Oktatási Hivatal FIZIKA. I. kategória. A 2017/2018. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2. forduló. Javítási-értékelési útmutató

Átírás

1 Oktatási Hivatal A 017/018. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny. forduló FIZIKA I. kategória Javítási-értékelési útmutató A versenyz k gyelmét felhívjuk arra, hogy áttekinthet en és olvashatóan dolgozzanak. Amennyiben áttekinthetetlen és olvashatatlan részek vannak a dolgozatban, azok az értékelés szempontjából gyelmen kívül maradnak. 1. feladat Egy vékony, homogén anyageloszlású, l hosszúságú, m tömeg rudat egyik végén csukló segítségével függesszünk fel. A rudat az ábrán látható módon térítsük ki vízszintes helyzetig, majd lökésmentesen engedjük el. a) Mekkora ϕ szöget zár be a rúd a vízszintessel, amikor tömegközéppontjának ered gyorsulása éppen vízszintes? Mekkora ez a gyorsulás? Mekkora er vel hat a súrlódásmentes csukló a rúd végére ebben a helyzetben? Mekkora α szöget zár be a vízszintessel a csuklóer ebben a pillanatban? Általánosítsuk a problémát a következ módon: Tetsz leges anyageloszlású, vékony, lapos merev test forogjon rögzített, vízszintes tengely körül, amely mer leges a lapos test síkjára. A test tömege legyen m, tehetetlenségi nyomatéka az adott forgástengelyre nézve Θ, továbbá a forgástengely és a tömegközéppont távolsága legyen s. A kezd pillanatban térítsük ki a testet úgy, hogy az s szakasz vízszintes legyen, majd engedjük el a testet, amely így függ leges síkú forgómozgásba kezd. b) Mekkora ϕ szöget zár be az s szakasz a vízszintessel, amikor a test tömegközéppontjának ered gyorsulása éppen vízszintes? Mekkora ez a gyorsulás? Mekkora OKTV 017/018. forduló

2 er vel hat a súrlódásmentes tengely a testre ebben a helyzetben? Mekkora α szöget zár be a vízszintessel a tengely által kifejtett er ebben a pillanatban? c) Milyen tömegeloszlású legyen a test, hogy az α szög megegyezzen a ϕ szöggel, amikor a test tömegközéppontjának gyorsulása vízszintes? Keressünk olyan rendszert, amelyre megvalósul ez a feltétel! Megoldás a) A rúd tömegközéppontjának ered gyorsulása a centripetális gyorsulás és az érint leges gyorsulás vektori összege. A sugárirányú centripetális gyorsulást (a cp = ω r) az energiamegmaradás segítségével határozhatjuk meg: mg l sin ϕ = 1 Θ rúdω = ml ω, ahol kihasználtuk, hogy a rúd végpontjára nézve a tehetetlenségi nyomaték Θ rúd = 1 3 ml. Egyszer sítések után lω = 3g sin ϕ eredményre jutunk, majd kihasználva, hogy r = l/, megkapjuk a tömegközéppont centripetális gyorsulását: a cp = ω r = 3 g sin ϕ. Az érint leges (tangenciális) gyorsulást (a t = rβ = l β) a nehézségi er csuklóra vett forgatónyomatékából számíthatjuk ki: mg l cos ϕ = Θ rúdβ = 1 3 ml β, amib l a tangenciális gyorsulás: a t = 3 g cos ϕ. 4 OKTV 017/018. forduló

3 Az ábra alapján láthatjuk, hogy a vízszintes a gyorsulást a centripetális gyorsulásból is kifejezhetjük (a = a cp /cos ϕ), és hasonló módon a tangenciális gyorsulásból is megkaphatjuk (a = a t /sin ϕ): a = 3 g sin ϕ cos ϕ = 3 4 g cos ϕ sin ϕ. Egyszer sítések és átrendezések után a következ összefüggést kapjuk a ϕ szögre: tg ϕ = 1 tg ϕ = 1, amib l ϕ 35,3. Ezt visszahelyettesítve, a tömegközéppont vízszintes ered gyorsulásának a nagysága: a = 3 4 g 1,06g. A rúdra ható ma ered er vízszintes. Mivel a nehézségi er függ leges, ezért a csuklóer vízszintes összetev je K x = ma nagyságú, függ leges összetev je pedig a nehézségi er t kompenzálja: K y = mg. Így a csuklóer nagysága: K = 17 Kx + Ky = mg 1,46mg. A csuklóer irányát a vízszintessel bezárt szög tangenseként határozhatjuk meg: tg α = K y = K x 3, amib l α 43,3. b) Az általános esetet a rúdhoz teljesen hasonlóan oldhatjuk meg. Az energiamegmaradás alapján amib l mgs sin ϕ = 1 Θω, a cp = ω s = mgs sin ϕ. Θ A nehézségi er forgatónyomatéka alapján amib l mgs cos ϕ = Θβ, a t = sβ = mgs cos ϕ. Θ A vízszintes ered gyorsulást most is kétféleképpen számíthatjuk ki: a = a cp cos ϕ = a t sin ϕ = mgs sin ϕ Θ cos ϕ = mgs cos ϕ Θ, sin ϕ OKTV 017/ forduló

4 amib l tg ϕ = 1 tg ϕ = 1, vagyis az általános esetre is ugyanazt a szöget kapjuk: ϕ 35,3. Ennek megfelel en a tömegközéppont gyorsulásának nagysága: a = mgs Θ, ami függ a test adataitól. Megint elmondhatjuk, hogy a tengely által kifejtett er nek a vízszintes összetev je K x = ma, míg a függ leges összetev most is K y = mg. A tengely által kifejtett teljes er nagyságát is az el z höz hasonlóan adhatjuk meg: K = m s Kx + Ky = mg Θ Ugyanígy a tengely által a testre kifejtett er nek a vízszintessel bezárt szögét a legegyszer bb módon tangens függvénnyel határozhatjuk meg: tg α = K y K x = Θ ms. c) Az el z ekb l látszik, hogy akkor egyezik meg a ϕ szög az α szöggel, ha Θ = ms. Ez csak akkor következhet be, ha a lapos test teljes tömege a tömegközéppontjában van koncentrálódva. Ezt a Steiner-tétel alapján láthatjuk be, hiszen akkor lesz a tömegközépponttól s távolságra lév, párhuzamos tengelyre a tehetetlenségi nyomaték Θ = ms, ha a tömegközépponton átmen tengelyre Θ Tkp = 0. Ez az eset például a fonálingára teljesül, vagy ehhez hasonlóan olyan tömegpontra, amely könny, vékony rúddal van a tengelyhez rögzítve. Megjegyzés: Annak magyarázatát, hogy miért független a ϕ szög a test alakjától, a zikai inga redukált hosszának bevezetésével adhatjuk meg. Minden zikai ingához találhatunk egy olyan redukált hosszat (l red = Θ ), hogy ha a zikai ingát összehasonlítjuk az l red hosszú fonálingával, akkor ezek azonos rezgésid vel mozognak. Megmu- ms tatható az is, hogy nemcsak kis szögek esetén, hanem tetsz legesen nagy szög kezdeti kitérések esetén is (ezek akár 90 -os kitérések is lehetnek) az egyszerre elindított zikai inga és a redukált hosszú fonálinga együtt fog lengeni. Fonálinga vagy súlytalan rúd végén lév tömegpont esetén természetes, hogy a ϕ szög megegyezik az α szöggel, hiszen a felfüggesztés csak fonálirányú vagy rúdirányú er t képes kifejteni.. feladat Az ábrán látható módon, egy jól záró, rögzített dugattyúra ráhelyezünk egy függ leges tengely, alul nyitott hengert. A henger keresztmetszete A = 0,01 m, magassága h = 0,6 m. Amikor a henger nyugalomban van, a dugattyú fels oldala a henger magasságának alsó egytizedénél van. A küls légnyomás p 0 = 10 5 Pa. OKTV 017/ forduló

5 a) Mekkora a henger tömege? A hengert lassan, egyenletesen x = 0, m-rel lejjebb húzzuk, majd elengedjük. b) Mekkora er t kell a hengerre kifejteni az elengedés el tt? c) Mekkora sebességgel hagyja el a henger a dugattyút? d) Mennyivel változott az elzárt leveg bels energiája a henger kilövése során? Megoldás a) Miközben a hengert lassan ráhúzzuk a dugattyúra, az elzárt gáz mennyisége, h mérséklete nem változik, a gáz kezdeti V = Ah térfogata a kilenctizedére csökken. Az izotermikus állapotváltozásra alkalmazzuk a BoyleMariotte-törvényt. Ebb l a henger nyugalmi helyzetében az elzárt gáz nyomása: p 0 V = p V p 1 = 10 9 p 0 = 1, Pa. A nyugalomban lév hengerre ható er k ered je nulla (g = 9,81 m/s ): mg + p 0 A p 1 A = 0, m = (p 1 p 0 )A g = 11,3 kg. b) A Boyle Mariotte-törvény segítségével az új állapothoz tartozó nyomást kiszámolhatjuk: ( 9 p 0 V = p 10 1 ) V p = p 0 = 1, Pa. Az újabb egyensúlyi helyzetre ismét használjuk, hogy az er k ered je nulla: mg + F + p 0 A p A = 0, F = (p p 0 ) A mg = 654 N. OKTV 017/ forduló

6 c) El ször határozzuk meg az elzárt gáz nyomását, amikor a henger alja eléri a dugattyú fels peremét. A folyamat a gyorsasága miatt adiabatikusnak tekinthet. Alkalmazzuk az adiabata-egyenletet: ( ) 7 ( 17 p 30 V 5 = p3 V p 3 = 30 Alkalmazzuk a hengerre a munkatételt: W = Ekin, ) 7 ( ) p = p0 0,797p 0 = 0, Pa. 30 p V p 3 V 3 κ 1 W gáz + W légkör + W grav = 1 mv, + p 0 (V V 3 ) + mg V V 3 A = 1 mv, ahol V = 17V 30, V 3 = V. Innen a sebesség: ( p V p 3 V 3 v = + p 0 (V V 3 ) + mg V ) V 3 1,7 m m κ 1 A s. d) Alkalmazzuk az I. f tételt! Mivel a folyamat adiabatikus, azért Q = 0, tehát a bels energia változása: E b = Q + W = W = W gáz = p V p 3 V 3 κ 1 = 305 J. Megjegyzés: A gáz bels energia-csökkenése ( 305 J) f ként a küls leveg nyomásával szembeni munkát fedezi (60 J), továbbá a henger helyzeti energiáját növeli (8,8 J), és csak igen kevéssé szolgáltatja a henger mozgási energiáját ( 16, J). Ez látszólag azt mutatja, hogy ez a szerkezet igen gyenge hatásfokú termopuska. Azonban ha kiszámítjuk, hogy mekkora munkával tudjuk a hengert lenyomni (55,4 J), akkor már nem is olyan rossz a hatásfok. Érdekes még azt is észrevenni, hogy a számítási eredményeink függetlenek a leveg h mérsékletét l, az adatokból csak a leveg mólszámának az abszolút h mérséklettel vett szorzata határozható meg. 3. feladat Függ leges irányú, homogén mágneses térben függ leges helyzet, nagy kiterjedés szigetel síklapot mozgatunk a síklapra mer leges, állandó, v 0 nagyságú sebességgel. A mozgó síklap el tt kis méret, egyenletesen töltött, téglatest alakú testet mozgatunk a lapra mer leges irányú, szintén v 0 sebességgel. Mindeközben a kis test síklap fel li határolólapja a síklappal párhuzamos, és azzal gyakorlatilag összeér (lásd az ábrát). Adott pillanatban a kis testet elengedjük. Az elengedés utáni pillanatban a test a vízszintessel 45 -os szöget bezáró irányban kezd mozogni a síklapon. Fejezzük ki v 0 segítségével a kis test laborrendszerbeli sebességének nagyságát hosszú id után! A lap és a test közötti súrlódási együttható értéke µ = 0,5. OKTV 017/ forduló

7 Megoldás Mindenekel tt megállapítjuk, hogy nem kell megadnunk, hogy a függ leges irányú mágneses tér felfelé vagy lefelé irányul, illetve a töltés el jelét sem kell ismerni. A végeredmény független ezek megválasztásától. Tételezzünk fel felfelé irányuló mágneses indukcióvektort, illetve pozitív töltést. Attól sem kell megijednünk, hogy sem a töltés, sem a tömeg, sem a mágneses indukció nagyságának értéke sincs megadva. A test síklaphoz képesti indulási iránya fog ezen mennyiségek között kapcsolatot teremteni. A végeredményt v 0 egységekben várjuk, felhasználva µ numerikus értékét. Az elengedés pillanatában az er ket az (a) ábrán láthatjuk. Mivel a szöveg szerint a vízszinteshez képest 45 -os szögben indul a test az mg = qv 0 B (1) összefüggésnek kell teljesülni. Indulás után kis id vel a test y és z irányban azonos sebességre tesz szert. Ez annyit jelent, hogy a relatív sebességgel ellentétes irányú súrlódási er szintén 45 -os szöget zár be a vízszintessel. Ez továbbra is igaz lesz, ezért OKTV 017/ forduló

8 a test ezen egyenes pályán mozog végig. A súrlódási er iránya állandó, de nagysága változik a változó kényszerer miatt. De célunk nem a mozgás dinamikai leírása, elég csupán a végállapotra megállapításokat tenni. A végállapotbeli sebességkomponensekhez és er komponensekhez tekintsük a (b) és a (c) ábrákat. A végállapotban az er k ered je zérus. Az x, y és z komponensekre rendre igaz: A súrlódási er nagyságára igaz, hogy N qv y B = 0, () qv 0 B S y = 0, (3) mg S z = 0. (4) S y + S z = µn. (5) Az (1) - (5) egyenleteket, illetve x irányra a sebességkényszert felhasználva a végállapotbeli sebességkomponensekre adódik. A végsebesség nagyságára pedig v x = v 0, (6) v y = v 0 µ, (7) v z = v 0 µ (8) v = v x + v y + v z = v µ = 17v 0 (9) adódik. OKTV 017/ forduló

9 Értékelési útmutató 1. feladat a) A ϕ szög értéke: A vízszintes gyorsulás értéke: A csuklóer értéke: Az α szög értéke: b) A ϕ szög értéke: A vízszintes gyorsulás értéke: A tengely által kifejtett er értéke: Az α szög értéke: c) Tömegeloszlás feltételének megadása: A feltételt teljesít rendszer(ek) megadása: Összesen:. feladat a) Az elzárt gáz nyomásának meghatározása a Boyle Mariotte-törvény segítségével: A henger tömegének meghatározása: b) Az új állapothoz tartozó nyomás kiszámolása a Boyle Mariotte-törvény segítségével: A szükséges er kiszámolása az egyensúlyi helyzet vizsgálatával: c) Az új állapot nyomásának kiszámolása az adiabata egyenletének segítségével: A sebesesség meghatározása a munkatétellel: 0 pont 4 pont 6 pont d) A bels energia megváltozásának kiszámolása: Összesen: 0 pont 3. feladat A szöveg szerinti indulás feltételének megfogalmazása er kkel, azaz kapcsolat az m, g, q, v 0, B paraméterek között: Annak felismerése, hogy a test egyenes pályán mozog: A sebesség- és a Lorentz-er komponensek kapcsolatának megállapítása: Az er egyensúly megfogalmazása x, y és z irányra: A kényszerer és a súrlódási er (komponensek) kapcsolata: A lapra mer leges irányban a sebességkényszer megállapítása: A helyes sebesség meghatározása: Összesen: 3 3 pont 1 pont 0 pont A megoldásban vázoltaktól eltér számításokra, amelyek elvileg helyesek és helyes végeredményre vezetnek, az alkérdésekre adható teljes pontszám jár. OKTV 017/ forduló