Geometriai Optika (sugároptika)

Átírás

1 Geometriai Optika (sugároptika) - Egyszerû optikai eszközök, ahogy már ismerjük õket - Mi van ha egymás után tesszük: leképezések egymásutánja (bonyolult) - Gyakorlatilag fontos eset: paraxiális közelítés (hengerszimmetrikus, tengelyközeli) - Sugármenet leírása: szög és tengelytõl való távolság - Tükör és törõfelület esete, linearitás - Általános eset: lineáris transzformáció, mátrixoptika - Az általános rendszer építõkövei: szabad terjedés, gömbtükör, gömb törõfelület - Vékony lencse, gömbtükör: fókusztávolság definíciója. k, t és f közötti összefüggés - Bonyolultabb eset: vastag lencse - Általános eset: fõsíkok megjelenése - Optikai eszközök (lupe, távcsõ, mikroszkóp), nagyítóképesség

2 Optikai eszközök Ha a rendszer minden releváns mérete sokkal nagyobb mint : geometriai optika, fénysugarak terjedése Cél: leképezés létrehozása, az egy pontból kiinduló sugarak összegyûjtése egy másik pontba Például: síktükör leképezése (virtuális kép, technikailag nem vetíthetõ ernyõre)

3 Gömbtükör leképezése Lencse leképezése A leképezés szerkeszthetõ, de (pl. több lencsére) bonyolult, pontatlan technika!

4 Mi a fentiekben a közös: hengerszimmetria, tengelyhez közeli... általánosan: Paraxiális (tengelyközeli) rendszerek hengerszimmetrikus leképezõ rendszerben tengelyhez közeli sugarakat vizsgálunk Ez utóbbi mit jelent: y tengelytõl való távolság kisebb mint bármilyen releváns fókusztávolság kicsik a sugarak szögei a tengelyhez képest ( <<1 ) (Ebben a közelítésben sin = tan = ) Amire hajtunk: egy fénysugarat meghatároz, hogy milyen messze van a tengelytõl (y), és mekkora a tengellyel bezárt szöge ( ). Hogy változnak ezek a paraméterek?

5 GÖMB ALAKÚ TÖÕFELÜLET paraxiális közelítésben: Gömbfelület dõlésszöge ( ) a magasság (y) függvényében: y Snellius-Descartes törvényt alkalmazva: n 1 n 2 ' Innen kapjuk: '= n 1 n 2 n 1 n 2 n 2 y (Megjegyzés: paraxiális közelítésben a tengelymenti koordináta z 0 marad, mert y<<. Hasonlóan, a tengelytõl való y távolság nem változik.

6 Visszaverõdés GÖMBTÜKÖrõl: A tükrözõdés miatt: = ' Innen kapjuk: '= 2 = 2/ y elõjelkonvenciója (!): >0 <0

7 Törõfelületek, tükrök között: SZABAD TEJEDÉS Ilyenkor csak y változik, a szög nem: Paraxiális közelítésben: y' = y d tan y d Mindegyik homogén LINEÁIS TANSZFOMÁCIÓ alakú, azaz a ható, 2x2-es mátrixokkal írható le! y vektorra Paraxiális leképezõ rendszerek építõkövei tehát: SZABAD GÖMBFELÜLETEN GÖMBFELÜLETÕL TEJEDÉS TÖÉS VISSZAVEÕDÉS 1 d n 1 2 n 2 1 n 1 n 2 n 2

8 ,,Mátrixoptika A paraxiális optikai rendszert az elemi építõkövekbõl összerakjuk: A fénysugarat követve, szorozzuk a mátrixokat (balról), és megkapjuk a teljes rendszert leíró mátrixot (mindig a fénysugarat kövessük hisz meg is fordulhat!) Leképezés fogalmai (lesz még más is): Fókuszpont: minden párhuzamos fénysugarat egy pontba gyûjtünk, azaz amikor y-tól függetlenül valahol az y'=0 lesz. Egy pont leképezése egy másik pontba: a pontból kiinduló összes fenysugarat -tól függetlenül összegyûjtjük egy másik pontba

9 Gömbtükör fókuszáig a leképezõ mátrix: = 1 M 1 d 1 0 = 1 2 d 1 d y 1 2d y Hattassuk ezt az vektorra ( =0): 2 y y-tól függetlenül y'=0, ha d=-/2, tehát a gömbtükör fókusztávolsága f = -/2 (az ábrán most <0) Gömbtükör leképezési törvényei: tárgytól képig a leképezõ mátrix Leképezés, ha y' független -tól: M 12 =0 t 1 2k = 1 M 1 k t = 1 2k azaz k=0 1 t 1 k = 1 f t 1 2 k k f = 2 1 2t

10 Vékony lencse leképezési törvényei Bal oldali törõfelület mátrixa: n 1 n 1 n Elõjelkonvenció! 1 >0 és 2 <0 Jobb oldali törõfelület mátrixa: Lencse mátrixa innen (olyan alakú, mint a gömbtükör!): n 1 0 n n Fókusztávolság: (a leképezési törvény itt is igaz: 1/k+1/t=1/f ) 1 f = n Szórólencsére nyilván 1 <0 és 2 >0 A fókuszáló képesség mértéke a dioptria, D=1/f [1/m]

11 Összetett optikai rendszerek Az eddigiek alapján, nincs nehéz dolgunk: szorozni kell a mátrixokat. 1 1 = 1 Pl. két vékony lencse egymáshoz nagyon közel: f 1 f 2 f 1 f 2 A közös fókusztávolság tehát 1 f = 1 f 1 1 f 2 azaz a dioptriák összeadódnak. Vastag lencse: = 1 0 n M n 1 1 d 1 0 n 1 n 1 = 2 n 1 1 d n 1 d n M 1 n n 1 d n n 2 2 n 1 1 bonyolódik... itt mi lesz a fókusztávolság, mi a leképezés törvénye? d n 1 n 2

12 = M a c b d Általános leképezés... ezzel az a baj, hogy túl tetszõleges az, hogy hol a rendszer eleje és hol a vége. Próbáljuk eltolni, hogy,,jó alakja legyen! k 0 -ra és t 0 -ra az ügyes választás: M '= 1 k a b c d 1 t t 0 = 1 c det M d k 0 = 1 c 1 a Házi feladat: helyettesítsünk be, és bizonyítsuk, hogy ekkor M' alakja az alábbi: M '= 1 0 c det M ez már nagyon egyszerû! Láttuk a vékony lencse és a gömbtükör esetében (ilyen alakúak voltak!): f = 1 c

13 k 0 és t 0 jelentése: FÕSÍKOK helyét kódolja (ennyivel kellett eltolni az eredetit) A kép- és tárgytávolságot a fõsíkoktól kell mérni, innen igaz lesz, hogy 1 t 1 k = 1 f Ha a két oldalon a törésmutatók megegyeznek, detm = 1. Ekkor a két oldalon a fókusztávolságok is megegyeznek. Vastag lencse esete: k 0 = f d n 1 1 n 1 f = n d n n 1 2 t 0 = f d n 1 2 n (lencsekészítõk alapképlete) (k 0, t 0 negatívak! Azaz,mindkét fõsík a lencsén belül van)

14 Képszerkesztés általános esetben Láttuk, hogy minden optikai rendszer leírható fókusztávolsággal és fõsíkokkal! A képszerkesztés annyiban változik, hogy most a fõsíkoktól kell mérni a fókusztávolságot, a nevezetes sugármenetek közül a középen áthaladó nem használható.

15 A legáltalánosabb esetben ha a két oldalon nem azonos a törésmutató, akkor az alapképletek szerint detm = n 1 / n 2, a két oldalon nem egyeznek meg a fókusztávolságok (ahol nagyobb n, ott f is annyiszor nagyobb) A leképezési törvény így alakul ekkor: n 1 n 2 1 t 1 k = 1 f ahol f = -1/c szokás szerint, és t oldalán n 1, k oldalán n 2 a törésmutató

16 Tipikus optikai eszközök Vetítõgép, mikroszkóp objektívje: Nagyítóüveg: Távcsõ: Mikroszkóp: valódi, erõsen nagyított kép virtuális, nagyított kép konfokális rendszer, végtelen távoli képet felnagyít és végtelenbe képez két lencse nagyított képet alkot a végtelenben (néha valós kép)