Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar. Analízis 1. Írásbeli tételek. Készítette: Szántó Ádám Tavaszi félév

Átírás

1 Eötvös Lorád Tudomáyegyetem Iformatikai Kar Aalízis. Írásbeli tételek Készítette: Szátó Ádám 20. Tavaszi félév

2 . Archimedes tétele. Tétel: a > 0 és b R : N : b < a. Bizoyítás: Idirekt úto tegyük fel, hogy a > 0 és b R : N : b a. Vezessük be egy új halmazt. Legye H := {a N}. Ekkor H és felülről korlátos pl. b egy felső korlát), emiatt suph =: ξ. Mivel ξ legkisebb felső korlátja H-ak, így ξ a em felső korlát, azaz 0 N : 0 a > ξ a = 0 + )a > ξ, ez pedig elletmodás, ugyais a ξ felső korlát. Következméyek:. ε > 0 : N : < ε ugyais a = ε, b = ); 2. N felülről em korlátos halmaz, azaz K R : N : > K a =, b = K); 3. Ha K N, K, akkor K-ak va miimuma. 2. Cator tétele. Tétel: Tegyük fel, hogy N-re adott az [a, b ] R korlátos és zárt iterallum úgy, hogy [a +, b + ] [a, b ] N). Ekkor [a, b ]. N Bizoyítás: A bizoyítás a teljességi axióma szerit törtéik. Legye A := {a R N}, B := {b R N}. Ekkor A, B és a b m, m N), ugyais:. Ha m, akkor a a m b m ; 2. Ha > m, akkor a b b m. Így a teljességi axióma feltételei teljesülek, emiatt pedig ξ R : a ξ b m, m N), ezért a ξ b N) = ξ [a, b ] N) = ξ [a, b ] = [a, b ]. N N 3. Korlátos halmazak létezik szuprémuma és ifímuma. Tétel: Tegyük fel, hogy = H R felülről korlátos. Ekkor H felső korlátjai között va legkisebb, azaz mi{k R K felső korlát}. Bizoyítás: Adott H felülről korlátos halmaz. Legye A := H, B := {K R K felső korlátja H-ak}. Tehát most B tartalmazza A felső korlátjait. Ekkor A, B : a A és K B : a K = ξ R : a ξ K a A, K B) a teljességi axióma szerit). Ez a ξ a legkisebb felső korlát, ugyais: 2

3 x H : x ξ ξ felső korlát); Legkisebb is, mivel K B : K ξ. Tétel: Tegyük fel, hogy H R alulról korlátos. Ekkor H alsó korlátjai között va legagyobb, azaz max{k R K alsó korlát}. Bizoyítás: Adott H alulról korlátos halmaz. Most legye A := H, B := {K R K alsó korlátja H-ak}. Tehát most B tartalmazza A alsó korlátjait. Ekkor A, B : a A és K B : K a = ξ R : K ξ a a A, K B). Ez a ξ legagyobb alsó korlát, ugyais: x H : ξ x ξ alsó korlát); Legagyobb is, mivel K B : ξ K. 4. A határérték egyértelmű. Koverges sorozat: Az a ) sorozat koverges, ha A R : ε > 0 : 0 N : 0 N) : a A < ε. Tétel: Ha a ) koverges, akkor a defiícióbéli A szám egyértelmű, és ezt a számot a sorozat határértékéek evezzük. Bizoyítás: Idirekt úto tegyük fel, hogy A A 2, és a defiíció teljesül. Ekkor 0 < ε < A A 2 2 : N : : a A < ε 2 N : 2 : a A 2 < ε N). Legye 0 := max{, 2 }, ekkor 0 : 0 < A A 2 = A a ) + a A 2 ) A a + a A 2 < 2ε < A A 2, ez pedig elletmodás. 5. A korlátosság a kovergecia szükséges feltétele. Tétel: a ) koverges = a ) korlátos. Bizoyítás: lim a = A R = ε = -hez 0 N : 0 : a A < trükk = a = a A + A a A + A = 0 : a < + A = a max{ a 0, a,..., a 0, A + } N. Eél valameyivel egyszerűbb észrevétel, hogy ε = -hez létezik olya 0 N, hogy 0 -ra a A, A + ), de ekkor a sorozat korlátos, hisz mi{a 0, a,..., a 0, A } alsó korlát, míg max{a 0, a,..., a 0, A + } felső korlátja a sorozatak. Megjegyzés: Midez em elégséges feltétel, és megfordítva sem igaz, pl. a = ) diverges és korlátos. 3

4 6. Műveletek ullsorozatokkal. Tétel: Tegyük fel, hogy lima ) = limb ) = 0. Ekkor. a + b ) is ullasorozat; 2. Ha c ) korlátos, akkor a c ) ullasorozat; 3. a b ) ullasorozat. Bizoyítás: ε > 0 : N : : N) : a < ε 2 ; ε > 0 : 2 N : 2 : N) : b < ε 2. Ebből pedig az következik, hogy ε > 0 : 0 := max{, 2 } : 0 : N) : a + b a + b < ε 2 + ε 2 = ε, ebből pedig következik továbbá, hogy lima + b ) = 0. Bizoyítás: 2 c ) korlátos = K R : N : c K; lima ) = 0 = ε > 0 : N : : N) : a < ε K. Ebből pedig az következik, hogy ε > 0 : 0 := : 0 : N) : a c a c < ε K K = ε, amiből következik, hogy lima c ) = 0. Bizoyítás: 3 limb ) = 0 = b ) korlátos, amiből 2-es szerit) következik, hogy lima b ) = A közrefogási elv. Közrefogási elv: Tegyük fel, hogy a ), b ), c ) sorozatokra teljesülek az alábbiak: N N : N N) : a b c ; lima ) = limc ) = A R. Ekkor limb ) és limb ) = A. Bizoyítás: A bizoyítást a két szélső sorozat határtértékeiek esetszétválasztásával végezzük. i) A R véges. Ekkor 4

5 a ) : ε > 0 : N : N) : A ε < a < A + ε c ) : ε > 0 : 2 N : 2 N) : A ε < c < A + ε Az első feltételük alapjá választhatuk egy 0 küszöbidexet úgy, hogy 0 := max{, 2, N}, ekkor ε > 0 : 0 N) : A ε < a b c < A + ε = b k ε A) = limb ) = A. ii) A = + : Tekitsük az a ) sorozatot: lima ) = + = P R : N : N) : a > P. Legye 0 := max{, N}. Ekkor 0 : b a > P = limb ) = +. iii) A = : Tekitsük a c ) sorozatot: limc ) = = p R : 2 N : 2 N) : c < p. Legye 0 := max{ 2, N}. Ekkor 0 : p > c b = limb ) =. 8. A koverges sorozatok összegére voatkozó tétel. Tétel: Tegyük fel, hogy lima ) = A R, limb ) = B R. Ekkor a + b ) is koverges, és lima + b ) = A + B. Bizoyítás: Vegyük észre, hogy lima ) = A lima A) = 0 és limb ) = B limb B) = 0. Most va két ullsorozatuk, erre alkalmazhatjuk a ullsorozatok összegére voatkozó tételt: [a A) + b B)] = [a + b ) A + B)]. Most az első godolatmeetet visszafele alkalmazva lima + b ) = A + B. 9. A koverges sorozatok szorzatára voatkozó tétel. Tétel: Tegyük fel, hogy lima ) = A R, limb ) = B R. Ekkor a b ) is koverges, és lima b ) = A B. Bizoyítás: Igazoljuk, hogy a b AB) ullasorozat: a b AB = a b Ab + Ab AB = b a A) + Ab B) b korlátos a A ullasorozat + A b B ullasorozat } korlátos {{ } ullasorozat = a b AB )ullasorozat = lima b AB) = 0 5

6 0. A mootoitás és korlátosság, mit a kovergecia elégséges feltétele. Mooto sorozat határértéke: Ha az a ) sorozat mooto övekvő [csökkeő] és felülről [alulról] korlátos, akkor a ) koverges, és lim a ) = sup{a N} [lim a ) = if{a N}]. Bizoyítás: Tegyük fel, hogy a ) felülről korlátos. Ekkor sup{a N} =: A. Mivel A a legkisebb felső korlát, ebből következik: N : a A; ε > 0 : 0 N : A ε < a 0 A. DE: a ) mooto övekvő, amiből következik, hogy: 0 N) : A ε < a 0 a A A+ε, amiből következik, hogy lim a ) = A. [A másik hasolóa igazolható.]. Nem-egatív tagú sorok kovergeciája. Az összehasolító kritérium. Tétel: A a pozitív tagú sor koverges s ) részletösszeg sorozat korlátos. Bizoyítás: a koverges s ) koverges, és mivel s ) mooto ő, ezért a kovergecia miatt korlátosak is kell leie. Összehasolító kritérium: Tegyük fel, hogy a ), b ) olya sorozatok, melyekre N N : N N) : 0 a b ). Ekkor. Ha b koverges, akkor a is koverges Majorás-kritérium); 2. Ha a diverges, akkor b is diverges Miorás-kritérium). Bizoyítás: Legye s a ) : a részletösszeg-sorozata, s b ) : b részletösszeg sorozata. Ekkor:. Ha b koverges, akkor s b ) korlátos, és mivel mooto ő, így *) miatt s a ) korlátos és mooto ő, amiből az következik, hogy s a ) koverges, így a is koverges; 2. Ha a diverges, akkor s a ) felülről em korlátos, amiből pedig *) miatt következik, hogy s b ) felülről em korlátos, és mivel mooto ő kapjuk, hogy s b ) diverges, így b is diverges. 6

7 2. A háyados kritérium. Tétel: Tegyük fel, hogy a a sorra: a 0 N); ) lim =: A R. a+ a Ekkor: Ha 0 A <, akkor a a sor abszolút koverges, tehát koverges is; Ha A >, akkor a a sor diverges; Ha A =, akkor a a lehet koverges is, diverges is. ) Bizoyítás: Tegyük fel, hogy 0 A <, és legye q A, ). Ekkor lim a+ a = A = 0 N : 0 : a + a < q = a + < q a < q 2 a < q 3 a 2 <... < q + 0 a 0 ) = q 0 a 0 q. K kostas A *) összefüggés oa származik, hogy feltettük: 0 : a 0 + < q a 0, a 0 +2 < q a 0 +, és így tovább. a + a < q, ebből pedig felírható: Ekkor q koverges, hisze q 0, ) = K q is koverges = a + koverges = a koverges = a abszolút koverges. Tegyük fel, hogy A >. Legye q, A). Ekkor lim a + a = A = q-hoz 0 N : a 0 : + a > q = a + > q a. Előző bizoyításhoz hasolóa a + > q + 0 a = q 0 a 0 q = a + > Kq > K > 0 = lim a 0 = a diverges. K>0 kostas A = eseté em tudjuk biztosra megállapítai a kovergeciát. Például hisze lim + lim = lim + =. De például 2 2 = lim 2 =. +) )2 diverges és A =, koverges, és itt is A =, hisze lim +) 2 2 = 7

8 3. A gyökkritérium. Tétel: Tekitsük a a sort. Tegyük fel, hogy lim a = A. Ekkor. Ha 0 A <, akkor a a sor abszolút koverges; 2. Ha A >, akkor a a sor diverges; 3. Ha A =, akkor a a sor lehet koverges is, diverges is. Bizoyítás: Tegyük fel, hogy A <. Ekkor q A, ). Mivel lim a = A = q-hoz 0 N : 0 : a < q = a < q. De q koverges, hisze 0 < q < = a = 0 = 0 koverges = a abszolút koverges. Tegyük fel, hogy A >. Ekkor q, A) : lim a = A = q-hoz 0 N : 0 : a > q = a > q > = lim a 0 = a diverges. A = eseté em tudjuk biztosra megállapítai a kovergeciát. Például diverges és A =, hisze lim = lim =. De például koverges, és itt is A =, hisze lim 2 = 2 lim = Végtele sorok szorzása. A tégláyszorzat kovergeciája, abszolút kovergeciája. Sorok szorzása: Legyeek a és b sorok. Ekkor a sorok =0 =0 Tégláyszorzata a =0 t sor, ahol t = Cauchy szorzata a c sor, ahol c = =0 maxi,j)= i+j= a i b j. a i b j ; Tétel: Ha a és b kovergesek, akkor a t Tégláyszorzat is koverges, és ) t = a i b j. =0 i=0 j=0 N N Bizoyítás: t = N ) N a i b j = a i b j = a i =0 =0 maxi,j) maxi,j) N i=0 j=0 Tehát ) t koverges, és t = a i b j. =0 i=0 j=0 b j tart ) a i b j. i=0 j=0 8

9 Tétel: Ha a és b abszolút kovergesek, akkor t is abszolút koverges, és ) a i. i=0 b j j=0 t = =0 N N Bizoyítás: t a i b j = a i ) N b j, ami mooto ő, és tudjuk, hogy =0 maxi,j) N i=0 j=0 a i ) N ) b j = K <, tehát t mooto ő és felülről korlátos, vagyis t i=0 j=0 =0 koverges = t abszolút koverges. 5. A hatváysorok kovergecia halmazára voatkozó tétel. Tétel: A hatváysorok kovergecia halmaza itervallum. { } Megjegyzés: A hatváysor kovergecia halmaza: KH := x R : a x x 0 ) R =0 Bizoyítás: Tegyük fel, hogy x KH úgy, hogy x x 0, vagyis ) a x x 0 ) R. =0 Most tegyük fel, hogy x 2 R : x 2 x 0 < x x 0, vagyis x 2 közelebb va x 0 -hoz, mit x. ) Ekkor a x 2 x 0 ) = a x x 0 ) x2 x 0. Itt az utóbbi feltevésük miatt < q <, x =0 =0 x }{{ 0 } q valamit ) miatt a x x 0 ) ) ullsorozat, ebből pedig következik, hogy korlátos, vagyis K > 0 : a x x 0 ) < K. Következméy: ) a x x 0 ) x2 x 0 K q x x 0 K q ) koverges majorás krit. = a x x 0 ) x 2 x 0 ) ) x x 0 ) koverges, ami pedig akkor, és csak akkor lehetséges, ha a x 2 x 0 ) ) abszolút koverges. 9

10 6. A Cauchy-Hadamard tétel. Tétel: Legye a : N R, továbbá tegyük fel, hogy lim kovergeciasugara: 0 lim R = lim a lim 0 < lim a. Ekkor az a együtthatójú hatváysor a = a = 0 a < Bizoyítás: Legye x R. A a x x 0 ) ) sorra alkalmazzuk a gyökkritériumot: a x x 0 x x 0 lim a. Ha lim a = 0, akkor x R : lim 0 < = koverges = KH = R, R = +. Ha lim Ha 0 < lim a = +, akkor x R : x x 0 ) : lim a <, x x 0 < > agyobb diverges) = R = lim lim. a a a x x 0 ) = a x x 0 ) = a x x 0 ) = + > = diverges., akkor lim a < > ha kisebb koverges, ha 0