Térgörbék (R R 3 függvények) Síkgörbék (R R 2 függvények) Felületek (R 2 R 3 függvények)
|
|
- Borbála Kelemenné
- 5 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 Vekoranalíis Térgörbék (R R függének Síkgörbék (R R függének Felüleek (R R függének A diákon megjelenő söegek és képek csak a serő (Dr. Kocsis Imre, DE Műsaki Kar engedéléel hasnálhaók fel!
2 Vekoranalíis R R ípusú függének (érgörbék A diákon megjelenő söegek és képek csak a serő (Dr. Kocsis Imre, DE Műsaki Kar engedéléel hasnálhaók fel!
3 Vekoranalíis Definíció: koordináafüggének A R R ípusú r( ( ( ( függén (érgörbe koordináafüggénei a,, : R R egáloós, alós érékű függének. A koordináafüggének érékei adják a függénérékek koordináái. A diákon megjelenő söegek és képek csak a serő (Dr. Kocsis Imre, DE Műsaki Kar engedéléel hasnálhaók fel!
4 Vekoranalíis 4 Definíció: koordináafüggének A R R ípusú r( ( ( függén (síkgörbe koordináafüggénei a, : R R egáloós, alós érékű függének. A diákon megjelenő söegek és képek csak a serő (Dr. Kocsis Imre, DE Műsaki Kar engedéléel hasnálhaók fel!
5 Vekoranalíis 5 Példa Térbeli egenes előállíása R R függénnel A r heleekor álal meghaároo ponon ámenő, iránekorú egenes állíja elő a köekeő függén: r( r, R Megjegés A paraméerérékek és a egenes ponjai köö kölcsönösen egérelmű megfeleleés jelen a feni függénkapcsola. A diákon megjelenő söegek és képek csak a serő (Dr. Kocsis Imre, DE Műsaki Kar engedéléel hasnálhaók fel!
6 A diákon megjelenő söegek és képek csak a serő (Dr. Kocsis Imre, DE Műsaki Kar engedéléel hasnálhaók fel! Vekoranalíis 6 A egenes előállíása koordináafüggénekkel: Legen ( (, R ( r r( r r Ekkor a feni ekorfüggén koordináafüggénei:
7 A diákon megjelenő söegek és képek csak a serő (Dr. Kocsis Imre, DE Műsaki Kar engedéléel hasnálhaók fel! Vekoranalíis 7 Ekkor a egenes: ( 4 ( 5, R ( A egenes néhán ponja: Példa 5 4 r( 5 r 4 5 r( 5 r( 8 r(
8 Vekoranalíis 8 R R ípusú függének (felüleek A diákon megjelenő söegek és képek csak a serő (Dr. Kocsis Imre, DE Műsaki Kar engedéléel hasnálhaók fel!
9 Vekoranalíis 9 Definíció: koordináafüggének A R R ípusú r(u, (u, (u, (u, függén (érgörbe koordináafüggénei a,, : R R kéáloós, alós érékű függének. A koordináafüggének érékei adják a függénérékek koordináái. A diákon megjelenő söegek és képek csak a serő (Dr. Kocsis Imre, DE Műsaki Kar engedéléel hasnálhaók fel!
10 Vekoranalíis Példa Sík előállíása R R függénnel Ado r heleekor álal meghaároo ponon ámenő, ado a és a b ekorokkal párhuamos síko állíja elő a köekeő függén (a és b nem lehe párhuamos: r(u, r u a b, (u, R A diákon megjelenő söegek és képek csak a serő (Dr. Kocsis Imre, DE Műsaki Kar engedéléel hasnálhaók fel!
11 A diákon megjelenő söegek és képek csak a serő (Dr. Kocsis Imre, DE Műsaki Kar engedéléel hasnálhaók fel! Vekoranalíis A sík előállíása koordináafüggénekkel: legen (u, a u b (u, a u b, (u, R (u, a u b r u b u a b u a b u a r(u, (u, r r a a a a Ekkor a feni ekorfüggén koordináafüggénei: b b b b
12 A diákon megjelenő söegek és képek csak a serő (Dr. Kocsis Imre, DE Műsaki Kar engedéléel hasnálhaók fel! Vekoranalíis Legen (u, 4 u (u, 5 u, (u, R (u, u 7 A sík néhán ponja: Példa 7 u u 5 u 4 r(u, 5 r 4 a 7 b Ekkor a síko előállíó függén: 5 r(, r(, 9, r(
13 Vekoranalíis Megjegés Sík normálekoros előállíása Ado r heleekor álal meghaároo ponon ámenő, ado n normálekorú sík egenlee: ( r -r n (A jel a skaláris sorás jelöli. A diákon megjelenő söegek és képek csak a serő (Dr. Kocsis Imre, DE Műsaki Kar engedéléel hasnálhaók fel!
14 Vekoranalíis 4 Legen r (,,, r (,,, n (A,B,C Ekkor a feni egenle: ( r -r n ( (,, - (,, (A,B,C (-, -, - (A,B,C A(- B(- C(- A B C (-A -B -C A B C D A diákon megjelenő söegek és képek csak a serő (Dr. Kocsis Imre, DE Műsaki Kar engedéléel hasnálhaók fel!
15 A diákon megjelenő söegek és képek csak a serő (Dr. Kocsis Imre, DE Műsaki Kar engedéléel hasnálhaók fel! Vekoranalíis 5 A(- B(- C(- formula a sík álalános egenlee. A áloók egühaói a sík eg normálekorának koordináái. A álalános egenlee elosa a n(a,b,c normálekor hossáal a sík normál egenleé kapjuk: a(- b(- c(- ahol C B A A a C B A B b C B A D d C B A C c
16 Vekoranalíis 6 Megjegés A normál egenle eg ulajdonsága: a pon áolsága a P ( p, p, p a(- b(- c(- normál egenleű S síkól: d(p,s a ( p - b ( p - c ( p - A diákon megjelenő söegek és képek csak a serő (Dr. Kocsis Imre, DE Műsaki Kar engedéléel hasnálhaók fel!
17 Vekoranalíis 7 Megjegés Kapcsola eg sík állásá meghaároó adaai (és íg köee a kéféle egenlee köö: Ha a és b eg síkkal párhuamos ekorok (de egmással nem párhuamosak, akkor a b a sík normálekora. A diákon megjelenő söegek és képek csak a serő (Dr. Kocsis Imre, DE Műsaki Kar engedéléel hasnálhaók fel!
18 Vekoranalíis 8 Példa Egenesek söge egenlő a iránekoraik sögéel. Sögfeladaok Síkok söge egenlő a normálekoraik sögéel. Egenes és sík söge a egenes iránekorának és a sík normálekorának sögéből sámíhaó. A diákon megjelenő söegek és képek csak a serő (Dr. Kocsis Imre, DE Műsaki Kar engedéléel hasnálhaók fel!
19 Vekoranalíis 9 Példa Táolságfeladaok A d(p,e áolság kisámíása: A d(p,s áolság kisámíása: T ABP d(a, B d(p, e d(p, e T ABP d(a, B V ABCP d(p,s T ABC d(p,s T V ABCP ABC A diákon megjelenő söegek és képek csak a serő (Dr. Kocsis Imre, DE Műsaki Kar engedéléel hasnálhaók fel!
20 Vekoranalíis A R R ípusú függének differenciálása Definíció: differenciálhánados A r( ( ( ( függén differenciálhaó a [a,b] helen, ha a koordináafüggénei differenciálhaók a helen. Ha a r:[a,b] R differenciálhaó a helen, akkor a differenciálhánadosa: ( r ( ( ( A diákon megjelenő söegek és képek csak a serő (Dr. Kocsis Imre, DE Műsaki Kar engedéléel hasnálhaók fel!
21 Vekoranalíis A R R ípusú függének differenciálása Definíció: differenciálhánados A r( ( ( függén differenciálhaó a [a,b] helen, ha a koordináafüggénei differenciálhaók a helen. Ha a r:[a,b] R differenciálhaó a helen, akkor a differenciálhánadosa: r ( ( ( A diákon megjelenő söegek és képek csak a serő (Dr. Kocsis Imre, DE Műsaki Kar engedéléel hasnálhaók fel!
22 Vekoranalíis Megjegés A paraméer (fiikában a idő serini deriálaka esső hele álalában ponal jelöljük: r ( r( & ( & ( & ( & A diákon megjelenő söegek és képek csak a serő (Dr. Kocsis Imre, DE Műsaki Kar engedéléel hasnálhaók fel!
23 Vekoranalíis A differenciálhánados geomeriai és fiikai jelenése ( r( & Eg R R ípusú függén differenciálhánadosának geomeriai jelenése: érinő ekor. Ha a r( függén eg mogó pon hel-idő függéne, akkor a differenciálhánados ekor ado időponban érénes pillanani sebesség. A diákon megjelenő söegek és képek csak a serő (Dr. Kocsis Imre, DE Műsaki Kar engedéléel hasnálhaók fel!
24 Vekoranalíis 4 Példa 4 r( r&( 7 6 r& ( r( & 96 6 A diákon megjelenő söegek és képek csak a serő (Dr. Kocsis Imre, DE Műsaki Kar engedéléel hasnálhaók fel!
25 Vekoranalíis 5 Definíció: érinő egenes Differenciálhaó érgörbe érinő egenese: r( e( r( r( & ( A diákon megjelenő söegek és képek csak a serő (Dr. Kocsis Imre, DE Műsaki Kar engedéléel hasnálhaók fel!
26 Vekoranalíis 6 Példa r( Haárouk meg a érinő egenes a helen, és ennek felhasnálásáal adjunk becslés a r(,9 függénérékre! r( r&( e(,9 6 4 (, e( 6 4 ( ,7 6,98 4,4 4,8 5, 4, A diákon megjelenő söegek és képek csak a serő (Dr. Kocsis Imre, DE Műsaki Kar engedéléel hasnálhaók fel!
27 Vekoranalíis 7 Példa Tekinsünk a a síkbeli mogás, melnek hel-idő függéne: cos5 r( sin 5 Megjegés r( 9cos 5 9sin 5 A mogás pálája a origó köépponú, egség sugarú kör. A diákon megjelenő söegek és képek csak a serő (Dr. Kocsis Imre, DE Műsaki Kar engedéléel hasnálhaók fel!
28 Vekoranalíis 8 r( cos5 sin 5 A sebesség-idő függén: r&( ( 5sin 5 5cos5 A pillanani sebesség a π/, időponban: π π 5sin 5 π 5cos5 5 5, 7,5 A diákon megjelenő söegek és képek csak a serő (Dr. Kocsis Imre, DE Műsaki Kar engedéléel hasnálhaók fel!
29 Vekoranalíis 9 Megjegés 5sin 5 5cos 5 5 A sebesség nagsága állandó ehá i eg egenlees körmogásról an só, 5 egség nagságú sebességgel. A diákon megjelenő söegek és képek csak a serő (Dr. Kocsis Imre, DE Műsaki Kar engedéléel hasnálhaók fel!
30 Vekoranalíis Differenciálhaó érgörbék néhán ponbeli jellemője Definíció: érinő egségekor r( & r( & A diákon megjelenő söegek és képek csak a serő (Dr. Kocsis Imre, DE Műsaki Kar engedéléel hasnálhaók fel!
31 Vekoranalíis Megjegés: érgörbe íhoss-paraméeres előállíása Ado érgörbének esőleges sámú előállíása léeik R R ípusú függén segíségéel. A különböő előállíásokban álalában különböik eg ado görbeponho aroó érinőekor hossa. E eg mogó pon helidő függéne eseén uganaon pála különböő sebességgel aló befuásának felel meg a fiikában. Differenciálhaó érgörbe eseén a a előállíás, melnél a érinőekor hossa bármel ponban egségni, íhossparaméeres előállíásnak neeük. E a pála egségni nagságú sebességgel aló befuásának felel meg a fiikában. A íhoss-paraméeres előállíás elneeés onnan ered, hog ekkor Ebben a előállíásban a paraméer hele s-sel sokás jelölni. A diákon megjelenő söegek és képek csak a serő (Dr. Kocsis Imre, DE Műsaki Kar engedéléel hasnálhaók fel!
32 Vekoranalíis Definíció: binormális egségekor b r( & && r( felée, hog r& ( & r( r( & && r( Definíció: főnormális egségekor n b A diákon megjelenő söegek és képek csak a serő (Dr. Kocsis Imre, DE Műsaki Kar engedéléel hasnálhaók fel!
33 Vekoranalíis Definíció: kísérő riéder A érinő, a főnormális és a binormális egségekorok a görbe bármel ponjában (ahol nem űnnek el oronormál ekorrendser alkonak. A (e,n,b hármas a görbe kísérő riéderének neeük. A görbék isgálaában a kísérő riéder koordináarendser alapeő fonosságú. álal meghaároo A diákon megjelenő söegek és képek csak a serő (Dr. Kocsis Imre, DE Műsaki Kar engedéléel hasnálhaók fel!
34 Vekoranalíis 4 Definíció: simulósík A és n ekorok álal kifesíe sík a görbe simulósíkja. Definíció: normális sík A n és b ekorok álal kifesíe sík a görbe normális síkja. Definíció: rekifikáló sík A és b ekorok álal kifesíe sík a görbe rekifikáló síkja. A diákon megjelenő söegek és képek csak a serő (Dr. Kocsis Imre, DE Műsaki Kar engedéléel hasnálhaók fel!
35 Vekoranalíis 5 Definíció: görbüle A, hog eg görbe eg ado helen mennire ér el a egenesől a görbüleel mérjük. A görbüle a érinő ekor iránának megáloásáal függ össe. Ha a görbe késer differenciálhaó és a első deriálja nem űnik el, akkor a görbüle: κ( r( & && r( r( & Megjegések Egenes görbülee nulla. Kör görbüleének nagsága a sugár reciproka. A diákon megjelenő söegek és képek csak a serő (Dr. Kocsis Imre, DE Műsaki Kar engedéléel hasnálhaók fel!
36 Vekoranalíis 6 Definíció: orió A, hog eg görbe mennire csaarodik a orióal mérjük. A orió a binormális ekor iránának áloásáal függ össe: a görbe mennire ér el a simulósíkjáól. Ha a görbe háromsor differenciálhaó és a első és a második deriálak ekori soraa nem űnik el, akkor a orió: τ( r(r( & && &&& r ( r( & && r( A diákon megjelenő söegek és képek csak a serő (Dr. Kocsis Imre, DE Műsaki Kar engedéléel hasnálhaók fel!
37 Vekoranalíis 7 Megjegés Síkgörbe a sajá simulósíkjában an, íg a oriója nulla. A állíás megfordíása is iga, íg a orió elűnése a síkgörbék jellemője: Eg háromsor differenciálhaó görbe ponosan akkor síkgörbe, ha a oriója nulla. A diákon megjelenő söegek és képek csak a serő (Dr. Kocsis Imre, DE Műsaki Kar engedéléel hasnálhaók fel!
38 Vekoranalíis 8 Térgörbe íhossa Eg differenciálhaó ((,(,( görbe [, ] paraméer sakasáho aroó darabjának íhossa: s r& d & ( & ( & (d Vegük ésre a analógiá aal, ahogan a sebesség nagságából sámíjuk a mege ua: ha a ( függén adja a mogó pon sebességének nagságá, akkor a [, ] időaram ala mege ú s (d A diákon megjelenő söegek és képek csak a serő (Dr. Kocsis Imre, DE Műsaki Kar engedéléel hasnálhaók fel!
39 Vekoranalíis 9 Példa r( r&( s & ( & ( & (d s 9 4 d 4 d d d sh u chu du ch u du shu d shu chu du u arsh A diákon megjelenő söegek és képek csak a serő (Dr. Kocsis Imre, DE Műsaki Kar engedéléel hasnálhaók fel!
40 Vekoranalíis 4 ch u du (chu 4 du 4 shu u sh arsh arsh 8 4 sh arsh ch arsh arsh 8 4 sh arsh arsh arsh 4 A diákon megjelenő söegek és képek csak a serő (Dr. Kocsis Imre, DE Műsaki Kar engedéléel hasnálhaók fel!
41 A diákon megjelenő söegek és képek csak a serő (Dr. Kocsis Imre, DE Műsaki Kar engedéléel hasnálhaók fel! Vekoranalíis 4 arsh 4 4 d s arsh 4 4 d arsh 4 4
42 Vekoranalíis 4 Síkgörbék differenciálásáal kapcsolaos megjegések Eg ((,( síkgörbe isgálaakor sükség lehe a és a kapcsolaá leíró jellemőkre: '( d d "( d d miel a síkgörbék jellemői megadó sámos formula (pl. érinő egenlee, érinési paraméerek, simulókör, görbüle eeke a érékeke araralmaa. Eek a differenciálhánadosok kisámíhaók a ( és a ( függének deriáljaial a köekeők serin: A diákon megjelenő söegek és képek csak a serő (Dr. Kocsis Imre, DE Műsaki Kar engedéléel hasnálhaók fel!
43 Vekoranalíis 4 Ha ( deriálja nem űnik el eg ado helen, akkor o '( "( d d d d ( & ( & & (( & && (( & ( ( & & ( &( && ( && ( d d d d d d d d A diákon megjelenő söegek és képek csak a serő (Dr. Kocsis Imre, DE Műsaki Kar engedéléel hasnálhaók fel!
44 Vekoranalíis 44 Vekormeők (R R függének A diákon megjelenő söegek és képek csak a serő (Dr. Kocsis Imre, DE Műsaki Kar engedéléel hasnálhaók fel!
45 Vekoranalíis 45 Definíció: koordináafüggének A R R ípusú (,, (,, (,, (,, függén (ekormeő koordináafüggénei a,, : R R háromáloós, alós érékű függének. A diákon megjelenő söegek és képek csak a serő (Dr. Kocsis Imre, DE Műsaki Kar engedéléel hasnálhaók fel!
46 Vekoranalíis 46 Definíció: R R ípusú lineáris függének A f (,, A a a a a a a a a a alakú függéneke, ahol A eg ( ípusú mári, R R ípusú lineáris függéneknek neeük. A A mári a f függén mária. A diákon megjelenő söegek és képek csak a serő (Dr. Kocsis Imre, DE Műsaki Kar engedéléel hasnálhaók fel!
47 Vekoranalíis 47 Definíció: differenciálhánados A :D( R R függén differenciálhaó a D érelmeési aromán eg r belső ponjában, ha an olan K R, melre K r h r ahol lim r r h r r r Ekkor a A függén a f függén P helen e differenciálhánadosának neeük. Jelölése: K A diákon megjelenő söegek és képek csak a serő (Dr. Kocsis Imre, DE Műsaki Kar engedéléel hasnálhaók fel!
48 Vekoranalíis 48 A Δ r r Δ r jelölésekkel a differenciálhánados definiáló össefüggés: Δ K Δr h( Δr ahol lim Δr h( Δr Δr A diákon megjelenő söegek és képek csak a serő (Dr. Kocsis Imre, DE Műsaki Kar engedéléel hasnálhaók fel!
49 A diákon megjelenő söegek és képek csak a serő (Dr. Kocsis Imre, DE Műsaki Kar engedéléel hasnálhaók fel! Vekoranalíis 49 A differenciálhánados mária a koordináa-függének parciális deriáljaiból áll: Téel
50 Vekoranalíis 5 Definíció: differenciál Ha a :D( R R függén differenciálhaó a r ponban, akkor a függén r ponbeli, -he aroó differenciálja: Definíció: lineáris köelíés r Δr Ha a :D( R R függén differenciálhaó a r ponban, akkor a függén r ponbeli lineáris köelíése: r Δ Δr aag: r A diákon megjelenő söegek és képek csak a serő (Dr. Kocsis Imre, DE Műsaki Kar engedéléel hasnálhaók fel!
51 Vekoranalíis 5 Példa (,, 4 6 haárouk meg a függén differenciálhánadosá; írjuk fel a lineáris köelíés a r 4 helen;, sámoljuk ki a f függén köelíő éréké a r,8, helen! A diákon megjelenő söegek és képek csak a serő (Dr. Kocsis Imre, DE Műsaki Kar engedéléel hasnálhaók fel!
52 A diákon megjelenő söegek és képek csak a serő (Dr. Kocsis Imre, DE Műsaki Kar engedéléel hasnálhaók fel! Vekoranalíis r 6 4 A lineáris köelíés formulája: -r
53 A diákon megjelenő söegek és képek csak a serő (Dr. Kocsis Imre, DE Műsaki Kar engedéléel hasnálhaók fel! Vekoranalíis 5 ( ,,8, r ,,8, r
54 Vekoranalíis 54 Megjegés Ado ekormeő (pl. sebességér a áramló foladékban, érerőség a elekromos erőérben eseén a differenciálhánados máriának elemei függenek a koordináarendser megálasásáól. A alábbiakban ké olan jellemő adunk meg, melek a differenciálhánados mári elemeiből sámíhaók, de inariánsak a koordináarendser megáloaásáal semben, és köelen fiikai aralommal bírnak. A diákon megjelenő söegek és képek csak a serő (Dr. Kocsis Imre, DE Műsaki Kar engedéléel hasnálhaók fel!
55 Vekoranalíis 55 Definíció: ekormeő diergenciája di Megjegések. A diergencia egenlő a differenciálhánados mári főálójában léő elemek össegéel.. A diergencia a forrásossággáal függ össe: eg ekormeő forrásmenes, ha a diergenciája. A diákon megjelenő söegek és képek csak a serő (Dr. Kocsis Imre, DE Műsaki Kar engedéléel hasnálhaók fel!
56 A diákon megjelenő söegek és képek csak a serő (Dr. Kocsis Imre, DE Műsaki Kar engedéléel hasnálhaók fel! Vekoranalíis 56 Példa ( r,, 6 di 4 di
57 Vekoranalíis 57 Megjegés A di lim ΔV V r A df ΔV ΔV ahol A a r pono aralmaó aromán haároló felüle, ΔV. a aromán érfogaa. A fdf A A ár felülere onakoó áramsűrűség. Ennek éréke akkor különböik -ól, ha a aromán belsejében forrás ag nelő an: a beáramlás és a kiáramlás méréke különböik. A diákon megjelenő söegek és képek csak a serő (Dr. Kocsis Imre, DE Műsaki Kar engedéléel hasnálhaók fel!
58 Vekoranalíis 58 Megjegés A diergencia jelenése (légüres elekrosaikus érben: ε ( ( ρ die r r ahol ρ a (érfogai öléssűrűség, ε a elekromos permiiiás. A diákon megjelenő söegek és képek csak a serő (Dr. Kocsis Imre, DE Műsaki Kar engedéléel hasnálhaók fel!
59 A diákon megjelenő söegek és képek csak a serő (Dr. Kocsis Imre, DE Műsaki Kar engedéléel hasnálhaók fel! Vekoranalíis 59 k j i de ro Definíció: ekormeő roációja Könnebben megjegeheő forma: A roáció a örénességgel függ össe: eg ekormeő örénmenes, ha a roációja. A deermináns formális kifejéséel a roáció feni képleé kapjuk. ro Megjegés
60 A diákon megjelenő söegek és képek csak a serő (Dr. Kocsis Imre, DE Műsaki Kar engedéléel hasnálhaók fel! Vekoranalíis 6 Példa k j i de ro ro ro
61 A diákon megjelenő söegek és képek csak a serő (Dr. Kocsis Imre, DE Műsaki Kar engedéléel hasnálhaók fel! Vekoranalíis 6 Példa r ro ro 4 6 ro
62 Vekoranalíis 6 Megjegés n ro f lim ΔA G r G fdr ΔA ahol ΔA a pono aralmaó felüledarab felsíne, G a felüledarabo haároló ár görbe. G fdr Cirkuláció a G ár görbe menén. (Koneraí erőér eseén bármel ár görbére. A diákon megjelenő söegek és képek csak a serő (Dr. Kocsis Imre, DE Műsaki Kar engedéléel hasnálhaók fel!
63 Vekoranalíis 6 Jelölés: nabla operáor (,, A nabla operáor segíségéel röiden felírhaók a differenciál operáorok: di ro (,, ro i de j k A diákon megjelenő söegek és képek csak a serő (Dr. Kocsis Imre, DE Műsaki Kar engedéléel hasnálhaók fel!
64 Vekoranalíis 64 Megjegések A diergencia és a roáció megjelenik a elekromágneses ér jellemői köi össefüggéseke megadó Mawell egenleek differenciális alakjában: D ro H J B ro E di D ρ di B E: elekromos érerősség ekor D: dielekromos elolódás ekor H: mágneses érerősség ekor B: mágnese indukció ekor J: áramsűrűség ekor ρ: elekromos öléssűrűség A diákon megjelenő söegek és képek csak a serő (Dr. Kocsis Imre, DE Műsaki Kar engedéléel hasnálhaók fel!
65 Vekoranalíis 65 Vekormeő görbemeni inegrálja Folonos r ekormeő görbemeni inegrálja a differenciálhaó G: r(, görbeíen: dr ( G r( & d A diákon megjelenő söegek és képek csak a serő (Dr. Kocsis Imre, DE Műsaki Kar engedéléel hasnálhaók fel!
66 Vekoranalíis 66 Példa 5 4 r( 4 6 r&( G dr ( r( & d ( ,(4 6,5 6 ( -,, d ( d ( d A diákon megjelenő söegek és képek csak a serő (Dr. Kocsis Imre, DE Műsaki Kar engedéléel hasnálhaók fel!
67 A diákon megjelenő söegek és képek csak a serő (Dr. Kocsis Imre, DE Műsaki Kar engedéléel hasnálhaók fel! Vekoranalíis 67 ( 4 5 d ,
68 Vekoranalíis 68 Példa r( cos sin π r&( sin cos G dr π ( r( & d ( cos sin,,sin ( - sin, cos, d π ( -sin cos sin cos sin d A diákon megjelenő söegek és képek csak a serő (Dr. Kocsis Imre, DE Műsaki Kar engedéléel hasnálhaók fel!
69 Vekoranalíis 69 Vekormeő felülemeni inegrálja Folonos r ekormeő görbemeni inegrálja a differenciálhaó F: (u, r(u,, (u, D felüledarabon D df D (u, r(u, u r(u, dud A diákon megjelenő söegek és képek csak a serő (Dr. Kocsis Imre, DE Műsaki Kar engedéléel hasnálhaók fel!
70 Vekoranalíis 7 Példa 6 r(u, u u 5 u, r(u, u u r(u, u r i j k (u, r(u, de u (, u,u u u A diákon megjelenő söegek és képek csak a serő (Dr. Kocsis Imre, DE Műsaki Kar engedéléel hasnálhaók fel!
71 Vekoranalíis 7 6 r(u, u u 5 r (u, r(u, (, u,u u D df D (u, r(u, u r(u, dud u u ( ( u 5,u 5,6u, u,u dud ( u 5 u 6u u 6u u 8u dud A diákon megjelenő söegek és képek csak a serő (Dr. Kocsis Imre, DE Műsaki Kar engedéléel hasnálhaók fel!
72 Vekoranalíis 7 u u ( u 5 u 6u u 6u u 8u dud ( u u (9u (u u 5 d du ( u u (9u (u u 5 u du u u u (9u 7 (u u 5 du A diákon megjelenő söegek és képek csak a serő (Dr. Kocsis Imre, DE Műsaki Kar engedéléel hasnálhaók fel!
73 Vekoranalíis 7 A diákon megjelenő söegek és képek csak a serő (Dr. Kocsis Imre, DE Műsaki Kar engedéléel hasnálhaók fel!
74 Vekoranalíis 74 A diákon megjelenő söegek és képek csak a serő (Dr. Kocsis Imre, DE Műsaki Kar engedéléel hasnálhaók fel!
75 Vekoranalíis 75 A R n R m ípusú függének differenciálása Definíció: koordináafüggének A R n R m ípusú f ( f f f m ( ( M ( (,,..., n függén koordináafüggénei a f,f,, f m : R n R n áloós, alós érékű függének. A diákon megjelenő söegek és képek csak a serő (Dr. Kocsis Imre, DE Műsaki Kar engedéléel hasnálhaók fel!
76 Vekoranalíis 76 Definíció: R n R m ípusú lineáris függének A f (,,..., n A M n alakú függéneke, ahol A eg (m n ípusú mári, R n R m ípusú lineáris függéneknek neeük. A A mári a f függén mária. A diákon megjelenő söegek és képek csak a serő (Dr. Kocsis Imre, DE Műsaki Kar engedéléel hasnálhaók fel!
77 Vekoranalíis 77 Definíció: differenciálhánados A f:d( R n R m függén differenciálhaó a D érelmeési aromán belső ponjában, ha an olan A:R n R m lineáris függén, melre lim f ( f ( A( Ekkor a A függén a f függén P helen e differenciálhánadosának neeük. A diákon megjelenő söegek és képek csak a serő (Dr. Kocsis Imre, DE Műsaki Kar engedéléel hasnálhaók fel!
78 Vekoranalíis 78 A differenciálhánados mária a koordináafüggének parciális deriáljaiból áll: f ( f f m ( M ( K K n n f f m ( M ( Megjegés A differenciálhánados márinak anni sora an, ahán dimeniós a érékkésle, és anni oslopa an, ahán áloós a függén (ahán dimaniós a érelmeési aromán. A diákon megjelenő söegek és képek csak a serő (Dr. Kocsis Imre, DE Műsaki Kar engedéléel hasnálhaók fel!
79 A diákon megjelenő söegek és képek csak a serő (Dr. Kocsis Imre, DE Műsaki Kar engedéléel hasnálhaók fel! Vekoranalíis 79 R R ípusú függének (három áloós függének skalármeők ( f, f, f grad f ' f R R ípusú függének (érgörbék ( f ( f ( f ( f ( f ( f ( f A differenciálhánados mária speciális eseekben: f f f f f f f f f f R R ípusú függének (ekormeők
80 Vekoranalíis 8 Definíció: differenciál Ha a f:d( R n R m függén differenciálhaó a ponban, akkor a f függén ponbeli, he aroó differenciálja: f ( (- f ( Δ. Definíció: lineáris köelíés Ha a f:d( R n R m függén differenciálhaó a ponban, akkor a f függén ponbeli lineáris köelíése: f( f( f ( (- f( f ( Δ, aag: Δf f( - f( f ( Δ. A diákon megjelenő söegek és képek csak a serő (Dr. Kocsis Imre, DE Műsaki Kar engedéléel hasnálhaók fel!
A lecke célja: A tananyag felhasználója megismerje az anyagi pont mozgásának jellemzőit.
1 modul: Kinemaika Kineika 11 lecke: Anagi pon mogása A lecke célja: A ananag felhasnálója megismerje a anagi pon mogásának jellemői Köveelmének: Ön akkor sajáíoa el megfelelően a ananago ha: meg udja
Részletesebben. Vonatkoztatási rendszer z pálya
1. Knemaka alapfogalmak. A pála, a sebesség és a gorsulás defnícója. Sebesség, és gorsulás lokáls koordnáá. Mogás leírása különböő koordnáa-rendserekben. A knemaka a mogás maemaka leírása, a ok felárása
RészletesebbenAtomfizika előadás Szeptember 29. 5vös 5km szeptember óra
Aomfiika előadás 4. A elekromágneses hullámok 8. Sepember 9. 5vös 5km sepember 3. 7 óra Alapkísérleek Ampere-féle gerjesési örvén mágneses ér örvénessége elekromos áram elekromos ér váloása Farada indukciós
RészletesebbenVektoranalízis Vektor értékű függvények
Vektoranalízis VS Vektoranalízis Vektor értékű üggvények A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK engedélyével használhatók el! Vektoranalízis VS A korábbi ejezetekben tanulmányoztuk
RészletesebbenVektoranalízis Vektor értékű függvények
VS Vektor értékű üggvények VS A korábbi ejezetekben tanulmányoztuk azokat a üggvényeket, amelyek értékkészlete a valós számok halmazának egy részhalmaza. Ezek egyrészt az R R típusú egyváltozós, valós
Részletesebben) négydimenziós eseményekre felírt
KÁLMÁN P-TÓTH A: 9 544 Relaiiáselmélei beeeő/ kibőíe óraála A négdimeniós éridő A Galilei ransformáió a idő nem ransformálja, a időadaok a érkoordináákól függelenek Eel semben a Loren-ransformáió a idő
RészletesebbenAtomfizika előadás 4. Elektromágneses sugárzás október 1.
Aomfka előadás 4. lekromágneses sugárás 4. okóber. Alapkísérleek Ampere-féle gerjesés örvén mágneses ér örvénessége elekromos áram elekromos ér váloása Farada ndukcós örvéne elekromos ér örvénessége mágneses
Részletesebben3. feladatsor: Görbe ívhossza, görbementi integrál (megoldás)
Maemaika A3 gyakorla Energeika és Mecharonika BSc szakok, 6/7 avasz 3. feladasor: Görbe ívhossza, görbemeni inegrál megoldás. Mi az r 3 3 i + 6 5 5 j + 9 k görbe ívhossza a [, ] inervallumon? A megado
RészletesebbenFelkészítő feladatok a 2. zárthelyire
. Silárdságani alapismereek.. Mohr-féle fesülségsámíás Felkésíő feladaok a. árhelire Talajok mehanikai jellemői Ado: =4 kpa, = kpa és = kpa, ovábbá ===. Sámísk ki a főfesülségeke és adjk meg a fősíkok
RészletesebbenKétváltozós függvények ábrázolása síkmetszetek képzése által
Kétváltozós függvének ábrázolása síkmetszetek képzése által ) Ábrázoljuk a z + felületet! Az [,] síkkal párhuzamos síkokkal z c) képzett metszetek körök: + c, tehát a felület z tengelű forgásfelület; Az
RészletesebbenMatematika III előadás
Matematika III. - 2. előadás Vinczéné Varga Adrienn Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Előadáskövető fóliák Vinczéné Varga Adrienn (DE-MK) Matematika III. 2016/2017/I 1 / 30 Egy
RészletesebbenA Lorentz transzformáció néhány következménye
A Lorenz ranszformáció néhány köekezménye Abban az eseben, ha léezik egy sebesség, amely minden inercia rendszerben egyforma nagyságú, akkor az egyik inercia rendszerből az áérés a másik inercia rendszerre
Részletesebben5. Szerkezetek méretezése
. Serkeeek méreeése Hajlío, ömör gerinű gerendaarók és oso selvénű nomo rúd méreeési példái..1. Tömör gerinű gerendaarók méreeése.1.1. elegen hengerel gerendaarók Sükséges ismereek: - Keresmesei ellenállások
RészletesebbenDierenciálgeometria feladatsor
Dierenciálgeometria feladatsor 1. Görbék paraméterezése 1. Határozzuk meg az alábbi ponthalmazok egy paraméteres el állítását: a a, b középpontú, r sugarú kör a síkban; b y = mx + b egyenlettel leírt egyenes
RészletesebbenFourier-sorok konvergenciájáról
Fourier-sorok konvergenciájáról A szereplő függvényekről mindenü felesszük, hogy szerin periodikusak. Az ilyen függvények megközelíésére (nem a polinomok, hanem) a rigonomerikus polinomok űnnek ermészees
Részletesebben15. Többváltozós függvények differenciálszámítása
5. Többváltoós függvének differenciálsámítása 5.. Határoa meg a alábbi kétváltoós függvének elsőrendű parciális derivált függvéneit és a gradiens függvénét, valamint eek értékét a megadott pontban:, =
RészletesebbenÍrja át a következő komplex számokat trigonometrikus alakba: 1+i, 2i, -1-i, -2, 3 Végezze el a műveletet: = 2. gyakorlat Sajátérték - sajátvektor 13 6
Építész Kar Gakorló feladatok gakorlat Számítsa ki az alábbi komple számok összegét, különbségét, szorzatát, hánadosát: a/ z = i z = i b/ z = i z = - 7i c/ z = i z = i d/ z = i z = i e/ z = i z = i Írja
RészletesebbenGÖRBEELMÉLET ELMÉLETI ÖSSZEFOGLALÓ ÉS FELADATOK
GÖRBEELMÉLET ELMÉLETI ÖSSZEFOGLALÓ ÉS FELADATOK Ajánlo irodalom: 1. Szilasi József: Bevezeés a dierenciálgeomeriába modern szemléle, sok ismeree aralmazó ankönyv, érdekl d knek kiváló. Kurusa Árpád: Bevezeés
Részletesebben5. Differenciálegyenlet rendszerek
5 Differenciálegyenle rendszerek Elsőrendű explici differenciálegyenle rendszer álalános alakja: d = f (, x, x,, x n ) d = f (, x, x,, x n ) (5) n d = f n (, x, x,, x n ) ömörebben: d = f(, x) Definíció:
RészletesebbenSTATIKA A minimum teszt kérdései a gépészmérnöki szak hallgatói részére (2003/2004 tavaszi félév)
STATIKA A minimum test kérdései a gépésmérnöki sak hallgatói résére (2003/2004 tavasi félév) Statika Pontsám 1. A modell definíciója (2) 2. A silárd test értelmeése (1) 3. A merev test fogalma (1) 4. A
RészletesebbenElektromágneses hullámok
KÁLMÁN P.-TÓT.: ullámok/4 5 5..5. (kibőíe óraála) lekromágneses hullámok elekromágneses elenségek árgalásánál láuk, hog áloó mágneses erőér elekromos erőere (elekromágneses inukció), áloó elekromos erőér
Részletesebben3D-s számítógépes geometria és alakzatrekonstrukció
D-s sámíógépes geome és lkekonskcó. Göék és felüleek hp://cg..me.h/pol/node/ hps://www.k.me.h/kepes/gk/viiiav8 D. Vád Tmás Sl Pée BME Vllmosménök és Infomk K Iáníásechnk és Infomk Tnsék Tlom Ponok és ekook
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II.
KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA II 6 VI TÉRGÖRbÉk 1 Alapvető ÖSSZEFÜGGÉSEk A térgörbe (1) alakú egyenletével írható le Ez a vektoregyenlet egyenértékű az (2) skaláris egyenletrendszerrel A térgörbe három nevezetes
RészletesebbenInverz függvények Inverz függvények / 26
Inverz függvének 2015.10.14. Inverz függvének 2015.10.14. 1 / 26 Tartalom 1 Az inverz függvén fogalma 2 Szig. monoton függvének inverze 3 Az inverz függvén tulajdonságai 4 Elemi függvének inverzei 5 Összefoglalás
Részletesebben8. Optikai áramlás és követés
8. Opikai áramlás és köeés Kaó Zolán Képfeldolgozás és Számíógépes Grafika anszék SZT (hp://www.inf.u-szeged.hu/~kao/eaching/) Mozgókép (ideo) = diszkré képsoroza Y T X 3 OPTIKAI ÁRAMLÁS 4 Opikai áramlás
RészletesebbenA lecke célja: A tananyag felhasználója megismerje a rugalmasságtan 2D feladatainak elméleti alapjait.
9 modul: A rugalmasságtan D feladatai 9 lecke: A D feladatok definíciója és egenletei A lecke célja: A tananag felhasnálója megismerje a rugalmasságtan D feladatainak elméleti alapjait Követelmének: Ön
RészletesebbenHatárérték. Wettl Ferenc el adása alapján és Wettl Ferenc el adása alapján Határérték és
2015.09.28. és 2015.09.30. 2015.09.28. és 2015.09.30. 1 / Tartalom 1 A valós függvén fogalma 2 A határérték fogalma a végtelenben véges pontban Végtelen határértékek 3 A határértékek kiszámítása A rend
RészletesebbenAcélszerkezeti mintapéldák az Eurocode szabványhoz,
Budapesi Műsaki Egeem Acélserkeeek Tansék Acélserkeei minapéldák a Eurocode sabvánho, angol nelvű minapéldák alapján Fordíoa: Hegedűs Krisián Javíoa: Dr. Iváni Miklós. javío váloa 999. május 5. . Eurocode
RészletesebbenMAGYARÁZAT A MATEMATIKA NULLADIK ZÁRTHELYI MINTAFELADATSOR FELADATAIHOZ 2010.
MAGYARÁZAT A MATEMATIKA NULLADIK ZÁRTHELYI MINTAFELADATSOR FELADATAIHOZ 00.. Tetszőleges, nem negatív szám esetén, Göktelenítsük a nevezőt: (B). Menni a 0 kifejezés értéke? (D) 0 0 0 0 0000 400 0. 5 Felhasznált
Részletesebben3. ábra nem periodikus, változó jel 4. ábra periodikusan változó jel
Válakozó (hibásan váló-) menniségeknek nevezzük azoka a jeleke, melek időbeli lefolásuk közben polariás (előjele) válanak, legalább egszer. A legalább eg nullámenei (polariásválás) kriériumnak megfelelnek
Részletesebben3. MÉRETEZÉS, ELLENŐRZÉS STATIKUS TERHELÉS ESETÉN
ÉRETEZÉS ELLENŐRZÉS STATIUS TERHELÉS ESETÉN A méreteés ellenőrés célkitűése: Annak elérése hog a serkeet rendeltetésserű hasnálat esetén előírt ideig és előírt bitonsággal elviselje a adott terhelést anélkül
RészletesebbenTóth András. Kísérleti Fizika I.
Tóh András Kísérlei Fiika I 7 TÓTH A: Ponkinemaika (kibőíe óraála Beeeés Fiika: a só eredei görög alakjának jelenése "ermése", akkoriban a össes ermései jelenség isgálaá jelenee Később a isgálaok köre
Részletesebbenmateking.hu -beli vektorokat, de egyáltalán nem biztos, hogy így az egész V
LINEÁRIS LEKÉPEZÉSEK ÉS TRANSZFORMÁCIÓK A leképezés lineáris leképezésnek neezzük, h ármely elesül, hogy ; ekorokr és R számr Minden lineáris leképezés lhogy így néz ki: Kerφ Imφ meking.hu H kkor lineáris
Részletesebben3D - geometriai modellezés, alakzatrekonstrukció, nyomtatás
3D - geomera modelleés alakarekosrukó omaás. A éer és -sle rereeáó keresése h://g..me.hu/oral/ode/3 hs://.vk.me.hu/kees/argak/viiiav54 Dr. Várad Tamás Dr. Salv Péer ME Vllamosmérök és Iformaka Kar Iráíásehka
RészletesebbenFeladatok Oktatási segédanyag
VIK, Műsaki Informatika ANAÍZIS () Komplex függvénytan Feladatok Oktatási segédanyag A Villamosmérnöki és Informatikai Kar műsaki informatikus hallgatóinak tartott előadásai alapján össeállította: Frit
RészletesebbenMatematika A1a Analízis
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Matematika A1a Analízis BMETE90AX00 Differenciálhatóság H607, EIC 2019-03-14 Wettl
RészletesebbenHéj / lemez hajlítási elméletek, felületi feszültségek / élerők és élnyomatékok
Héj / leme hajlítási elméletek felületi fesültségek / élerők és élnomatékok Tevékenség: Olvassa el a bekedést! Jegee meg a héj és a leme definícióját! Tanulja meg a superpoíció elvét és a membrán állapot
Részletesebben) (11.17) 11.2 Rácsos tartók párhuzamos övekkel
Rácsos arók párhuzamos övekkel Azér, hog a sabiliási eléelek haásá megvizsgáljuk, eg egszerű síkbeli, saikailag haározo, K- rácsozású aró vizsgálunk párhuzamos övekkel és hézagos csomóponokkal A rúdelemek
RészletesebbenHF1. Határozza meg az f t 5 2 ugyanabban a koordinátarendszerben. Mi a lehetséges legbővebb értelmezési tartománya és
Házi feladaok megoldása 0. nov. 6. HF. Haározza meg az f 5 ugyanabban a koordináarendszerben. Mi a leheséges legbővebb érelmezési arománya és érékkészlee az f és az f függvényeknek? ( ) = függvény inverzé.
RészletesebbenAz összetett hajlítás képleteiről
A össetett hajlítás képleteiről Beveetés A elemi silárdságtan ismereteit a tankönvek serői általában igekenek úg kifejteni, hog a kedő sámára se okoanak komolabb matematikai nehéségeket. A húásra / nomásra
RészletesebbenTöbbváltozós analízis gyakorlat, megoldások
Többváltozós analízis gakorlat, megoldások Általános iskolai matematikatanár szak 7/8. őszi félév. Differenciál- és integrálszámítás alkalmazásai. Határozzuk meg az alábbi differenciálegenletek összes,
RészletesebbenMechanika. II. előadás március 4. Mechanika II. előadás március 4. 1 / 31
Mechanika II. előadás 219. március 4. Mechanika II. előadás 219. március 4. 1 / 31 4. Merev test megtámasztásai, statikai feladatok megtámasztás: testek érintkezése útján jön létre, az érintkezés során
Részletesebben8. előadás Ultrarövid impulzusok mérése - autokorreláció
Ágazai Á felkészíés a hazai LI projekel összefüggő ő képzési é és KF feladaokra" " 8. előadás Ulrarövid impulzusok mérése - auokorreláció TÁMOP-4.1.1.C-1/1/KONV-1-5 projek 1 Bevezeés Jelen fejezeben áekinjük,
RészletesebbenA szilárdságtan 2D feladatainak az feladatok értelmezése
A silárdságtan D feladatainak a feladatok értelmeése Olvassa el a ekedést! Jegee meg a silárdságtan D feladatainak csoportosítását! A silárdságtan (rugalmasságtan) kétdimeniós vag kétméretű (D) feladatai
RészletesebbenA kúpszeletekről - V.
A kúpszeleekről - V. A kúpszeleekről szóló munkánk III. részének 10. ábrájá kiegészíve láhajuk az 1. ábrán. Mos ez alapján dolgozva állíunk fel összefüggéseke a kúpszeleek Dandelin - gömbös / körös vizsgálaának
RészletesebbenTöbbváltozós, valós értékű függvények
Többváltozós függvények Többváltozós, valós értékű függvények Többváltozós függvények Definíció: többváltozós függvények Azokat a függvényeket, melyeknek az értelmezési tartománya R n egy részhalmaza,
RészletesebbenMatematika. Kocsis Imre. TERC Kft. Budapest, 2013
Maemaika Maemaika Kocsis Imre ERC Kf Budapes, 3 Kocsis Imre, 3 Kézira lezárva: ISBN 978-963-9968-69- Kiadja a ERC Kereskedelmi és Szolgálaó Kf Szakkönyvkiadó Üzleága, az 795-ben alapío Magyar Könyvkiadók
RészletesebbenAlgoritmuselmélet. Katona Gyula Y. Számítástudományi és Információelméleti Tanszék Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem. 7.
Algorimuselméle Keresőfák, piros-fekee fák Kaona Gula Y. Sámíásudománi és Információelmélei Tansék Budapesi Műsaki és Gadaságudománi Egeem. előadás Kaona Gula Y. (BME SZIT) Algorimuselméle. előadás / Keresőfák
RészletesebbenProjektív ábrázoló geometria, centrálaxonometria
Projektív ábráoló geometria, centrálaonometria Ennél a leképeésnél a projektív teret seretnénk úg megjeleníteni eg képsíkon, hog a aonometrikus leképeést (paralel aonometriát) speciális esetként megkaphassuk.
RészletesebbenMechanika. III. előadás március 11. Mechanika III. előadás március / 30
Mechanika III. előadás 2019. március 11. Mechanika III. előadás 2019. március 11. 1 / 30 7. Serkeetek statikája 7.2. Rácsos serkeet hidak, daruk, távveeték tartó oslopok, stb. 3 kn C 4 m 2 4 8 5 3 7 1
RészletesebbenMatematika III előadás
Matematika III. - 2. előadás Vinczéné Varga Adrienn Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Előadáskövető fóliák Vinczéné Varga Adrienn (DE-MK) Matematika III. 2016/2017/I 1 / 23 paramétervonalak,
RészletesebbenEzért A ortogonális transzformációval diagonalizálható, vagyis létezik olyan S ortogonális transzformáció,
Kadaiku alakok A ( ) B( ) : V függén az B bilineái függénhez aozó kadaiku alaknak neezzük Minden kadaiku alak megadhaó a köekező fomában: T A ahol A zimmeiku mái é a kadaiku alak Miel A zimmeiku ezé a
RészletesebbenBevezetés. Vizsgálati módszerének vázlata: kísérleti. fizika. fizikai mennyiségek MEGFIGYELÉS, KÍSÉRLET. ellenőrzés összefüggések
Beeeés Fiik: só eredei görög lkjánk jelenése "ermése" kkor össes ermései jelenség isgálá jelenee Később isgálok köre sűkül: éleelen ermése jelenségei ngi minőség áloás nélkül uóbbi kémi "erülee" Ennek
RészletesebbenSZE, Doktori Iskola. Számítógépes grafikai algoritmusok. Összeállította: Dr. Gáspár Csaba. Térgörbék
SZE, Doori Isola. Számíógées graiai algorimso. Összeállíoa: Dr. Gásár Csaba Térgörbé Térgörbé megadása Görbüle és orzió Kísérő riéder meris deriválás Görbeilleszés: Bernsein-olinomo, Bézier-görbé Görbeilleszés:
RészletesebbenGyakorló feladatok a 2. zárthelyihez. Kidolgozott feladatok
Gakorló feladatok a. zárthelihez Kidolgozott feladatok. a) Határozzuk meg a függesztőrúd négzetkeresztmetszetének a oldalhosszát cm-re kerekítve úg, hog a függesztőrúdban ébredő normálfeszültség ne érje
RészletesebbenFeladatsor A differenciálgeometria alapja c. kurzus gyakorlatához
Feladatsor A differenciálgeometria alapja c. kurzus gyakorlatához Dr. Nagy Gábor, Geometria Tanszék 2010. szeptember 16. Görbék paraméterezése 1. feladat. (A) Bizonyítsuk be a vektoriális szorzatra vonatkozó
Részletesebben1/1. Házi feladat. 1. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy
/. Házi feladat. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy mindig igaz. (p (( p) q)) (( p) ( q)). Igazoljuk, hogy minden A, B és C halmazra A \ (B C) = (A \ B) (A \ C) teljesül.
Részletesebben2. Koordináta-transzformációk
Koordnáta-transformácók. Koordnáta-transformácók Geometra, sámítógép graka feladatok során gakran van arra sükség, hog eg alakatot eg ú koordnáta-rendserben, vag a elenleg koordnáta rendserben, de elmogatva,
Részletesebben= és a kínálati függvény pedig p = 60
GYAKORLÓ FELADATOK 1: PIACI MECHANIZMUS 1. Adja meg a keresleti és a kínálati függvének pontos definícióját! Mikor beszélhetünk piaci egensúlról?. Eg piacon a keresletet és a kínálatot a p = 140 0, 1q
Részletesebben7. Kétváltozós függvények
Matematika segédanag 7. Kétváltozós függvének 7.. Alapfogalmak Az A és B halmazok A B-vel jelölt Descartes-szorzatán azt a halmazt értjük, melnek elemei mindazon a, b) rendezett párok, amelekre a A és
RészletesebbenKvadratikus alakok gyakorlás.
Kvadratikus alakok gakorlás Kúpszeletek: Adott eg kvadratikus alak a következő formában: ax 2 + 2bx + c 2 + k 1 x + k 2 + d = 0, a, b, c, k 1, k 2, d R (1) Ezt felírhatjuk a x T A x + K x + d = 0 alakban,
RészletesebbenSzabadsugár. A fenti feltételekkel a folyadék áramlását leíró mozgásegyenlet és a kontinuitási egyenlet az alábbi egyszerű alakú: (1) .
Szabadsugár Tekintsük az alábbi ábrán látható b magasságú résből kiáramló U sebességű sugarat. A résből kiáramló és a függőleges fal melletti térben lévő foladék azonos. A rajz síkjára merőleges iránban
RészletesebbenTöbbváltozós, valós értékű függvények
TÖ Többváltozós, valós értékű függvények TÖ Definíció: többváltozós függvények Azokat a függvényeket, melyeknek az értelmezési tartománya R n egy részhalmaza, n változós függvényeknek nevezzük. TÖ Példák:.
RészletesebbenA képzetes számok az isteni szellem e gyönyörű és csodálatos hordozói már majdnem a lét és nemlét megtestesítői. (Carl Friedrich Gauss)
Gyakorló feladatok (Ép. matek). Komple számok: A képzetes számok az isteni szellem e gyönyörű és csodálatos hordozói már majdnem a lét és nemlét megtestesítői. (Carl Friedrich Gauss) ) Számítsa ki a következő
RészletesebbenKéplékenyalakítás elméleti alapjai. Feszültségi állapot. Dr. Krállics György
Képlékeyalakíás elmélei alapjai Feszülségi állapo Dr. Krállics György krallics@eik.bme.hu Az előadás sorá megismerjük: A érfogai és felülei erőke, a feszülség ezor. A feszülség ezor főérékei és főiráyai;
Részletesebben1. Lineáris transzformáció
Lineáris transzformáció Lineáris transzformáció mátrixának felírása eg adott bázisban: Emlékeztető: Legen B = {u,, u n } eg tetszőleges bázisa az R n -nek, Eg tetszőleges v R n vektor egértelműen felírható
RészletesebbenA talajok összenyomódásának vizsgálata
A talajok összenyomódásának vizsgálata Amit már tudni kellene Összenyomódás Konszolidáció Normálisan konszolidált talaj Túlkonszolidált talaj Túlkonszolidáltsági arányszám,ocr Konszolidáció az az időben
RészletesebbenFizika 1 Elektrodinamika beugró/kis kérdések
Fizika 1 Elektrodinamika beugró/kis kérdések 1.) Írja fel a 4 Maxwell-egyenletet lokális (differenciális) alakban! rot = j+ D rot = B div B=0 div D=ρ : elektromos térerősség : mágneses térerősség D : elektromos
RészletesebbenF.I.1. Vektorok és vektorműveletek
FI FÜGGELÉK: FI Vektorok és vektorműveletek MATEMATIKAI ÖSSZEFOGLALÓ Skláris menniség: oln geometrii vg fiiki menniség melet ngság (előjel) és mértékegség jelleme Vektor menniség: iránított geometrii vg
Részletesebbenl = 1 m c) Mekkora a megnyúlás, ha közben a rúd hőmérséklete ΔT = 30 C-kal megváltozik? (a lineáris hőtágulási együtható: α = 1, C -1 )
5. TIZTA HÚZÁ-NYOMÁ, PÉLDÁK I. 1. a) Határouk meg a függestőrúd négetkerestmetsetének a oldalhossát cm-re kerekítve úg, hog a függestőrúdban ébredő normálfesültség ne érje el a σ e = 180 MPa-t! 3 m 1 C
RészletesebbenMatematika A3 HÁZI FELADAT megoldások Vektoranalízis
Maemaika A HÁZI FELADAT megoldáok Vekoranalízi Nem mindenhol íram le a konkré megoldá. Ahol az jelenee volna, hogy félig én oldom meg a feladao a hallgaóág helye, o cak igen rövid megjegyzé alálnak A zh-ban
RészletesebbenKozák Imre Szeidl György FEJEZETEK A SZILÁRDSÁGTANBÓL
Koák Imre Seidl Görg FEJEZETEK SZILÁRDSÁGTNBÓL KÉZIRT 008 0 Tartalomjegék. fejeet. tenorsámítás elemei.. Beveető megjegések.. Függvének.3. másodrendű tenor fogalmának geometriai beveetése 5.4. Speciális
RészletesebbenÁRAMLÁSTAN ALAPJAI. minimum tételek szóbeli vizsgához. Powered by Beecy
ÁRAMLÁSTAN ALAPJAI minimum tételek sóbeli isgáho Powered b Beec Minimum tételek sóbeli isgáho 1. tétel. Írja fel a foltonossági tétel integrál alakját, és magaráa el, milen fiikai alapelet feje ki. Hogan
RészletesebbenSzilárdságtan. Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR
Miskolci Egetem GÉÉMÉRNÖKI É INORMTIKI KR ilárságtan (Oktatási segélet a Gépésmérnöki és Informatikai Kar sc leveleős hallgatói résére) Késítette: Nánori riges, irbik ánor Miskolc, 2008. Een kéirat a Gépésmérnöki
Részletesebben3D-s számíógépes geomeia és alakzaekonskció 3. Felülemeszések páhzamosan elol és lekeekíő felüleek hp://cg.ii.bme.h/poal/noe/3 hps://www.ik.bme.h/kepzes/agak/viiiav8 D. Váa Tamás D. ali Pée BME Villamosménöki
RészletesebbenVI. Deriválható függvények tulajdonságai
1 Deriválhtó függvének tuljdonsági VI Deriválhtó függvének tuljdonsági Ebben fejezetben zt vizsgáljuk, hog deriválhtó függvének esetén derivált milen összefüggésben vn függvén más tuljdonságivl, és hogn
RészletesebbenFizika A2E, 1. feladatsor
Fiika AE, 1. feladatsor Vida Görg Jósef vidagorg@gmail.com 1. feladat: Legen a = i + j + 3k, b = i 3j + k és c = i + j k. a Mekkora a a, b és c vektorok hossa? b Milen söget ár be egmással a és b? c Mekkora
Részletesebben3D-s számítógépes geometria
3D-s számíógépes geomeia 8. Felülemeszések páhzamosan elol és lekeekíő felüleek hp://cg.ii.bme.h/poal/noe/3 hps://www.ik.bme.h/kepzes/agak/viiiav D. Váa Tamás BME Villamosménöki és Infomaikai Ka Iáníásechnika
RészletesebbenTelítetlen közegben történő szivárgás és anyagtranszport numerikus vizsgálata. T OTKA kutatás szakmai zárójelentése
Telíelen köegben örénő sárgás és anagranspor nuerkus sgálaa T37667 OTKA kuaás saka áróelenése . A í poróus köegbel ogásának örénserűsége.. Eléle alapok a sárgás alapegenlee A hronaka oelleés során a íogás
RészletesebbenFelügyelt önálló tanulás - Analízis III.
Felügyelt önálló tanulás - Analízis III Kormos Máté Differenciálható sokaságok Sokaságok Röviden, sokaságoknak nevezzük azokat az objektumokat, amelyek egy n dimenziós térben lokálisan k dimenziósak Definíció:
Részletesebben1 1 y2 =lnec x. 1 y 2 = A x2, ahol A R tetsz. y =± 1 A x 2 (A R) y = 3 3 2x+1 dx. 1 y dy = ln y = 3 2 ln 2x+1 +C. y =A 2x+1 3/2. 1+y = x.
Mat. A3 9. feladatsor 06/7, első félév. Határozzuk meg az alábbi differenciálegenletek típusát (eplicit-e vag implicit, milen rendű, illetve fokú, homogén vag inhomogén)! a) 3 (tg) +ch = 0 b) = e ln c)
Részletesebben9. osztály 1.) Oldjuk meg a valós számhármasok halmazán a következő egyenletet!
HANCSÓK KÁLMÁN MEGYEI MAEMAIKAVERSENY MEZŐKÖVESD Sóeli feldto és megoldáso ostál ) Oldju meg vlós sámhármso hlmán öveteő egenletet! ( pont) A egenlet l oldlát átlíthtju öveteőéppen: A l oldl egi tgj sem
Részletesebbenforgási hiperboloid (két köpenyű) Határérték: Definíció (1): Az f ( x, y) függvénynek az ( x, y ) pontban a határértéke, ha minden
Kétváltozós függvéek Defiíció: f: R R vag z f(,) Szeléltetés:,,z koordiátaredszerbe felülettel Pl z + forgási paraboloid z R ( + ) félgöb z + + forgási iperboloid (két köpeű) z + forgási iperboloid (eg
RészletesebbenAz f ( xy, ) függvény y változó szerinti primitív függvénye G( x, f xydy= Gxy + C. Kétváltozós függvény integrálszámítása. Primitívfüggvény.
Tartalomjegyzék Kétváltozós függvény integrálszámítása... Primitívfüggvény... Kettősintegrál... A kettősintegrál téglalap tartományon... A kettősintegrál létezésének szükséges feltétele... 3 Illusztráció...
RészletesebbenMatematika II képletek. 1 sin xdx =, cos 2 x dx = sh 2 x dx = 1 + x 2 dx = 1 x. cos xdx =,
Matematika II előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Matematika II képletek Határozatlan Integrálszámítás x n dx =, sin 2 x dx = sin xdx =, ch 2 x dx = sin xdx =, sh 2 x dx = cos xdx =, + x 2
RészletesebbenSzámítási módszerek a fizikában 1. (BMETE90AF35) tárgy részletes tematikája
Számítási módszerek a fizikában 1. (BMETE90AF35) tárgy részletes tematikája Tasnádi Tamás 2014. szeptember 11. Kivonat A tárgy a BME Fizika BSc szak kötelező, alapozó tárgya a képzés 1. félévében. A tárgy
RészletesebbenMEREVSZÁRNYÚ REPÜLŐGÉPEK VEZÉRSÍK-RENDSZEREINEK KIALAKÍTÁSA 3 REPÜLŐKÉPESSÉG
Dr. Óvári Gula 1 - Dr. Urbán István 2 MEREVSZÁRNYÚ REPÜLŐGÉPEK VEZÉRSÍK-RENDSZEREINEK KILKÍTÁS 3 cikk(soroatban)ben a merev sárnú repülőgépek veérsík rendserinek terveését és építését követheti nomon lépésről
RészletesebbenLászló István, Fizika A2 (Budapest, 2013) Előadás
László István, Fizika A (Budapest, 13) 1 14.A Maxwell-egenletek. Az elektromágneses hullámok Tartalmi kiemelés 1.Maxwell általánosította Ampère törvénét bevezetve az eltolási áramot. szerint ha a térben
RészletesebbenÁ Ö É É É É Í Ü Ó ÜÓ Ő É ő ó Ü ó ő ü ö ó ö ü ő ü ő ö ő ő ú ö ó ü ú Ü ó ő ö ó ö ö ö ö ö ü ü ő úő ú ű ő ö ö ö ő ó ö ó ű ü ü ö ö ó ó ű ó ó ü ü ö ő ö ó ö ő ö ü ö ü ö ö ö ü ü ő ü ő ő ú ú ö ú ö ő ő ó ü ő ő ú
Részletesebbenhajlító nyomaték és a T nyíróerő között ugyanolyan összefüggés van, mint az egyenes rudaknál.
5 RÚDELADATOK 51 íkgörbe rudk Grhof 1 -féle elmélete íkgörbe rúd: rúd köépvonl ( ponti ál) íkgörbe e P n e t Jelöléek: A köépvonl mentén pontokt ívkoordinátávl onoítjuk Pl P pont A P pontbn (P pontho trtoó
RészletesebbenFizika A2E, 5. feladatsor
Fiika A2E, 5. feladatsor Vida György Jósef vidagyorgy@gmail.com. feladat: Mi a homogén E térer sség potenciálja? A potenciál deníciója: E(x,y, = U(x,y,, amely kifejtve a három komponensre: Utolsó módosítás:
RészletesebbenHangfrekvenciás mechanikai rezgések vizsgálata
Hangfrekvenciás mechanikai rezgések vizsgálata (Mérési jegyzőkönyv) Hagymási Imre 2007. május 7. (hétfő délelőtti csoport) 1. Bevezetés Ebben a mérésben a szilárdtestek rugalmas tulajdonságait vizsgáljuk
Részletesebbenö ő ö ö ő ő ő ő ö ú ő ü ü ő ő ő ő ö ö ő ö ő ü ő ö ő ő ö ö ö ő ü ö ő ő ő ő ő ö ő ő ő ő ő ő
ö ö ö ő ő ő ő ő ö ö ő ő ő ö ő ö ö ű ö ő ö ö ü ö ö ő ő ő ő ő ő ö ő ö ő ő ő ő ö ő ö ü ő ö ő ö ö ő ő ő ő ö ú ő ü ü ő ő ő ő ö ö ő ö ő ü ő ö ő ő ö ö ö ő ü ö ő ő ő ő ő ö ő ő ő ő ő ő ő ö ö ö ő ú ö ö ő ő ö ú ü
RészletesebbenMatematika I. Vektorok, egyenesek, síkok
Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Matematika I Vektorok, egyenesek, síkok a) Hogyan számítjuk ki az a = (a 1, a 2, a 3 ) és b = (b 1, b 2, b 3 ) vektorok szögét? a) Hogyan számítjuk
Részletesebbenű ú ú ű ú ú ú Ó ú ú ű ú ű ű ű ű ű Ó ű
ú ú ú ú Ü ú ú ű ú ú ú ú ú ú ű ú ú ű ű ű ű ú ú ű ú ú ú Ó ú ú ű ú ű ű ű ű ű Ó ű ű ű ú ú ú ú ű ú ú ú ű ú ű ű Ü ú ű ú ű ú Ú ű ű ú ű ű ű ű Ú Ó Ú Ó Ü Ő Ó Ú Ó ú Ó Ó Ó Ó ú Ó ű ú ú ú ú ú ű ű ű Ó ú ú ú Ú ű ú ú ú
Részletesebbenű Ü Ö Ú Ü Ü Ü ű ű Ü Ü ű Ö ű Ú Ú Ú Ó Ó Ó Ü ű Ü Ú ű Ű ű ű Ú Ú ű Ó Ú ű Ú ű ű űű ű ű ű Ú ű ű Ú ű Ü Ú Ú ű ű Ó Ú ű Ú ű ű Ü Ü ű ű Ü ű ű ű Ü Ü ű ű Ö ű Ü Ú Ú Ö Ó Ó Ö ű ű ű Ó ű ű ű Ó Ó Ö Ü Ú Ü Ó Ó Ú Ü Ü Ú Ü Ü
Részletesebbensin x = cos x =? sin x = dx =? dx = cos x =? g) Adja meg a helyettesítéses integrálás szabályát határozott integrálokra vonatkozóan!
Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Analízis II Határozatlan integrálszámítás g) t = tg x 2 helyettesítés esetén mivel egyenlő sin x = cos x =? g) t = tg x 2 helyettesítés esetén
RészletesebbenMásodfokú függvények
Másodfokú függvének Definíció: Azokat a valós számok halmazán értelmezett függvéneket, amelek hozzárendelési szabála f() = a + bc + c (a, b, c R, a ) alakú, másodfokú függvéneknek nevezzük. A másodfokú
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II.
KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA II 7 VII VEkTORANALÍZIS 1 ELmÉLETI ALAPOk Az u függvényt skalár-vektor függvénynek nevezzük, ha értelmezési tartománya a háromdimenziós tér vektorainak halmaza, a függvényértékek
Részletesebben