Sorozatok, határérték fogalma. Függvények határértéke, folytonossága

Átírás

1 Sorozatok, határérték fogalma. Függvéyek határértéke, folytoossága

2 1) Végtele valós számsorozatok Fogalma, megadása Defiíció: A természetes számok halmazá értelmezett a: N R egyváltozós valós függvéyt végtele valós számsorozatak evezzük. A hozzáredelési szabály: f() a mide természetes számhoz a függvéy egy elemét redeli. A függvéy helyettesítési értékei: a sorozat elemei/tagjai. A sorozat. tagja: a.

3 A sorozat jelölése: (a ) vagy {a }. A sorozat megadható: az általáos (.) tag képletével: pl. a rekurzióval: pl. a 1 a 2 1, a a -1 + a -2 ( 3, 4,...) Ábrázolható: koordiátaredszerbe, vagy számegyeese

4 A. A sorozatok tulajdoságai a) Mootoitás Defiíció: Az (a ) sorozat mooto övekvı (csökkeı), ha mide N-re: a +1 a (a +1 + a ). Vizsgálata: a +1 - a 0 vagy a +1 / a 1 alapjá. Szigorúa mooto övekvı (csökkeı), ha > (<) egyelıtleségjeleket íruk az elızı képletekbe.

5 b) Korlátosság, szélsıérték Defiíció: Az (a ) sorozat felülrıl (alulról) korlátos ill. korlátos, ha mit valós függvéy ilye tulajdoságú. A sorozat felsı és alsó korlátja, szupremuma és ifimuma, maximuma és miimuma a függvéyekre megismert módo értelmezhetı. Pl. a a 1 + (-1)d, N számtai sorozat d>0 eseté: szigorúa mooto övekvı, alulról korlátos, de em korlátos sorozat mi. (a ) if {a } a 1

6 Pl. b b 1 q -1, N mértai sorozat b 1 >0, 0<q<1: szig. mo. csökkeı, q1 mo. csökkeı/övekvı, q>1 szig. mo. övekvı q 1 eseté: korlátos 1 b 3 2 4

7 c) Határérték Defiíció: Az (a ) sorozat koverges, és határértéke az "a" szám, ha ε>0 eseté található olya N(ε) N küszöbidex, hogy mide >N eseté a a < ε A határérték jelölése: lima Ha a em koverges, akkor azt modjuk, hogy diverges. A határérték azt jeleti, hogy va olya "a" szám, melyek tetszıleges kis köryezetébe va a sorozatak majdem mide tagja (kívül csak véges sok - N db - va). a

8 A legegyszerőbb koverges sorozatok: Kostas sorozat: limc c (c R) Harmoikus sorozat: 1 lim 0

9 B. Tételek koverges sorozatokra 1./ Ha egy sorozat koverges, akkor korlátos. A korlátosságból azoba em következik, hogy koverges is a sorozat. A korlátosság csak szükséges feltétele a kovergecia létezéséek a ( 1) 1 Pl. koverges sorozat, határértéke 0, a sorozat korlátos. a ( 1) korlátos sorozat, de em koverges.

10 2./ A kovergecia létezéséek elégséges feltétele: Ha egy sorozat mooto (övekvı, vagy csökkeı) és korlátos, akkor koverges, mégpedig ha - mooto övekvı és felülrıl korlátos, akkor lima sup(a ) 1 1 Pl. lim 5 sup mooto csökkeı és alulról korlátos, akkor lima if(a ) Pl. lim if

11 Visszafelé em igaz az állítás: ha egy sorozat koverges, akkor ebbıl em következik, hogy mooto és korlátos. Pl.A már említett ( 1 ) 1 sorozat.

12 C. Diverges sorozatok határértéke Defiíció: Az (a ) sorozat a + -hez divergál (hatérértéke + ), ha bármilye agy K R-hez va olya N(K) N, K-tól függı küszöbidex, hogy mide >N eseté a > K. Jele: lima Hasolóa értelmezhetı a divergecia is. lima Nem mide diverges sorozat határértéke + (- ) Pl. a (-1) vagy b (-1) diverges sorozatokak ics határértéke.

13 Módszer: 2) EGYVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE Tetszıleges {x } függetle-változó sorozattal tartuk az értelmezési tartomáyo oda, ahol a függvéy határértékét vizsgáljuk (ez lehet a véges x 0 pot vagy a + vagy a - ) és vizsgáljuk, hogy közbe a függvéyértékek {f(x )} sorozatáak va-e határértéke. Ha bármely {x } sorozat eseté ugyaaz a (véges vagy + vagy - ) határérték adódik, akkor ez a függvéy határértéke a vizsgált helye. Külöbe ics határérték a vizsgált helye.

14 Esetei: 1. A véges x 0 potba a határérték a véges A szám Defiíció: Legye a függvéy értelmezve az x 0 valamely köryezetébe kivéve esetleg magát az x 0 potot. Az f(x) függvéy határértéke az x 0 helye a véges A szám, ha mide x 0 hoz kovergáló {x } (ahol x D, x x 0 ) függetle-változó sorozat eseté a megfelelı függvéyértékek {f(x )} sorozata tart A-hoz, azaz mide {x } x 0 (x D, x x 0 ) eseté {f(x )} A Jelölése: lim f (x) A x x 0

15 Defiíció: Legye a függvéy értelmezve az x 0 valamely baloldali köryezetébe kivéve esetleg magát az x 0 potot. Az f(x) függvéy baloldali határértéke az x 0 helye a véges A szám, ha mide {x } x 0 (x D, x <x 0 ) eseté {f(x )} A Jelölése: lim x x 0 0 f (x) A Hasolóa értelmezhetı a jobboldali határérték. Jele: lim f (x) A x x + 0 0

16 Tétel: Egy függvéyek akkor va határértéke az x 0 helye, ha ott a bal- és a jobboldali határérték létezik, és azok megegyezek. Egy függvéy x 0 potbeli baloldali ill. jobboldali határértékéek meghatározásához az {x }x 0 1/ ill. {x }x 0 +1/ sorozatokat haszáljuk. Példa: lim(x + 1) lim (2 ) 1 lim(5 4 x lim (x + 1) lim (2 ) 1 lim(5 4 ) x Mivel a bal- és a jobboldali határérték megegyezik, ezért lim (x 2 x 2 + 1) 5 ) 5

17 2. A véges x 0 potba a határérték a végtele Defiíció: Legye f: D R em korlátos függvéy. Az f(x) függvéy határértéke az x 0 helye + (- ), ha mide x 0 hoz kovergáló {x } (ahol x D, x x 0 ) függetle-változó sorozat eseté a megfelelı függvéyértékek {f(x )} sorozata tart a + -be (- ), azaz mide {x } x 0 (x D, x x 0 ) eseté {f(x )} + (- ) Jelölése: lim f (x) x x 0 + (- ) 2 f(x) 2 (x 3) az x 0 3 potba

18 3. A végtelebe a határérték a véges A szám Defiíció: Legye f olya függvéy, melyek értelmezési tartomáya em korlátos. Az f(x) függvéy határértéke a + -be (- -be) a A szám, ha mide + -be (- -be) kovergáló {x } (ahol x D) függetle-változó sorozat eseté a megfelelı függvéyértékek {f(x )} sorozata tart a A-hoz, azaz mide {x } + (- ) (x D) eseté {f(x )} A Jelölése: lim f (x) x + A illetve lim f (x) x - A + -be kovergáláshoz az {x }, a - -be tartáshoz az {x } - sorozatot haszáljuk. 3 x Pl. f(x) 2 a + -be illetve a - -be A

19 4. A végtelebe a határérték végtele Defiíció: Legye az f függvéy értelmezési tartomáya és értékkészlete em korlátos. Az f(x) függvéy határértéke a + -be + (- ), ha mide + -be kovergáló {x } (ahol x D) függetle-változó sorozat eseté a megfelelı függvéyértékek {f(x )} sorozata tart a + -be (- -be), azaz mide {x } + (x D) eseté {f(x )} + (- ) Jelölése: lim f (x) x + + illetve lim f (x) x + Hasolóképpe lehet a - -be a határérték + (- ) : lim f (x) x + illetve lim f (x) x

20 A. Határérték és a mőveletek Tétel: Ha f és g határértéke létezik az x 0 helye (+,- be) és ez A ill. B és c R, akkor lim c f (x) x x 0 lim x x 0 lim x x 0 ca [ f (x) ± g(x) ] A ± B [ f (x) g(x) ] A B f (x) lim x x 0 g(x) A B (B 0)

21 lim c B. Nevezetes határértékek c 1. x x 0 kostas függvéy határértéke mideütt kostas lim x ± lim x ± x + 1 x x e, lim x ± ( k ) ( k a x a x + a a x ) k a x k lim x ± b x m f (x) lim x g(x) k 1 ha x 0 midkét függvéy zérushelye 0 x + k x lim x ± k a x + a 1 0 a kx lim m b x + b x ± 1 0 b x m (x x 0) f1(x) f1(x) lim lim x x0 (x x ) g (x) x x g (x) m x 0 0 lim 0 si x x x x k e k,

22 3) EGYVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK FOLYTONOSSÁGA Defiíció: Legye f: D R értelmezve az x 0 D helye és aak valamely köryezetébe. Az f függvéy folytoos az x 0 potba, ha lim f (x) f (x ) 0 x x 0 azaz létezik a jobb és a baloldali határérték az x 0 potba és ezek megegyezek az x 0 potba vett helyettesítési értékkel. Ez azt jeleti, hogy ics ugrás, szakadás az x 0 helye a függvéy görbéjé.

23 A defiíció következméye, hogy az x 0 potba folytoos függvéy értelmezve va x 0 ba létezik itt a határérték a határérték egyelı a helyettesítési értékkel. Nem folytoos a függvéy x 0 ba, ha a feti potok bármelyike em teljesül. Ilyekor szakadás va az x 0 potba. Defiíció: Az f függvéy folytoos egy H halmazo, ha aak mide potjába folytoos.

24 Mőveletek és folytoosság Tétel: Adott itervallumo folytoos függvéyek összege, külöbsége, szorzata, háyadosa (ha a evezı itt em ulla), kostasszorosa is folytoos. Tétel: Adott zárt itervallumo folytoos valós függvéy korlátos felveszi szélsıértékeit és bármely két felvett érték közötti mide számot felvesz. pl.: f: [-1, 2] R, f(x) -x 2 +1