóer esetét az erre a célra szolgáló, állítható feltáasztási pontokkal rendelkez érórás kétkarú eelvel. Elször leérte csavarikroéterrel a két választott rúd paraétereit: a téglatest két rövidebbik oldalát, valaint a henger átérjét. Ezekre az adatokra a végs, Youngoduluszra vonatkozó képletben lesz szükség. Vegyük ost rudanként a éréseket és száításokat: A-ES RÚD: A rövidebb él érete csavarikroéterrel érve (±0,00 ): i d i () d i d i -d átl (d i ) ( ) 1 7,8 7,9-0, , ,9 0, , ,9-0, , ,9-0, , ,9 0, , ,9-0, , ,9 0, , ,79 Itt d i az i-edik érés eredénye. Az 1. és utolsó pontot elhagyo, ert csak a rúd legvégén volt ilyen kiugró az érték, és a c hosszú rúdnak úgyis csak a 0 c hosszú középs részét használtuk fel a érés során. d átlag 7,987. A hiba száításához: 8 ( d ) i i s d 0, Így a rövidebbik oldalra d(7,9±0,00) átl 7 A hosszabbik él érete csavarikroéterrel érve (±0,00 ): i d i () d i d i -d átl (di) ( ) 1 11,9-0,001 0, ,9-0,001 0, ,9 0,009 0, ,9-0,001 0, ,9-0,001 0, ,9-0,001 0, ,9-0,001 0, ,9-0,001 0, ,9-0,001 0, ,9-0,001 0,000001

3 Itt d i egint az i-edik érés eredénye. d átlag 11,91. A hiba száításához: 10 ( d ) i i 1 s d 0,001 Így a hosszabbik oldalra d(11,91±0,001) átl 10 9 Következzenek az eredények az ÁLLÍTOTT (a rövidebbik élén fekv) rúd behajlására elször közzétesze az illesztett egyenessel ellátott ábrát, ajd a részletes adatokat. A behajlás a ható er függvényében: A következ oldalon részletezett adatokban az alapterhelés ( 0 10g) és az annak hatására létrejöv behajlás (s 0 0,7) ár ne szerepel, de az illesztett egyenes eredeksége abban az esetben is ugyan akkora lenne, ha ezt a norálást ne hajtotta volna végre, csak a etszéspont ne az origóban lenne. Aiatt, hogy a Young-odulusz száításához csak a eredekség értékére van szükségünk, a tengelyetszettel ne foglalkozo. A behajlás leolvasási hibája ±0,00. Törekedte rá, hogy a behajlás (s) ne legyen nagyobb l/00-nál, ai. Terészetesen a grafikonon ég közelében sincsenek értékek, hiszen ott ár le van vonva a kezdeti 0,7-es behajlás! Lássuk a felhasznált adatsort: 3

4 - 0 (g) F (N) s-s 0 () 00,90 0, ,38 0, ,810 0, ,71 0, ,0 0, ,30 0, ,0 0, 000 9,00 0,8 00 3,9 0, ,80 0, ,70 1,1 Ezen adatokra gnuplottal illesztett egyenes eredeksége (1,8±0,00) 10 - /N A Young-odulusz száításához szükség van ég a következkre: A rúd hossza l(0,±0,000) A keresztetszet ásodrend nyoatéka és annak hibája pedig a következ ódon kapható a téglalap alapjának (a; ai ost a rövidebbik él) és agasságának (b; hosszabbik él) felhasználásával: I 3 ab 1 1, I a b + 3 a b 0, , , ,01191, , I(1,171±0,000) 10-9 Végül a Young-odulusz és annak hibája a következ képletekbl adódik: 3 l 10 E 7, Pa 8 I l 0,000 0, E l I 0, 1,8, E(7,09±0,0) Pa 8 0,000 1,171, Következzenek az eredények a FEKTETETT (a hosszabbik élén fekv) rúd behajlására elször közzétesze az illesztett egyenessel ellátott ábrát, ajd a részletes adatokat.

5 A behajlás a ható er függvényében: A felhasznált adatok: - 0 (g) s-s 0 () F (N) 0 0,000 0,00 0 0,100, 00 0,190, ,80 7,3 10 0,70 1, 100 0,70 1, ,70 19, 0 0,80, ,030,98 Az elz hasonló érésnél leírtak itt is érvényesek, a behajlás leolvasási hibája ±0,00. Törekedte rá, hogy a behajlás (s) ne legyen nagyobb l/00-nál, ai. Az adatokban az alapterhelés ( 0 10g) és az annak hatására létrejöv behajlás (s 0 0,93) ár ne szerepel. Az adatokra illesztett egyenes eredeksége (3,81±0,0) 10 - /N

6 A Young-odulusz száításához szükség van ég a következkre: A rúd hossza l(0,±0,000) A keresztetszet ásodrend nyoatéka és annak hibája a következ ódon kapható a téglalap alapjának (a; ai ost a hosszabbik él) és agasságának (b; rövidebb él) felhasználásával: I 3 ab 1, I a b + 3 a b 0, , , ,0079 8, , I(,989±0,00) Végül a Young-odulusz és annak hibája a következ képletekbl adódik: 3 l 10 E 7, Pa 8 I l 0,000 0, E l I 0, 3,81, E(7,01±0,07) Pa 8 0,00,989 9, A két eredénybl eléletileg igaznak kell lennie a következ összefüggésnek: ' " I" I' ' I' 1 " I" Az általa kapott adatokkal ez a hányados 0,989 ai inden lehetséges hibaforrást egybevetve jó eredénynek tekinthet. Az eredények alapján a hasáb anyaga valószínleg aluíniu vagy ún. szürkeöntvény. (Forrás: Négyjegy függvénytáblázatok 1998, Bp. Nezeti Tk.)

7 V-ES RÚD: A hengeres rúd átérje csavarikroéterrel érve (±0,00 ): i d i () d i d i -d átl (d i ) ( ) 1 11,9-0,007 0, ,93 0,003 0, ,9-0,007 0, ,93 0,003 0, ,9-0,007 0, ,93 0,003 0, ,93 0,003 0, ,93 0,003 0, ,93 0,003 0, ,93 0,003 0, Itt d i egint csak az i-edik érés eredénye. d átlag 11,97. A hiba száításához: 10 ( d ) i i 1 s d 0,0017 Így a sugárra adódik R(,93±0,0008) átl 10 9 Következzenek az eredények a HENGERES rúd behajlására elször közzétesze a részletes adatokat, ajd az illesztett egyenessel ellátott ábrát, és az egyenes eredekségét. - 0 (g) s-s 0 () F (N) - 0 (g) s-s 0 () F (N) 0 0,00 0, , 1, ,08 7, ,73 8, ,11 9, ,7 71,1 10 0,13 1, 700 0,78 73, ,1 1, ,81 7, ,18 17, ,83 78, ,1 19, ,8 80, ,, ,88 83, ,31 9, ,93 88, ,3 31, ,98 93, ,37 3, ,01 9, ,39 3, ,03 98, ,1 39, ,08 103, , 1, ,13 107, ,7, ,19 11, ,9, ,1 11, , 9, , 117, ,7 3, ,9 1, , 8, ,3 17,300 7

8 A behajlás a ható er függvényében: Az elz hasonló érésnél leírtak itt is érvényesek, a behajlás leolvasási hibája ±0,00. Törekedte rá, hogy a behajlás (s) ne legyen nagyobb l/00-nál, ai. Az adatokban az alapterhelés ( g) és az annak hatására létrejöv behajlás (s 0 0,0) ár ne szerepel. Az adatokra illesztett egyenes eredeksége (1,09±0,00) 10 - /N A Young-odulusz száításához szükség van ég a következkre: A rúd hossza l(0,±0,000) A keresztetszet ásodrend nyoatéka és annak hibája a következ ódon kapható: I π R 9,

9 I R R 0,0008,93, , I(9,933±0,00) Végül a Young-odulusz és annak hibája a következ képletekbl adódik: 3 l 11 E 1, Pa 8 I l 0, E l I 0, 7, ,00 1,09 + 0,00 9,933, E(1,80±0,008) Pa elybl sejthet, hogy a rúd sárgarézbl készült. 3 Ezen a rúdon érte ki a BEHAJLÁS l 3 FÜGGÉSÉT is: Állandó g terhelés ellett érte (a behajlás leolvasási hibája ±0,00, íg a rúd hosszának leolvasási, beállítási hibája ±0,000, íg az er hibáját 1%-nak feltételezzük, így F±0,981N) l () s 0 () s () s-s 0 () l 3 ( 3 ) 00 0,9 0,8 0, ,9 0,3 0, ,9 0,7 0, , 0,73 0, , 0,8 0, ,0 0,9 0, ,0 1,0 0, , 1,0 0, , 1,3 0, ,9 1,0 0, , 1,9 0, A következ oldalon ábrázolo a behajlás l 3 függését. Az adatokra illesztett egyenes eredeksége (0,0131±0,0001)/N Végül a Young-odulusz és annak hibája a következ képletekbl adódik: 9

10 F 11 E 1, Pa 8 I F 0,981 0,0001 0, , E F I 98,1 0,0131 9,933, E(1,7±0,03) Pa 9 Ez az érték kicsit soknak tnik a sárgarézre, kérdés, ibl ered a két érés eltér eredénye. Feltételezheten a rúd hosszával összeérhet éret anyagszerkezeti, egunkálásbeli különbségekre vezethet vissza. 10

11 . A TORZIÓMODULUSZ MÉRÉSE. A érés ásodik felében torziós ingával értük ki egy torziós szál torzióoduluszát. Meg kellett érne a huzal (sajnos a száa valaiért nincs eg, de elékei szerint a -es) és az inga, valaint a súlyok (-ös és -os tárcsa) paraétereit, valaint az inga periódusidejét ezek iseretében akár iseretlen testek tehetetlenségi nyoatéka is száolható. Lássuk a ért lengésidket: a 1 (c) 10T (s) a (c ) 10T (s ) 0,8 0,00 791, 3,7 9,00 318,99 7,0 1,00 81,18 83,8,00 98,9 9,01 3, ,3 7 10,8 9, , 8 11,38,00 13, ,73 81,00 131, ,8 100,00 198,8 Itt a 1 a tárcsák távolsága az inga forgástengelyétl, ennek hibája ±0,0, T pedig az inga lengésének periódusideje, elynek hibája a 10T hibájának tizede, így ha 10T hibáját ±0,00s-nek vesze, akkor T hibája ±0,000s. Lássuk ost a periódusid négyzetét a tengelytl ért távolság négyzetének függvényében: 11

12 Az inga beállításánál nagyon fontos szerepe van a precíz kezelésnek, a lengetések közel azonos szög elindításához, a torziós szál lengésének nullára csökkentésének, stb. Ezek sze eltt tartása ellett törekedte indig a lehet legjobban ugyan azt a körülényt reprodukálni, és inden lengést azonos feltételek ellett kiérni. A érési összeállítás sajátságainak kitapasztalása után hároszor egyás után reprodukálta pontosan ugyan azt a lengésidt, így úgy gondolo, a beállításból vagy csillapodásból ered hibát ne kell száolno. Az illesztett egyenes adatai: (190±0)s / b(8,1±0,1)s Az ingára helyezett két tárcsa adatai (az átérket inden esetben négy helyen érte tolóérvel, és ugyan az az érték adódott, így az átér hibájának a leolvasási hibát vette, íg a töegek leolvasási hibája ±0,0000g, de itt a több éréssel való száolásból kialakuló hibát használta): -ös tárcsa: d (,00±0,0) r (,0±0,03)(0,00±0,00003) i i (kg) i i - átl ( i ) (kg ) 1 0,19 0,000000,0E-1 0,191-0, ,0E-1 3 0,19 0, ,0E+00 0,191-0, ,0E-1 Itt i az i-edik érés eredénye. átlag 0,19 kg. A hiba száításához: ( ) i i 1 s 0, átl (0,190±0, )kg 3 -os tárcsa: d (,00±0,0) r (,0±0,03)(0,00±0,00003) i i (kg) i i - átl ( i ) (kg ) 1 0,1998 0, ,700000E-13 0,1998 0, , E-1 3 0, , ,00001E-1 0,1997-0, ,00000E-13 1

13 Itt i az i-edik érés eredénye. átlag 0,19980 kg. A hiba száításához: ( ) i i 1 s 0, átl (0,19980±0,000000)kg 3 A torziós szál éretét csavarikroéterrel érte eg, itt se volt eltérés a szál teljes hosszán a leolvasott értékek között, így a leolvasási hibával száolok. Így a torziós szál átérje, sugara és a érszalaggal ért hossza: d(0,10±0,00) r(0,±0,003)(0,000±0,000003) l(0,90±0,000) Elször száoljuk ki K állandót és annak hibáját: K l 3, r 8 π 1 3 K K l r + l r 0,000 0,90 + 0, ,000 0, K 1, K(3,±0,) Ebbl a torzióodulusz és annak hibája: G K + 8, Pa G K + G K + + G, Pa 0, 3, + 0, , ,08318 G (8,±0,) Pa (8±)GPa Az eredénybl feltételeze, hogy a torziós szál acélból készült. Száoljuk ki a tárcsák és a rendszer tehetetlenségi nyoatékait és a hibákat: 1 Θ r, kg Θ Θ r + r 0, , , ,00, Θ 1,

14 (,93±0,01) 10 - kg 1 Θ r, kg Θ Θ r + r 0, , , ,00, Θ 1, (,97±0,01) 10 - kg Továbbá az inga+tárcsák rendszer nyoatéka: Gb Θ Θü + Θ + Θ + K + 0, ,19980 b + 190, ,39090 a ( + ) a Θ Θ + Θ + Θ + ( + ) ( + ) a 8,1 + ( 0, ,19980) a a rendszer, kg+0,3909 a Ez alapján lássuk -t az a függvényében (a következ oldalon vannak az adatok): 1

15 a ( ) ( kg) 0,0000 0, ,0009 0, ,001 0, ,00 0, ,003 0,0000 0,009 0, ,00 0, ,0081 0, ,0100 0,00770 Száoljuk ki az üres rendszer tehetetlenségi nyoatékát, a hibaszáításban a töegérés pontossága iatt a töegeket tartalazó tagokat el lehet hagyni: Θ ü b +, Θ Θ kg 0, , ,1 (,93 +,97) kg Θ Θ ü b 0, ,0077 Θü, 10 ü b 8,1 190 üres (,9±0,03) 10 - kg Azzal, hogy a 11. oldal alján látható ábrán T és a között lineáris összefüggés utatkozik, lényegében a Steiner-tételt is bebizonyítottuk. Az illesztés során a korrelációs együttható r0,99999-nek adódott (ez szászersíti is a lineáris összefüggésre tett egérzésünket ). kg 1