KIDOLGOZÁSA - INFORMATIKAI MATEMATIKA SZAK -
|
|
- Artúr Jónás
- 5 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 ANALITIKUS MÉRTANBÓL KITŰZÖTT ÁLLAMVIZSGA TÉTELEK KIDOLGOZÁSA - INFORMATIKAI MATEMATIKA SZAK - Trtlomjegyzék 1. Anlitikus mértn síkbn 1.1. Síkbeli egyenesek egyenletei Descrtes-féle koordinát rendszerhez viszonyítv Egy pont és egy vektor áltl meghtározott egyenes egyenlete Két különböző pont áltl meghtározott egyenes egyenlete Egyenes tengelymetszetes lkj Két síkbeli egyenes szöge Párhuzmos és merőleges egyenesek Párhuzmos egyenesek Merőleges egyenesek Pont távolság egyenestől (síkbn) Kúpszeletek Kör Ellipszis Hiperbol Prbol Kitűzött feldtok 15
2 1. Anlitikus mértn síkbn 1.1. Síkbeli egyenesek egyenletei Descrtes-féle koordinát rendszerhez viszonyítv Legyen R = {O, e 1, e } egy ffin koordinát-rendszer síkbn Egy pont és egy vektor áltl meghtározott egyenes egyenlete Legyen A( 0, y 0 ) egy rögzített pont síkbn és d(p, q) pedig egy rögzített vektor. Ekkor levezethetjük z A ponton áthldó d irányvektorú e egyenes vektoriális egyenletét teljesen hsonlón, mint térbeli egyenes esetén és itt is kpjuk z egyenes egyenletének, hogy e : r M = r A + λ d, λ R, (1) hol M(, y) egy tetszőleges pont z e egyenesen. Behelyettesítve z r M, r A, d vektorok koordinátáit, kpjuk z e (síkbeli) egyenes prméteres egyenleteit: { = 0 + λp () y = y 0 + λq λ R. Kifejezzük fenti egyenletrendszer mindkét egyenletéből λ-t és egyenlővé tésszük egymássl. z e (síkbeli) egyenes knonikus egyenletéhez: Így jutunk 0 p = y y 0 q (3) 1.1. Megjegyzés. Konvenció szerint, h z egyik tört nevezője null, kkor számláló is null. 1 Péld. H z e egyenes egyenlete: = y 3, kkor ez ekvivlens zzl, hogy e : y 3 = 0, vgyis 0 z e párhuzmos z O tengellyel. H z e egyenes nem párhuzmos z Oy tengellyel (vgyis p 0), kkor z e bármely irányvektor esetén q = m rány állndó. Ezt z rányt z e egyenes iránytényezőjének nevezzük. p H z R Descrtes-féle koordinát-rendszer (vgyis derékszögű), kkor hol α z e egyenesnek z O tengellyel bezárt szöge. m = tg α, (4) y O d(p, q) } q α }{{} p e 1. ábr. H (3) összefüggést beszorozzuk q-vl, kpjuk, hogy y y 0 = q p ( 0). (5) Tehát, z dott A( 0, y 0 ) ponton áthldó és dott m iránytényezőjű egyenes egyenlete y y 0 = m( 0 ). (6)
3 1.1.. Két különböző pont áltl meghtározott egyenes egyenlete Legyen M 1 ( 1, y 1 ) és M (, y ) két rögzített pont síkbn. Ekkor z M 1 és M pontokon áthldó egyenes irányvektor M 1 M ( 1, y y 1 ), tehát z M 1 M egyenes knonikus egyenlete: 1 1 = y y 1 y y 1, (7) melyet még átírhtunk következő könnyebben megjegyezhető lkb: y 1 1 y 1 1 = 0. (8) y Egyenes tengelymetszetes lkj H z egyenes koordinát-tengelyeket z A(, 0) és B(0, b) pontokbn metszi, kkor egyenlete: + y b = Megjegyzés. Az M 1 M nem függőleges egyenes iránytényezője: 1.. Két síkbeli egyenes szöge I. módszer. Legyen m M1 M = y y 1 1. d 1 : 1 + b 1 y + c 1 = 0, d : + b y + c = 0 két áltlános egyenlettel megdott egyenes z Oy síkbn. Ezt z két egyenletet átírv knonikus lkr: d 1 : = y + c1 b 1, d : = y + c b kpjuk két egyenes irányvektorát: d1 ( b 1, 1 ) illetve d b 1 1 b ( b, ). Felhsználv (??) összefüggést, kpjuk, hogy cos( d 1, d ) = 1 + b 1 b 1 + b 1 + b (9) II. módszer. Legyen d 1 : y = m 1 + n 1, d : y = m + n két eplicit egyenlettel megdott egyenes z Oy síkbn. Ekkor m 1 = tgα 1 és m = tgα, hol α 1 és α két egyenesnek z O tengellyel bezárt hjlásszögét jelölik (lásd ábr). y d 1 d O α φ α1. ábr. Két egyenes szöge Beláthtó, hogy h φ-vel jelöljük d 1 és d egyenesek szögét, kkor φ = α 1 α. Tehát tgφ = tg(α 1 α ) = tgα 1 tgα 1 + tgα 1 tgα = m 1 m 1 + m 1 m. (10)
4 H felcseréljük z m 1 és m sorrendjét, kkor kiegészítő szög mértékét fogjuk megkpni. Mivel két egyenes szögén mindig hegyesszöget értjük és tudjuk, hogy ennek tngense pozitív, két síkbeli egyenes szögére levezetett összefüggést következő lkbn hsználjuk: 1.3. Párhuzmos és merőleges egyenesek Párhuzmos egyenesek tg( d 1, d ) = m 1 m 1 + m 1 m. (11) Két párhuzmos egyenes irány megegyezik és ezáltl iránytényezőjük is egyenlő, vgyis: d 1 d m 1 = m. (1) 1.3. Megjegyzés. A fenti összefüggés onnn is következik, hogy Két egyenes kkor és cskis kkor párhuzmos, h bezárt szögük 0, mi ekvivlens zzl (11) összefüggés lpján, hogy iránytényezőik megegyeznek Merőleges egyenesek 1.4. Megjegyzés. Legyen d 1, d két egymásr merőleges egyenes. Ekkor irányvektorik d 1 (p 1, q 1 ) és d (p, q ) szintén merőlegesek egymásr, ezért skláris szorztuk null. Tehát p 1 p + q 1 q = 0. Feltételezve, hogy egyik egyenes sem párhuzmos z Oy tengellyel, végigoszthjtuk ezt z egyenletet p 1 p -vel és felhsználv z iránytényező értelmezését, kpjuk, hogy d 1 d m 1 m = 1. (13) 1.5. Megjegyzés. 1. A (13) összefüggés másként is levezethető. Ay (11) összefüggés jobboldlánk nincs értelme bbn z esetben, h m 1 m = 1. Ez zt jelenti, hogy értelmetlen tg( d 1, d ), vgyis d 1 és d egyenesek szöge Pont távolság egyenestől (síkbn) Legyen e : + by + c = 0 egy egyenes z Oy síkbn és M 0 ( 0, y 0 ) egy pont síkbn. Az M 0 pont távolságán z e egyenestől z [M 0 M 1 ] szksz hosszát értjük, hol M 1 z M 0 pont e egyenesre eső vetülete. M 0 e M 1 3. ábr. Az M 0 pont távolság z e egyenestől: M 0 M 1. Felírjuk z M 0 ponton áthldó és z e egyenesre merőleges M 0 M 1 egyenes egyenletét: M 0 M 1 : y y 0 = 1 m e ( 0 ), hol m e = b z e egyenes iránytényezője. Az M 1 pont ( 1, y 1 ) koordinátáit megkpjuk z e és M 0 M 1 egyenesek egyenleteiből lkotott { b( 0 ) = (y y 0 ) + by + cz = 0 egyenletrendszer megoldásként: 1 = by 0 + c + b y 1 = y 0 b 0 + by 0 + c + b.
5 Kiszámítv [M 0 M 1 ] szksz hosszát, kpjuk, z M 0 pont távolságát z e egyenestől: d(m 0, e) = 0 + by 0 + c + b. (14) Alklmzás. Szögfelezők egyenletei (síkbn). Legyen d 1 : 1 + b 1 y + c 1 z = 0, d : + b y + c z = 0 két metsző egyenes síkbn. Célunk meghtározni két egyenes áltl lkotott szög (belső és külső) szögfelezőinek egyenleteit. Tudjuk, hogy szögfelező zon pontok mértni helye, melyeknek távolság szög két szárától megegyezik. Legyen M(, y) egy tetszőleges pont síkbn. Ez pont kkor és cskis kkor lesz d 1 és d egyenesek szögfelezőjén, h d(m, d 1 ) = d(m, d ), vgyis 1 + b 1 y + c b 1 = + b y + c. + b Így két szögfelező egyenlete: 1 + b 1 y + c b 1 = ± + b y + c. (15) + b 1.5. Kúpszeletek Kör Legyen M 0 egy rögzített pont P síkbn és legyen r > 0 egy rögzített szám Értelmezés. Az M 0 középpontú és r sugrú C kör zon M pontok mértni helye síkból, melyeknek z M 0 ponttól vett távolság állndó és egyenlő r-rel, vgyis Legyen Oy egy Descrtes-féle koordinát-rendszer. C(M 0, r) = {M P : MM 0 = r.} (16) 1.1. Tétel. Az M(, y) pont kkor és cskis kkor vn z M 0 ( 0, y 0 ) középpontú, r sugrú körön, h ( 0 ) + (y y 0 ) = r. (17) Bizonyítás. Az M pont kkor és cskis kkor vn z M 0 középpontú r sugrú körön, h MM 0 = r, vgyis ( 0 ) + (y y 0 ) = r ( 0 ) + (y y 0 ) = r. Tehát z M 0 ( 0, y 0 ) középpontú, r sugrú kör implicit egyenlete: C : ( 0 ) + (y y 0 ) = r. 1.. Tétel. Az ( 0 ) +(y y 0 ) = r egyenletű kör M 1 ( 1, y 1 ) pontjábn szerkesztett érintő egyenlete: ( 0 )( 1 0 ) + (y y 0 )(y 1 y 0 ) = r, (18) melyet még kör duplázott egyenletének is nevezünk z M 1 ( 1, y 1 ) pontbn. Bizonyítás. Tudjuk, hogy kör M 1 pontjáb szerkesztett érintő merőleges z M 1 ponton áthldó átmérőre. Felírjuk először z átmérő egyenletét: M 1 M 0 : = y y 1 y 0 y 1 mjd z erre merőleges (érintő) egyenletét, felhsználv, hogy mérintő = 1 m M1 M 0 = 0 1 y 0 y 1. Tehát z érintő egyenlete: y y 1 = 0 1 y 0 y 1 ( 1 ).
6 T M 1 ( 1, y 1 ) M 0 4. ábr. Kör érintője és normális. ( )( 1 ) (y 0 y 1 )(y y 1 ) = 0 (19) Mivel z M 1 pont rjt vn C körön, kielégíti nnk egyenletét: Összedv (19) és (0) egyenleteket kpjuk, hogy ( 1 0 ) + (y 1 y 0 ) = r. (0) (y y 0 )(y 1 y 0 ) + ( 0 )( 1 0 ) = r. (1) 1.. Értelmezés. A kör M 1 pontjáb szerkesztett normálisán zt z egyenest értjük, mely áthld z M 1 ponton és merőleges z M 1 pontb szerkesztett körérintőre. Kör esetén egy M 1 pontb szerkesztett normális megegyezik z M 1 ponton áthldó átmérővel. Tehát egyenlete: 1 M 1 M 0 : = y y y 0 y Megjegyzés. Kör érintőjének egyenletét meghtározhtjuk felhsználv z nlízisből jólismert eredményt is: Legyen f : I R egy deriválhtó függvény, I R nyílt intervllum. A függvény grfikus képéhez z M( 1, f( 1 ) = y 1 ) pontbn szerkesztett érintő egyenlete: y y 1 = f ( 1 )( 1 ). Kör esetén: y = f() = y 0 ± r ( 0 ), hol z előjelet pozitívnk válsztjuk, h M pont kör felső körívén tlálhtó és negtívnk ellenkező esetben Ellipszis 1.3. Értelmezés. Azon pontok mértni helyét síkból, melyeknek két rögzített ponttól mért távolságuk összege állndó, ellipszisnek nevezzük. Legyen c > 0 és F, F két rögzített pont síkbn úgy, hogy F F = c és legyen > c. A sík zon M pontjink mértni helyét, melyre MF + MF =, ellipszisnek nevezzük: E = {M P : MF + MF = }. További elnevezések: 1. F, F : z ellipszis fókuszi. F F egyenes: fokális tengely 3. F F = c : fókusztávolság 4. [MF ] és [MF ] szkszok: M ponthoz trtozó vezérsugrk Megjegyzés. H c = 0, kkor z ellipszis egy sugrú kör lesz. Legyen E egy dott ellipszis. Válsztunk egy Oy Descrtes-féle koordinát-rendszert úgy, hogy z O pont legyen z [F F ] szksz felezőpontj, z O tengely legyen fokális tengely. Ekkor F ( c, 0) és F (0, c).
7 y B b M... F... F c O c B b 5. ábr. Ellipszis Tétel. Az M(, y) pont kkor és cskis kkor vn z E ellipszisen, h + y b = 1, hol b = c. Bizonyítás. Az M pont rjt vn z E ellipszisen, h MF + MF =. Ekkor ( + c) + y + ( c) + y =. ( + c) + y = ( c) + y + 4 ( c) + y 4c 4 = 4 ( c) + y c c + 4 = c + c + y ( c ) + y = ( c ). Bevezetjük z c = b jelölést és végigosztv z előbbi egyenletet b -tel kpjuk z ellipszis knonikus egyenletét: E : + y = 1. () b 1.8. Megjegyzés. A B(0, b = c ) és B (0, b = c ) pontok rjt vnnk z ellipszisen, mégpedig z ellipszis metszéspontját jelölik z Oy tengely-lyel. Vlóbn, BOF és BOF kongruens háromszögekben lklmzv Pithgorász tételét kpjuk, hogy + b = c Megjegyzés. H jelöljük A, A és B, B -tel () egyenlettel megdott ellipszis metszeteit z O illetve Oy tengelyekkel és > b, kkor még hsználjuk következő kifejezéseket: 1. z [AA ] szksz z ellipszis ngytengelye;. [BB ] szksz z ellipszis kistengelye; 3. z A(, 0), A (, 0), B(0, b), B ( b, 0) pontok: z ellipszis csúcsi Megjegyzés. Az ellipszis knonikus egyenletében z és y változók második htványon szerepelnek, ezért egy M(, y) ponttl együtt z ellipszisen vnnk z M 1 (, y), M (, y), M 3 (, y) pontok is. Tehát z O és Oy tengelyek szimmetritengelyei z ellipszisnek, z O pont pedig szimmetriközéppontj Tétel. Az E : + y b = 1 egyenletű ellipszis M 0( 0, y 0 ) pontjáb szerkesztett érintő egyenlete: 0 + yy 0 b = 1, melyet még z ellipszis duplázott egyenletének is nevezünk z M 0 pontbn. Bizonyítás.Az ellipszis érintőjének meghtározásár 1.6 Megjegyzést hsználjuk fel. Az f függvény felírás érdekében z ellipszis egyenletéből kifejezzük z y-t: y = ±b 1 = ± b.
8 Tételezzük fel, hogy z M 0 pont z ellipszis felső ívén vn, vgyis y 0 0 (ellenkező esetben teljesen hsonlón járunk el). Ekkor z f függvényt is ennek megfelelően válsztjuk: y = f() = b. Az érintő egyenlete: y y 0 = f ( 0 )( 0 ) y y 0 = b 0 0 ( 0 ). (3) Mivel z M 0 ( 0, y 0 ) E, következik, hogy 0 + y 0 b = 1, vgyis y 0 = b ( 0). Feltételeztük, hogy y 0 0, tehát 0 = b y 0. Visszhelyettesítve ezt (3) összefüggésbe írhtjuk, hogy Beszorozv ezt z egyenletet y 0 -tel, kpjuk, hogy b y y 0 = b 0 y 0 ( 0 ). 0 + yy 0 b = y 0 b + 0 = 1. Tehát z érintő egyenlete: 0 + yy 0 b = Értelmezés. Az ellipszis M 0 pontb szerkesztett normális z z egyenes, melyik áthld z M 0 ponton és merőleges z ellipszis M 0 pontjábn szerkesztett érintőre Tétel. (Az ellipszis optiki tuljdonság) Az ellipszis M 0 pontjáb szerkesztett érintő és normális felezik z F M 0 és F M 0 vezéregyenesek áltl meghtározott szögeket. érintő y normális M 0 F O F 6. ábr. Ellipszis optiki tuljdonság. Bizonyítás. Úgy szerkesztjük meg koordinát-rendszert, hogy z ellipszis egyenlete legyen E : + y b = 1, hol b = c és fókuszok F ( c, 0); F (c, 0). Legyen M 0 ( 0, y 0 ) E egy tetszőleges pont. Felírjuk z F M 0 és F M 0 vezéregyenesek egyenleteit: F M 0 : 0 c 0 = y y 0 y 0 F M 0 : y 0 + ( 0 c)y + cy 0 = 0; (4) F M 0 : 0 c 0 = y y 0 y 0 F M 0 : y 0 ( 0 + c)y + cy 0 = 0. (5) F M és F M egyenesek áltl bezárt szögek szögfelezői ( 15 egyenlet lpján): y 0 + ( 0 c)y + cy 0 y 0 + ( 0 c) = ± y 0 ( 0 + c)y + cy 0 y 0 + ( 0 + c) (6)
9 Kiszámítjuk gyökjel ltti kifejezéseket: y 0 + ( 0 c) = b ( 0) + ( 0 c) = = c ( 0) c + c = ( c 0 ). Mivel 0 [, ] és 0 < c <, következik, hogy c 0 0. Tehát Hsonló számítások után kpjuk, hogy Ekkor (6), (7), (8) összefüggések lpján z y0 + ( 0 c) = c 0. (7) y0 + ( 0 + c) = + c 0. (8) F M 0 F szög szögfelezőinek egyenletei: y 0 + ( 0 c)y + cy 0 c 0 = ± y 0 ( 0 + c)y + cy 0 + c 0. Két esetünk vn, szerint, hogy z egyenlőség jobboldlán melyik előjelet válsztjuk. Válsszuk például + előjelet! Ekkor elvégezve műveleteket és lklmzv c = b összefüggést, kpjuk z lábbi egyenletet: y y cy + cy 0 c 0 y 0 + c 0y c 0 y + c 0 y 0 = = y 0 0 y cy + cy 0 c 0 y 0 + c 0y + c 0 y c 0 y 0 y 0 + b y 0 + ( b ) 0 y 0 = 0. Átrendezve ezt z egyenletet észrevehetjük, hogy ez épp z M 0 pontb szerkesztett normális egyenlete. Így másik szögfelező ( előjeles) z M 0 pontb szerkesztett érintő lesz (mert belső és külső szögfelezők merőlegesek egymásr z M 0 pontbn, kárcsk z érintő és normális) Megjegyzés. A tételben kijelentett mértni tuljdonságok z lábbi optiki tuljdonságnk felel meg: z ellipszis egyik fókuszábn elhelyezett fényforrásból kiinduló tetszőleges fénysugár z ellipszisről vló visszverődés után másik fókuszon fog átmenni Hiperbol 1.5. Értelmezés. A hiperbol zon pontok mértni helye, melyeknek két rögzített ponttól vett távolságuk különbsége állndó. Legyen c > 0, F, F két rögzített pont síkbn úgy, hogy F F = c és legyen (0, c). A sík zon M pontjink H hlmzát, melyre MF MF = hiperbolánk nevezzük: H = {M P MF MF = }. További elnevezések: 1. F, F : hiperbol fókuszi. F F : fokális tengely 3. F F = c: fókusztávolság 4. [MF ], [MF ] szkszok: z M ponthoz trtozó vezérsugrk. Legyen Oy egy Descrtes-féle koordinát-rendszer, melynek origój legyen z [F F ] szksz felezőpontj, O tengelye pedig fokális tengely. Ekkor fókuszok koordinátái: F (c, 0), F ( c, 0) Tétel. A M(, y) pont kkor és cskis kkor trtozik hozzá H hiperbolához, h hol b = c. y b = 1,
10 y... b F ( c, 0) A O A... -b F (c, 0) 7. ábr. Hiperbol Bizonyítás. A hiperbol értelmezése szerint z M pont kkor vn H hiperbolán, h MF MF =, vgyis MF MF = ± ( c) + y + ( + c) + y = ±. Négyzetreemelve mindkét oldlt kpjuk, hogy ( c) + y = 4 + ( + c) + y ± 4 ( + c) + y 4c 4 = ±4 ( + c) + y. Újr négyzetre emelést lklmzv és átrendezve z egyenletet következik, hogy (c ) y + ( c ) = 0. Bevezetve b = c jelölést és elosztv z egyenletet b -tel, megkpjuk hiperbol knonikus egyenletét: H : y b = 1 (9) 1.1. Megjegyzés. A hiperbol egyenletéből dódik, hogy hiperbolánk két szimmetritengelye vn; z egyik fókuszokt összekötő egyenes, ezt hiperbol hiperbol vlós tengelyének nevezzük; másik fókuszokt összekötő szksz felezőmerőlegese, melyet hiperbol képzetes tengelyének nevezünk. A két tengely O metszépontj hiperbol szimmetri-középpontj, mit hiperbol középpontjánk is mondunk Megjegyzés. Beláthtó, hogy z A(, 0) és A (, 0) pontok rjt vnnk hiperbolán, mégpedig ott, hol z O tengely metszi hiperbolát. Ezeket pontokt hiperbol csúcspontjink nevezzük. Az, b számok hiperbol vlós és képzetes féltengelyei Tétel. Az H : y = 1 egyenletű prbolánk vn két ferde szimptotáj ± -ben, melynek b egyenletei: Bizonyítás. Kifejezzük hiperbol egyenletéből y-t és legyen y = ± b. (30) f() = y = ± b. f() Köztudott, hogy ferde szimptot egyenlete ± -ben: y = m + n, hol m = lim ± és n = lim (f() m). A mi esetünkben kiszámolv ezeket htárértékeket kpjuk, hogy m = ± b és n = 0. ±
11 1.8. Tétel. A H : egyenlete: y b = 1 egyenlettel megdott hiperbol M 0( 0, y 0 ) pontjábn szerkesztett érintő 0 yy 0 = 1. (31) b Ezt z egyenletet még hiperbol duplázott egyenletének is nevezzük z M 0 pontbn. Bizonyítás. A 1.6 Megjegyzés lpján hiperbol érintője z M 0 ( 0, y 0 ) pontbn : y y 0 = f ( 0 )( 0 ), hol f() = y = ± b. Az f függvény előjelét zonosnk válsztjuk z y 0 előjelével. Feltételezve, hogy y 0 0 z érintő egyenlete: y y 0 = b 0 0 ( 0). (3) (H y 0 < 0, teljesen hsonló számítások után ugynhhoz z egyenlethez jutunk.) Mivel z M 0 ( 0, y 0 ) H, következik, hogy 0 y 0 b = 1, vgyis y 0 = b ( 0 ). Feltételeztük, hogy y 0 0, tehát 0 = b y 0. Visszhelyettesítve ezt (3) összefüggésbe írhtjuk, hogy Beszorozv ezt z egyenletet y 0 -tel, kpjuk, hogy b Tehát z érintő egyenlete: y y 0 = b 0 y 0 ( 0 ). 0 yy 0 b = y 0 b 0 = 1. 0 yy 0 b = Értelmezés. Azt z egyenest, melyik átmegy z M 0 ponton és merőleges z M 0 pontb szerkesztett érintőre, hiperbol M 0 pontjáb szerkesztett normálisnk nevezzük Tétel. (A hiperbol optiki tuljdonság) A hiperbol M 0 pontjáb szerkesztett érintő és normális z F M 0 és F M 0 vezéregyenesek áltl meghtározott szögek szögfelezői. n y é M 0 F O F 8. ábr. A hiperbol optiki tuljdonság Bizonyítás. Úgy szerkesztjük meg koordinát-rendszert, hogy H hiperbol egyenlete legyen y b = 1, hol b = c és fókuszok F ( c, 0); F (c, 0). Legyen M 0 ( 0, y 0 ) H egy tetszőleges pont. Felírjuk z F M 0 és F M 0 vezéregyenesek egyenleteit: F M 0 : y 0 ( 0 c)y cy 0 = 0; (33)
12 F M és F M egyenesek áltl bezárt szögek szögfelezői F M 0 : y 0 ( 0 + c)y + cy 0 = 0. (34) y 0 ( 0 + c)y + cy 0 y 0 + ( 0 + c) = ± y 0 ( 0 c)y cy 0 y 0 + ( 0 c). (35) Kiszámoljuk gyökjel ltti kifejezéseket: y 0 + ( 0 + c) = b ( ) c + c = = ( b + 1) c + c b = = (b + ) c + = = 1 (c c + 4 ) = 1 (c 0 + ). Hsonló gondoltmenet lpján y 0 + ( 0 c) = 1 ( c 0 ). Ekkor szögfelezők egyenletei: y 0 ( 0 + c)y + cy 0 + c 0 = ± y 0 ( 0 c)y cy 0 c 0. H előjeles egyenletet válsztjuk először, kkor z ránypárok tuljdonság lpján írhtjuk, hogy y 0 0 y cy + y 0 c c 0 y 0 + c 0y + c 0 y c 0 y 0 = = y y cy + cy 0 c 0 y 0 + c 0y c 0 y + c 0 y 0 y 0 0 y + c 0 y c 0 y 0 = 0 y 0 + b 0 y ( + b ) 0 y 0 = 0. Tehát z egyik szögfelező egybeesik normálissl (lásd (??) egyenletet), mi mg után vonj, hogy másik szögfelező egybeesik z érintővel Prbol 1.7. Értelmezés. Azon pontok mértni helyét síkból, melyeknek egy rögzített ponttól és egy rögzített egyenestől mért távolságuk egyenlő prbolánk nevezzük. Legyen h P egy egyenes és F h egy pont Értelmezés. A sík zon M pontjink P p hlmzát, melyekre d(m, h) = MF prbolánk nevezzük: P p = {M P : d(m, h) = MF.} További elnevezések: 1. z F pont: prbol fókusz vgy gyújtópontj;. h egyenes: prbol vezéregyenese; 3. z [MF ] szksz: vezérsugár. Válsztunk egy Descrtes-féle koordinát-rendszert, úgy, hogy z O pont legyen z [AF ] szksz felezőpontj, hol z A pont fókusz h egyenesre eső vetülete és z O tengely pedig legyen z h-r merőleges AF egyenes. Jelölje p = AF fókusz és vezéregyenes közti AF távolságot. Ezt számot prbol prméterének( nevezzük. p ) Ekkor F, 0 és A ( p ), 0. A h vezéregyenes egyenlete: = p Tétel. Az M(, y) pont kkor és cskis kkor trtozik hozzá P p prbolához, h y = p. (36)
13 y M A - p O F p 9. ábr. Az y = p egyenlettel megdott prbol. Bizonyítás. Az M pont kkor és cskis kkor vn rjt P p prbolán, h d(m, h) = MF d (M, h) = MF ( + p ) ( = p + y ) Tehát prbol knonikus egyenlete: p = y. y = p Megjegyzés. A prbol egyenlete lpján egy M(, y) ponttl együtt z M 1 (, y) pont is prbolán vn. Tehát z O tengely szimmetritengelye prbolánk Tétel. Az y = p egyenlettel megdott prbol M 0 ( 0, y 0 ) pontjáb szerkesztett érintőjének egyenlete yy 0 = p( + 0 ), (37) melyet még prbol duplázott egyenletének is nevezünk z M 0 pontbn. Bizonyítás. A 1.6 Megjegyzés szerint prbol M 0 pontjáb szerkesztett érintőjének egyenlete y y 0 = f ( 0 )( 0 ), hol f() = y = ± p, hol z f függvény előjelét zonosnk válsztjuk z M 0 pont y 0 ordinátájánk előjelével. Tételezzük fel, hogy z M 0 pont prbol felső ívén vn, vgyis y 0 0. Ekkor még felhsználv, hogy y 0 = p 0 (mert M 0 P) kpjuk z érintő egyenletét: y y 0 = p ( 0 ) y y 0 = p ( 0 ) yy 0 = p + y0 p 0. p0 y 0 }{{} p Értelmezés. Azt z egyenest, melyik átmegy z M 0 ponton és merőleges prbol M 0 pontb szerkesztett érintőjére, prbol M 0 pontjáb szerkesztett normálisánk nevezzük Tétel. (A prbol optiki tuljdonság) A prbol tengelyével párhuzmos fénysugrk prboláról visszverődve fókuszbn futnk össze vgy fordítv prbol fókuszából kiinduló fénysugrkt prbol tengelyével párhuzmosn veri vissz. Az optiki tuljdonság mtemtiki megfoglmzás: prbol egy M 0 pontjához trtozó érintő és normális felezi z M 0 F egyenes és z M 0 ponton át prbol tengelyével húzott párhuzmos egyenes áltl bezárt szöget. Bizonyítás. Legyen y = p prbol egyenlete. Ekkor h egyenes egyenlete: = p és fókusz ( p ) koordinátái F, 0. Feltételezzük, hogy z M 0 pont koordinátái M 0 ( 0, y 0 ). Legyen B z M 0 pont vetülete ( vezéregyenesre: B p ), y 0 Könnyen beláthtó, hogy tétel kijelentése egyenértékű z lábbi állításokkl: 1. prbol érintője z M 0 pontbn [BF ] szksz felezőmerőlegese;. fókusz szimmetrikus z érintőre nézve rjt vn vezéregyenesen;
14 y M 0 B A O F 10. ábr. A prbol optiki tuljdonság 3. fókusz vetülete z M 0 ponthoz trtozó érintőre prbol csúcsérintőjén vn. Ezért elég igzolni egyet ezen állításk közül. Igzoljuk például, hogy z M 0 pontbn szerkesztett érintő felezőmerőlegese [BF ] szksznk. Az M 0 pontb szerkesztett érintő egyenlete: yy 0 = p( + 0 ). Tehát z érintő iránytényezője: mérintő = p y 0. (38) A BF egyenes iránytényezője: m BF = y B y F = y 0 B F p. (39) ( Legyen N [BF ] szksz felezőpontj. Ekkor N 0, y ) 0. Ez pont rjt vn z M 0 pontb szerkesztett y 0 y 0 érintőn, mert koordinátái kielégítik z érintő egyenletét: = p 0. Ekkor (38) és (39) összefüggések lpján kpjuk, hogy z érintő [BF ] szksz felezőmerőlegese.
15 . Kitűzött feldtok 1. Írjuk fel nnk z egyenesnek z egyenletét, melynek (i) iránytényezője m = 5 és átmegy z A(1, ) ponton; (ii) iránytényezője m = 8 és z Oy tengelyen egy hosszúságú szkszt htároz meg; (iii) áthld z A(, 3) ponton és z O tengellyel 60 -os szöget zár be. (iv) átmegy B(1,7) ponton és merőleges z n(4, 3) vektorr.. Adott z ABC háromszög: A(1, 1), B(, 3), C(4, 7). Írjuk fel z oldlk vlmint z A csúcshoz trtozó oldlfelező és mgsság egyenleteit! E: = 1, 3 + y 5 = Írjuk fel nnk z egyenesnek z egyenletét, mely áthld z A(1, 6) ponton és z egyenes vlmmint koordináttengelyek áltl meghtározott háromszög területe 150. E: 3 + 4y 60 = 0, + 3y 30 = Az origóból egy d egyenesre húzott merőleges tlppontj z A(1, ) pont. Írjuk fel d egyenes egyenletét! E: + y 5 = Htározzuk meg d 1 : + y 1 = 0 egyenes szimmetrikusát d : y = 0 egyenesre mjd z A(, 5) pontr vontkozón! E: + y 1 = 0, y + 3 = Adott egy háromszögkét csúcs: A( 6, ) és B(, ), vlmint H(1, ) ortocentrum. Htározzuk meg hrmdik C csúcs koordinátáit! E:C(, 4). 7. Htározzuk meg zt z A(3, 1) ponton áthldó egyenest, mely 45 -os szöget zár be + 3y 1 = 0 egyenlettel megdott egyenessel. E: 5y + = 0, 5 + y 16 = Htározzuk meg z O(0, 0), A(1, ) és B( 5, 7) pontok távolságát 6 + 8y 15 = 0 egyenestől. E: 3, 7 10, Htározzuk meg z lábbi párhuzmos egyenesek közti távolságot ) y + 3 = 0 és 4y + 7 = 0; ) 3 4y + 1 = 0 és = 1 + 4t, y = 3t ; 3) = t, y = 3 + t és = s, y = 5 4s. 1 E: 1) 5. Írjuk fel nnk körnek z egyenletét, mely áthld z A, B pontokon és középpontj rjt vn d egyenesen, h ) A(4, 1), B(0, 3), d : y 4 = 0; b) A(1, ), B(4,-3), d : 3 y 19 = 0. Írjuk fel C kör P pontjáb szerkesztett érintő egyenletét, h ) C : + y = 5, P (1, ); E: ) ( ) + (y + 1) = 8; b) ( ) + (y 1 4 ) = b) C : + y + 6y 15 = 0, P (3, 6). E: ) y 5 = 0; b) 4 + 3y 30 = Adott C kör és d egyenes. Írjuk fel z dott egyenessel párhuzmos körérintők egyenletét, h ) C : + y 13 = 0, d : 4 + 6y 5 = 0; b) C : + y + 4y 0 = 0, d : 3 + 4y = 0. E: ) e 1 : + 3y + 13 = 0, e : + 3y 13 = 0; b) e 1 : 3 + 4y + 0 = 0, e : 3 + 4y 30 = Adott C kör és d egyenes. Írjuk fel z dott egyenesre merőleges körérintők egyenletét, h ) C : + y + 5 = 0, d : 4 3y + 7 = 0; b) C : + y 1 8y + 47 = 0, d : + y 4 = 0. E: ) e 1 : 3 + 4y + 0 = 0, e : 3 + 4y 5 = 0; b) e 1 : y 3 = 0, e : y 13 = 0.
16 14. Írjuk fel z ellipszis knonikus egyenletét, h ) ngytengelye 8 egység, kistengelye 6 egység; b) = 4, c = 3; c) b = 4, c = 7; d) z ellipszis áthld P 1 (10, 5), P (6, 13) pontokon; e) z ellipszis fókuszi F (3, 0), F ( 3, 0) és egy pontj P (4, 1 5 ). E: ) 16 + y 9 = 1; b) 16 + y 7 = 1; c) 65 + y = 1; d) y 50 = 1; e) 5 + y 16 = Írjuk fel z 16 + y = 1 ellipszis P (, 3) pontb szerkesztett érintőjének egyenletét! 1 E: y 8 = Hány érintő húzhtó P (1, 1), Q(5, 1), R(4, 0) pontokból z 16 + y 1 = 1 ellipszishez? E: 0,, Írjuk fel z 10 + y = 1 ellipszis zon érintőinek z egyenletét, melyek párhuzmosk 3+y+7 = 0 5 egyenessel! E: 3 + y ± = Az A pontból érintőket szerkesztünk z E ellipszishez. Htározzuk meg z egyenleteiket, h ) A(4, 1), E : 6 + y 3 = 1; b) A(, 1), E : + 9y = 9. E: ) + y 3 = 0, 5y 9 = 0; b) y + 1 = 0, 4 5y 13 = Htározzuk meg nnk hiperbolánk z egyenletét, melynek fókuszi z O tengelyen vnnk, szimetrikusk z origór nézzve és teljesítik z lábbi feltételek közül z egyiket: 1) tengelyeket = 10 és b = 8 egyenlőségek htározzák meg; ) z szimptoták egyenletei y = ± 4 3 és fókusztávolság c = Adott 16 9y = 144 hiperbol. Htározzuk meg : 1) fókuszokt, ) z szimptoták egyenleteit. 1. Írjuk fel z 0 y = 1 hiperbol zon érintőinek z egyenleteit, melyek merőlegesek 4+3y 7 = 0 5 egyenesre. E: 3 4y = ±10.. Az A pontból érintőket szerkesztünk z H hiperbolához. Htározzuk meg z egyenleteiket, h ) A(, 1), H : 9 y 8 = 1; b) A(1, 4), H : y 4 = 1. E: ) y 1 = 0, 9 + 5y 3 = 0; b) 1 = 0, 5 y + 3 = Htározzuk meg nnk prbolánk z egyenletét, melynek csúcs z origó, szimmetritengelye z O tengely és áthld z A(9, 6) ponton. E:y = Htározzuk meg z y = 1 prbol zon érintőjének z egyenletét, mely párhuzmos 3 y + 30 = 0 egyenessel és számítsuk ki z dott egyenes és ezen érintő közti távolságot. E: 3 y + 4 = 0,d = Htározzuk meg z y = 64 prbol zon M pontját, mely legközelebb tlálhtó 4+3y 14 = 0 egyeneshez és htározzuk meg z M pont távolságát ettől z egyenestől. E: M( 9 4, 4).
17 6. Az A(5, 9) pontból értintőket szerkesztünk z y = 5 prbolához. Htározzuk meg zon húr egyenletét, mely áthld z érintési pontokon! E: 5 18y = 0.
18 Hivtkozások [1] Andric D., Duc D.I., Purde I. şi Pop I., Mtemtic de bz. Editur Studium, Cluj-Npoc, 00. [] Andric, D., Vrg, Cs., Văcăreţu, D., Teme şi probleme lese de geometrie. Ed. Plus, Bucureşti, 00. [3] Glbură Gh., Rdo F., Geometrie. Ed. Did. şi Ped., Bucureşti, [4] Mezei I., Vrg Cs., Anlitikus mértn. Kolozsvári Egyetemi Kidó, Kolozsvár, 010. [5] Rdo F. şi col., Culegere de probleme de Geometrie, Cluj-Npoc, [6] Udrişte, C., Tomulenu, V., Geometrie nlitică, Mnul pentru cls -XI-. Ed. Did şi Ped., Bucureşti, 1985.
KIDOLGOZÁSA - MATEMATIKA SZAK - 1. Analitikus mértan térben 2
ANALITIKUS MÉRTANBÓL KITŰZÖTT ÁLLAMVIZSGA TÉTELEK KIDOLGOZÁSA - MATEMATIKA SZAK - Tartalomjegyzék 1. Analitikus mértan térben 1.1. Térbeli egyenesek egyenletei Descartes-féle koordináta rendszerhez viszonyítva.........
RészletesebbenIX. A TRIGONOMETRIA ALKALMAZÁSA A GEOMETRIÁBAN
4 trigonometri lklmzás geometrián IX TRIGONOMETRI LKLMZÁS GEOMETRIÁN IX szinusz tétel Feldt Számítsd ki z háromszög köré írhtó kör sugrát háromszög egy oldl és szemen fekvő szög függvényéen Megoldás z
RészletesebbenFELVÉTELI VIZSGA, július 15.
BABEŞ-BOLYAI TUDOMÁNYEGYETEM, KOLOZSVÁR MATEMATIKA ÉS INFORMATIKA KAR FELVÉTELI VIZSGA, 8. július. Írásbeli vizsg MATEMATIKÁBÓL FONTOS TUDNIVALÓK: ) A feleletválsztós feldtok (,,A rész) esetén egy vgy
Részletesebben1. feladat Oldja meg a valós számok halmazán a következő egyenletet: 3. x log3 2
A 004/005 tnévi Országos Középiskoli Tnulmányi Verseny második fordulójánk feldtmegoldási MATEMATIKÁBÓL ( I ktegóri ) feldt Oldj meg vlós számok hlmzán következő egyenletet: log log log + log Megoldás:
RészletesebbenGyakorló feladatsor 11. osztály
Htvány, gyök, logritmus Gykorló feldtsor 11. osztály 1. Számológép hsznált nélkül dd meg z lábbi kifejezések pontos értékét! ) b) 1 e) c) d) 1 0, 9 = f) g) 7 9 =. Számológép hsznált nélkül döntsd el, hogy
RészletesebbenNéhány szó a mátrixokról
VE 1 Az Néhány szó mátrixokról A : 11 1 m1 1 : m......... 1n n : mn tábláztot, hol ij H (i1,,m, j1,,n) H elemeiből képzett m n típusú vlós mátrixnk nevezzük. Továbbá zt mondjuk, hogy A-nk m sor és n oszlop
RészletesebbenEgy szép és jó ábra csodákra képes. Az alábbi 1. ábrát [ 1 ] - ben találtuk; talán már máskor is hivatkoztunk rá.
Egy szép és jó ábr csodákr képes Az lábbi. ábrát [ ] - ben tláltuk; tlán már máskor is hivtkoztunk rá.. ábr Az különlegessége, hogy vlki nem volt rest megcsinál(tt)ni, még h sok is volt vele munk. Ennek
Részletesebbena b a leghosszabb. A lapátlók által meghatározott háromszögben ezzel szemben lesz a
44 HANCSÓK KÁLMÁN MEGYEI MATEMATIKAVERSENY MEZŐKÖVESD, évfolym MEGOLDÁSOK Mutssuk meg, hogy egy tetszőleges tégltest háromféle lpátlójából szerkesztett háromszög hegyesszögű lesz! 6 pont A tégltest egy
RészletesebbenVektorok. Vektoron irányított szakaszt értünk.
Vektorok Vektoron irányított szkszt értünk A definíció értelmében tehát vektort kkor ismerjük, h ismerjük hosszát és z irányát A vektort kövér kis betűkkel (, b stb) jelöljük, megkülönböztetve z, b számoktól,
RészletesebbenTehetetlenségi nyomatékok
Tehetetlenségi nyomtékok 1 Htározzuk meg z m tömegű l hosszúságú homogén rúd tehetetlenségi nyomtékát rúd trtóegyenesét metsző tetszőleges egyenesre vontkozón, h rúd és z egyenes hjlásszöge α, rúd középpontjánk
RészletesebbenDifferenciálgeometria feladatok
Differenciálgeometri feldtok 1. sorozt 1. Egy sugrú kör csúszás nélkül gördül egy egyenes mentén. A kör egy rögzített kerületi pontj áltl leírt pályát cikloisnk nevezzük. () Írjuk fel ciklois egy c: R
RészletesebbenAz ABCD köré írható kör egyenlete: ( x- 3) + ( y- 5) = 85. ahol O az origó. OB(; 912). Legyen y = 0, egyenletrendszer gyökei adják.
5 egyes feldtok Az dott körök k : x + ( y- ) = és k : ( x- ) + y = K (; 0), r, K (; 0), r K K = 0 > +, két körnek nincs közös pontj Legyen (; ) Az egyenlô hosszú érintôszkszokr felírhtjuk következô egyenletet:
RészletesebbenHeves Megyei Középiskolák Palotás József és Kertész Andor Matematikai Emlékversenye évfolyam (a feladatok megoldása)
Okttási Hivtl E g r i P e d g ó g i i O k t t á s i K ö z p o n t Cím: 00 Eger, Szvorényi u. 7. Postcím: 00 Eger, Szvorényi u. 7. elefon: /50-90 Honlp: www.oktts.hu E-mil: POKEger@oh.gov.hu Heves Megyei
RészletesebbenV. Koordinátageometria
oordinátgeometri Szkszt dott rányn osztó pont súlypont koordinátái 6 6 6 ) xf + 9 yf + N 7 N F 9 i ) 7 O c) O N d) O c N e) O O 6 6 + 8 B( 8) 7 N 5 N N N 6 A B C O O O BA( 6) A B BA A B O $ BA A B Hsonlón
RészletesebbenSíkbeli egyenesek. 2. Egy egyenes az x = 1 4t, y = 2 + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg
Analitikus mértan 3. FELADATLAP Síkbeli egyenesek 1. Írjuk fel annak az egyenesnek a paraméteres egyenleteit, amely (i) áthalad az M 0 (1, 2) ponton és párhuzamos a a(3, 1) vektorral; (ii) áthalad az origón
RészletesebbenSíkbeli egyenesek Egy egyenes az x = 1 4t, y = 2 + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg
Analitikus mértan 5. FELADATLAP Síkbeli egyenesek 5.1. Írjuk fel annak az egyenesnek a paraméteres egyenleteit, amely (i) áthalad az M 0 (1, 2) ponton és párhuzamos a a(3, 1) vektorral; (ii) áthalad az
RészletesebbenEmelt szintő érettségi tételek. 3. tétel: Nevezetes ponthalmazok síkban és térben
. tétel: Nevezetes ponthlmzok síkn és téren Ponthlmzok: Sík vgy tér részhlmzi, áltlán utsításokkl djuk meg: A P x; y R x + y = B= R Nevezetes ponthlmzok: = { ( ) } vgy { PO= r, r>. Két pont szkszfelezı
RészletesebbenKoordináta-geometria II.
Koordináta-geometria II. DEFINÍCIÓ: (Alakzat egyenlete) A síkon adott egy derékszögű koordináta rendszer. A síkban levő alakzat egyenlete olyan f (x, y) = 0 egyenlet, amelyet azoknak és csak azoknak a
Részletesebben4. Hatványozás, gyökvonás
I. Nulldik ZH-bn láttuk:. Htványozás, gyökvonás. Válssz ki, hogy z lábbik közül melyikkel egyezik meg következő kifejezés, h, y és z pozitív számok! 7 y z z y (A) 7 8 y z (B) 7 8 y z (C) 9 9 8 y z (D)
RészletesebbenVI. Deriválható függvények tulajdonságai
1 Deriválhtó függvének tuljdonsági VI Deriválhtó függvének tuljdonsági Ebben fejezetben zt vizsgáljuk, hog deriválhtó függvének esetén derivált milen összefüggésben vn függvén más tuljdonságivl, és hogn
RészletesebbenOrszágos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2010/2011 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) Az 1. forduló feladatainak megoldása
Okttási Hivtl Országos Középiskoli Tnulmányi Verseny 00/0 Mtemtik I ktegóri (SZAKKÖZÉPISKOLA) Az forduló feldtink megoldás Az x vlós számr teljesül hogy Htározz meg sin x értékét! 6 sin x os x + 6 = 0
Részletesebben, D(-1; 1). A B csúcs koordinátáit az y = + -. A trapéz BD
Kör és egyenes kölcsönös helyzete Kör érintôje 7 9 A húr hossza: egység 9 A ( ) ponton átmenô legrövidebb húr merôleges a K szakaszra, ahol K az adott kör középpontja, feltéve, hogy a kör belsejében van
Részletesebben4. előadás: A vetületek általános elmélete
4. elődás: A vetületek áltlános elmélete A vetítés mtemtiki elve Két mtemtikilg meghtározott felület prméteres egyenletei legyenek következők: x = f 1 (u, v), y = f 2 (u, v), I. z = f 3 (u, v). ξ = g 1
Részletesebben11. évfolyam feladatsorának megoldásai
évolym eldtsoránk megoldási Oldjuk meg természetes számok hlmzán következő egyenleteket x ) y 6 x! 3 b) y 6 3 ) Átrendezve megoldndó egyenlet y 6 x! 3 H x 0, kkor H x, kkor H x, kkor H x 3, kkor H x, kkor
Részletesebben5. Logaritmus. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 125 -öt kapjunk. A 3 5 -nek a 3. hatványa 5, log. x Mennyi a log kifejezés értéke?
. Logritmus I. Nulldik ZH-bn láttuk:. Mennyi kifejezés értéke? (A) Megoldás I.: BME 0. szeptember. (7B) A feldt ritmus definíciójából kiindulv gykorltilg fejben végiggondolhtó. Az kérdés, hogy -öt hánydik
RészletesebbenVektorok és koordinátageometria
Vektorok és koordinátageometria Vektorral kapcsolatos alapfogalmak http://zanza.tv/matematika/geometria/vektorok-bevezetese Definíció: Ha egy szakasz két végpontját megkülönböztetjük egymástól oly módon,
RészletesebbenI. Vektorok. Adott A (2; 5) és B ( - 3; 4) pontok. (ld. ábra) A két pont által meghatározott vektor:
I. Vektorok 1. Vektorok összege Általánosan: Az ábra alapján Adott: a(4; 1) és b(; 3) a + b (4 + ; 1 + 3) = (6; ) a(a 1 ; a ) és b(b 1 ; b ) a + b(a 1 + b 1 ; a + b ). Vektorok különbsége Általánosan:
RészletesebbenPtolemaios-tétele, Casey-tétel, feladatok
Kutov ntl Ptolemios, sey, feldtok Kutov ntl (Kposvár) Ptolemios-tétele, sey-tétel, feldtok Ptolemios-tétel: H egy konvex négyszög szemközti oldli és, ill. és d; átlói e és f, kkor + d e f. Egyenlőség kkor
Részletesebben9. Írjuk fel annak a síknak az egyenletét, amely átmegy az M 0(1, 2, 3) ponton és. egyenessel;
Síkok és egyenesek FELADATLAP Írjuk fel annak az egyenesnek az egyenletét, amely átmegy az M 0(,, ) ponton és a) az M(,, 0) ponton; b) párhuzamos a d(,, 5) vektorral; c) merőleges a x y + z 0 = 0 síkra;
Részletesebben10. Koordinátageometria
I. Nulladik ZH-ban láttuk: 0. Koordinátageometria. Melyek azok a P x; y pontok, amelyek koordinátái kielégítik az Ábrázolja a megoldáshalmazt a koordináta-síkon! x y x 0 egyenlőtlenséget? ELTE 00. szeptember
Részletesebben= n 2 = x 2 dx = 3c 2 ( 1 ( 4)). = π 13.1
Htározott integrál megoldások + 7 + + 9 = 9 6 A bl végpontokt válsztv: i = i n, i+ i = n, fξ i = i 6 d = lim n n i= i n n = n lim n n i = lim n i= A jobb végpontokt válsztv: fξ i = n i, n i d = lim n n
RészletesebbenNagy András. Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 2010.
Nagy András Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 010. Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 1) Döntsd el, hogy a P pont illeszkedik-e az e egyenesre
RészletesebbenBevezetés. Alapműveletek szakaszokkal geometriai úton
011.05.19. Másodfokú egyenletek megoldás geometrii úton evezetés A középiskoli mtemtik legszerteágzóbb része másodfokú egyenletek megoldás. A legismertebb módj természetesen megoldóképlet hsznált. A képlet
RészletesebbenAz integrálszámítás néhány alkalmazása
Az integrálszámítás néhány lklmzás (szerkesztés ltt) Dr Toledo Rodolfo 4 november 4 Trtlomjegyzék Két függvények áltl htárolt terület Forgástestek térfogt és felszíne 5 3 Ívhosszszámítás 7 4 Feldtok 8
RészletesebbenDifferenciálszámítás. Lokális szélsőérték: Az f(x) függvénynek az x 0 helyen lokális szélsőértéke
Differenciálszámítás Lokális növekedés (illetve csökkenés): H z f() függvény deriváltj z 0 helyen pozitív: f () > 0 (illetve negtív: f () < 0), kkor z f() függvény z 0 helyen növekvően (illetve csökkenően)
RészletesebbenII. A számtani és mértani közép közötti összefüggés
4 MATEMATIKA A 0. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE II. A számtni és mértni közép közötti összefüggés Mintpéld 6 Számítsuk ki következő számok számtni és mértni közepeit, és ábrázoljuk számegyenesen számokt és közepeket!
RészletesebbenBrósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások
Megoldások 1. Tekintsük az alábbi szabályos hatszögben a következő vektorokat: a = AB és b = AF. Add meg az FO, DC, AO, AC, BE, FB, CE, DF vektorok koordinátáit az (a ; b ) koordinátarendszerben! Alkalmazzuk
Részletesebben4 x. Matematika 0 1. előadás. Végezzük el a műveleteket! Alakítsuk szorzattá a következő kifejezéseket! 5. Oldjuk meg az alábbi egyenleteket!
Mtemtik 0. elődás Végezzük el műveleteket!. 6... Alkítsuk szorzttá következő kifejezéseket!. 8 6 6. 7. 8. y Oldjuk meg z lái egyenleteket! 9. 0. 7 0 7 6. 7. Egy kétjegyű szám számjegyeinek összege. H felseréljük
Részletesebben3 m ; a víz sodráé sec. Bizonyítsuk be, hogy a legnagyobb szöge 120 0 -os! α =. 4cos 2
3... Egyenes szíjhatás esetén milyen hosszú szíj szükséges 50 cmes és 6 cm-es sugarú tárcsák összekapcsolásához, ha a tárcsák tengelyeinek távolsága 335 cm? 3... Csónakkal akarunk a folyó túlsó partjára
RészletesebbenÖsszeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens
Az R 3 tér geometriája Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens 2008.09.08. 1 Vektorok Vektor: irányított szakasz Jel.: a, a, a, AB, Jellemzői: irány, hosszúság, (abszolút érték) jel.: a Speciális
RészletesebbenFüggvények tanulmányozása 211
Függvének tnulmánozás KÚPSZELETEK A KÖR A kör értelmezését mint mértni helet már z áltlános iskoláól ismeritek. A foglmk rögzítése céljáól felelevenítjük ezt z értelmezést: Értelmezés. Az O ponttól r távolságr
Részletesebben8. előadás. Kúpszeletek
8. előadás Kúpszeletek Kör A k kört egyértelműen meghatározza C(a,b) középpontja és r sugara. A P pont pontosan akkor van k-n, ha CP=r. Vektoregyenlet: p-c = r. Koordinátás egyenlet: (X-a)2 + (Y-b)2 =
RészletesebbenMinta feladatsor I. rész
Mint feldtsor I. rész. Írj fel z A számot htványként! A / pont/. Mekkor hosszúságú dróttl lehet egy m m-es tégllp lkú testet z átlój mentén felosztni két derékszögű háromszögre? Adj meg hosszúságot mértékegységgel!
Részletesebben= Y y 0. = Z z 0. u 1. = Z z 1 z 2 z 1. = Y y 1 y 2 y 1
Egyenes és sík a térben Elméleti áttekintés Az egyenes paraméteres egyenlete: X = u 1 λ + x 0 Y = u λ + y 0, Z = u λ + z 0 ahol a λ egy valós paraméter Az u = (u 1, u, u ) az egyenes irányvektora és P
RészletesebbenAz egyenes és a sík analitikus geometriája
Az egyenes és a sík analitikus geometriája Az egyenes a kétdimenziós koordinátarendszerben A kétdimenziós koordinátarendszerben az egyenest egy n(a, B) normálvektorával és egy r 0 helyvektorú P(x 0,y 0
RészletesebbenVektoralgebra. Ebben a részben a vektorokat aláhúzással jelöljük
Vektorlger VE Vektorlger Een részen vektorokt láhúzássl jelöljük Vektorlger VE Szdvektorok Helyzetvektorok (kötött vektorok) Az irányított szkszok hlmzán z eltolás, mint ekvivlenci reláció, áltl generált
RészletesebbenBrósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások
Megoldások 1. Írd fel a K (0; 2) középpontú 7 sugarú kör egyenletét! A keresett kör egyenletét felírhatjuk a képletbe való behelyettesítéssel: x 2 + (y + 2) 2 = 49. 2. Írd fel annak a körnek az egyenletét,
RészletesebbenSkaláris szorzat: a b cos, ahol α a két vektor által bezárt szög.
1 Összeadás: Legyen a (7; 3) és b (- 2; 4), akkor az összegük a + b (7 + (-2); 3 + 4) = (5; 7) Kivonás: Legyen a (7; 3) és b (- 2; 4), akkor a különbségük a b (7 - (-2); 3-4)=(9; - 1) Valós számmal való
RészletesebbenKoordináta geometria III.
Koordináta geometria III. TÉTEL: A P (x; y) pont akkor és csak akkor illeszkedik a K (u; v) középpontú r sugarú körre (körvonalra), ha (x u) 2 + (y v) 2 = r 2. Ez az összefüggés a K (u; v) középpontú r
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT. Koordináta-geometria
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT 1) Adott két pont: A 4; 1 felezőpontjának koordinátáit! AB felezőpontja legyen F. Koordináta-geometria és B 3 1; Írja fel az AB szakasz 1 3 4
RészletesebbenTöbbváltozós analízis gyakorlat
Többváltozós nlízis gykorlt Áltlános iskoli mtemtiktnár szk 07/08. őszi félév Ajánlott irodlom (sok gykorló feldt, megoldásokkl: Thoms-féle klkulus 3., Typote, 007. (Jól hsználhtók z -. kötetek is Fekete
RészletesebbenGeometria. 1. feladat
Geometri 1. feldt A kerületi és középponti szögek tétele lpján LAB =AO B (mivel LAB érintőszárú kerületiszög). Hsonlón KAB =AO 1 B. A szimmetri mitt AO O 1 =O 1 O B és BO 1 O =O O 1 A. Így AO O 1 =O 1
Részletesebben1. MECHANIKA-SZILÁRDSÁGTAN GYAKORLAT (kidolgozta: Szüle Veronika, egy. Ts; Tarnai Gábor mérnöktanár.) Matematikai összefoglaló, kiinduló feladatok
/0 SZÉCHENYI ISTVÁN EGYETEM LKLMZOTT MECHNIK TNSZÉK MECHNIK-SZILÁRDSÁGTN GYKORLT (kidolgozt: Szüle Veronik, eg Ts; Trni Gábor mérnöktnár) Mtemtiki összefoglló, kiinduló feldtok Mátrilgebri összefoglló:
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett
RészletesebbenKoordináta-geometria feladatok (középszint)
Koordináta-geometria feladatok (középszint) 1. (KSZÉV Minta (1) 2004.05/I/4) Adott az A(2; 5) és B(1; 3) pont. Adja meg az AB szakasz felezőpontjának koordinátáit! 2. (KSZÉV Minta (2) 2004.05/I/7) Egy
Részletesebbenl.ch TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS DIFFERENCIÁLHATÓSÁGA
l.ch TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS DIFFERENCIÁLHATÓSÁGA A kétváltozós függvének két vlós számhoz rendelnek hozzá eg hrmdik vlós számot, másként foglmzv számpárokhoz rendelnek hozzá eg hrmdik számot.
RészletesebbenA kör. A kör egyenlete
A kör egyenlete A kör A kör egyenlete 8 a) x + y 6 b) x + y c) 6x + 6y d) x + y 9 8 a) x + y 6 + 9 b) x + y c) x + y a + b 8 a) (x - ) + (y - ) 9, rendezve x + y - 8x - y + b) x + y - 6x - 6y + c) x +
Részletesebben7. tétel: Elsı- és másodfokú egyenletek és egyenletrendszerek megoldási módszerei
7. tétel: Elsı- és másodfokú egyenletek és egyenletrendszerek megoldási módszerei Elsıfokú függvények: f : A R A R, A és f () = m, hol m; R m 0 Az elsıfokú függvény képe egyenes. (lásd késı) m: meredekség,
RészletesebbenVektorok (folytatás)
Vektorok (folyttás) Vektor szorzás számml (sklárrl) Vektor szorzás számml b 1 c 2b c 2 ( 1 ) 2 Az vektor k-szoros (k R, vgyis k egy vlós szám) z vektor, melynek hossz k, irány pedig k > 0 esetén irányávl
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Koordináta-geometria
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Koordináta-geometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett
RészletesebbenA VIZSGAKÉRDÉSEK LISTÁJA A VÁLASZTHATÓ TANTÁRGYBÓL
MŰSZAKI ISKOLA ÉRETTSÉGI VIZSGA ADA, 06jnuár 0/06-ös iskolév, júniusi vizsgidőszk A VIZSGAKÉRDÉSEK LISTÁJA A VÁLASZTHATÓ TANTÁRGYBÓL Munkterület: GÉPÉSZET, ELEKTROTECHNIKA, ÉPITÉSZET Tntárg: MATEMATIKA
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Exponenciális és Logaritmusos feladatok
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Eponenciális és Logritmusos feldtok A szürkített hátterű feldtrészek nem trtoznk z érintett témkörhöz, zonbn szolgálhtnk fontos információvl z
RészletesebbenMegint a szíjhajtásról
Megint szíjhjtásról Ezzel témávl már egy korábbi dolgoztunkbn is foglkoztunk ennek címe: Richrd - II. Most egy kicsit más lkú bár ugynrr vontkozó képleteket állítunk elő részben szkirodlom segítségével.
Részletesebbenegyenletrendszert. Az egyenlő együtthatók módszerét alkalmazhatjuk. sin 2 x = 1 és cosy = 0.
Magyar Ifjúság. X. TRIGONOMETRIKUS FÜGGVÉNYEK A trigonometrikus egyenletrendszerek megoldása során kísérletezhetünk új változók bevezetésével, azonosságok alkalmazásával, helyettesítő módszerrel vagy más,
RészletesebbenA 2013/2014. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első forduló MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató
Okttási Hivtl A 013/014 tnévi Országos Középiskoli Tnulmányi Verseny első forduló MATEMATIKA I KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Jvítási-értékelési útmuttó 1 Oldj meg vlós számok hlmzán egyenletet! 3 5 16 0
Részletesebben2. Gauss elimináció. 2.1 Oldjuk meg Gauss-Jordan eliminációval a következő egyenletrendszert:
. Guss elimináció.1 Oldjuk meg Guss-Jordn eliminációvl következő egyenletrendszert: x - x + x + x5 = -5 x1-7x + 8x - 5x = 9 x1-9x + 1x - 9x = 15. A t prméter mely értékeire nincs z egyenletrendszernek
RészletesebbenGeometriai példatár 2.
Geometriai példatár 2 Metrikus feladatok Baboss, Csaba, Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar Szabó, Gábor, Nyugat-Magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar Geometriai példatár 2: Metrikus feladatok
Részletesebben15. Koordinátageometria
I. Elméleti összefoglaló Koordinátákkal adott vektorok 15. Koordinátageometria Ha a(a ; a ) és b(b ; b ) a sík két vektora, λ valós szám, akkor az a vektor hossza: a = a + a a két vektor összege : a +
RészletesebbenKözépiskolás leszek! matematika. 13. feladatsor 1. 2. 3. 4. 5. 6.
Középiskolás leszek! mtemtik Melyik számot jelentheti A h tudjuk hogy I felennyi mint S S egyenlõ K és O összegével K egyenlõ O és L különbségével O háromszoros L-nek L negyede 64-nek I + S + K + O + L
RészletesebbenMegoldások. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)
Megoldások 1. Határozd meg az a és b vektor skaláris szorzatát, ha a = 5, b = 4 és a közbezárt szög φ = 55! Alkalmazzuk a megfelelő képletet: a b = a b cos φ = 5 4 cos 55 11,47. 2. Határozd meg a következő
Részletesebben1. MECHANIKA-MOZGÁSTAN GYAKORLAT (kidolgozta: Szüle Veronika, egy. ts.) Matematikai összefoglaló
SZÉCHENYI ISTVÁN EGYETEM ALKALMAZOTT MECHANIKA TANSZÉK MECHANIKA-MOZGÁSTAN GYAKORLAT (kidolgozt: Szüle Veronik, eg ts) Mtemtiki összeoglló Mátrilgeri összeoglló: ) Mátri értelmezése, jelölése: Mátri: skláris
RészletesebbenAnalitikus térgeometria
Analitikus térgeometria Wettl Ferenc el adása alapján 2015.09.21. Wettl Ferenc el adása alapján Analitikus térgeometria 2015.09.21. 1 / 23 Tartalom 1 Egyenes és sík egyenlete Egyenes Sík 2 Alakzatok közös
RészletesebbenA keresett kör középpontja Ku ( ; v, ) a sugara r = 1. Az adott kör középpontjának koordinátái: K1( 4; 2)
55 A kör 87 8 A keresett kör középpontja Ku ( ; v, ) a sugara r = Az adott kör középpontjának koordinátái: K( ; ) és a sugara r =, az adott pont P(; ) Ekkor KP = és KK = () ( u ) + ( v ) =, () ( u ) +
RészletesebbenMatematika 11 Koordináta geometria. matematika és fizika szakos középiskolai tanár. > o < szeptember 27.
Matematika 11 Koordináta geometria Juhász László matematika és fizika szakos középiskolai tanár > o < 2015. szeptember 27. copyright: c Juhász László Ennek a könyvnek a használatát szerzői jog védi. A
RészletesebbenKoordinátageometria Megoldások
005-0XX Középszint Koordinátageometria Megoldások 1) Adott két pont: A 4; 1 felezőpontjának koordinátáit! AB felezőpontja legyen F. és B 3 1; Írja fel az AB szakasz 1 3 + 4 + 1 3 F ; = F ;1 ) Egy kör sugarának
RészletesebbenKoordinátageometriai gyakorló feladatok I ( vektorok )
Koordinátageometriai gyakorló feladatok I ( vektorok./ Határozd meg az AB szakasznak azt a pontját, amely a szakaszt : ha A ( ; és a B ( ; 8!./ Adott az A ( 3 ; 5 és a ( ; 6 B pont. Számítsd ki az AB vektor
RészletesebbenBevezetés az elméleti zikába
Bevezetés az elméleti zikába egyetemi jegyzet Kúpszeletek Lázár Zsolt, Lázár József Babe³Bolyai Tudományegyetem Fizika Kar 2011 TARTALOMJEGYZÉK 6 TARTALOMJEGYZÉK Azokat a görbéket, amelyeknek egyenlete
RészletesebbenÉrettségi feladatok Koordinátageometria_rendszerezve / 5
Érettségi feladatok Koordinátageometria_rendszerezve 2005-2013 1/ 5 Vektorok 2005. május 28./12. Adottak az a (4; 3) és b ( 2; 1) vektorok. a) Adja meg az a hosszát! b) Számítsa ki az a + b koordinátáit!
RészletesebbenFeladatok megoldásokkal a harmadik gyakorlathoz (érintési paraméterek, L Hospital szabály, elaszticitás) y = 1 + 2(x 1). y = 2x 1.
Feladatok megoldásokkal a harmadik gyakorlathoz (érintési paraméterek, L Hospital szabály, elaszticitás). Feladat. Írjuk fel az f() = függvény 0 = pontbeli érintőjének egyenletét! Az érintő egyenlete y
RészletesebbenKoordináta-geometria feladatgyűjtemény
Koordináta-geometria feladatgyűjtemény A feladatok megoldásai a dokumentum végén találhatók Vektorok 1. Egy négyzet két szemközti csúcsának koordinátái: A( ; 7) és C(4 ; 1). Határozd meg a másik két csúcs
RészletesebbenHatványozás és négyzetgyök. Másodfokú egyenletek
Defiíció: R, Z Htváyozás és égyzetgyök 0 h 0... ( téyezős szorzt) h h 0, 0. A htváyozás zoossági: : m ( ) m m m m m Defiíció: Az x vlós szám ormállkják evezzük z hol 0 és egész szám. 0 kifejezést, h x
Részletesebben1. MECHANIKA-SZILÁRDSÁGTAN GYAKORLAT (kidolgozta: Szüle Veronika, egy. Ts; Tarnai Gábor mérnöktanár.) Matematikai összefoglaló, kiinduló feladatok
SZÉCHENYI ISTVÁN EGYETEM LKLMZOTT MECHNIK TNSZÉK MECHNIK-SZILÁRDSÁGTN GYKORLT (kidolgozt: Szüle Veronik, eg Ts; Trni Gáor mérnöktnár) Mtemtiki összefoglló, kiinduló feldtok Mátrilgeri összefoglló: ) Mátri
RészletesebbenSíkgeometria 12. évfolyam. Szögek, szögpárok és fajtáik
Szögek, szögpárok és fajtáik Szögfajták: Jelölés: Mindkét esetben: α + β = 180 Pótszögek: Olyan szögek, amelyeknek összege 90. Oldalak szerint csoportosítva A háromszögek Általános háromszög: Minden oldala
RészletesebbenEgy látószög - feladat
Ehhez tekintsük z 1. ábrát is! Egy látószög - feldt 1. ábr Az A pont körül kering C pont, egy r sugrú körön. A rögzített A és B pontok egymástól távolság vnnk. Az = CAB szöget folymtosn mérjük. Keressük
Részletesebben3. tétel Térelemek távolsága és szöge. Nevezetes ponthalmazok a síkon és a térben.
3. tétel Térelemek távolsága és szöge. Nevezetes ponthalmazok a síkon és a térben. TÁVOLSÁG Általános definíció: két alakzat távolsága a két alakzat pontjai között húzható legrövidebb szakasz hosszaa távolság
RészletesebbenÉrettségi feladatok: Koordináta-geometria 1/5
Érettségi feladatok: Koordináta-geometria 1/5 2003. Próba/ 13. Adott egy háromszög három csúcspontja a koordinátáival: A( 4; 4), B(4; 4) és C( 4; 8). Számítsa ki a C csúcsból induló súlyvonal és az A csúcsból
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.
KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 14 XIV NEVEZETES GÖRbÉk 1 AZ EGYEnES EGYEnLETE A és pontokon átmenő egyenes egyenlete: (1), Az hányados neve iránytényező (iránytangens, meredekség) A ponton átmenő, m iránytangensű
Részletesebben2018/2019-es iskolaév, júniusi vizsgaidőszak A VIZSGAKÉRDÉSEK LISTÁJA A VÁLASZTHATÓ TANTÁRGYBÓL
MŰSZAKI ISKOLA ÉRETTSÉGI VIZSGA ADA, 09 árcius 08/09-es iskolév, júniusi vizsgidőszk A VIZSGAKÉRDÉSEK LISTÁJA A VÁLASZTHATÓ TANTÁRGYBÓL Munkterület: GÉPÉSZET, ELEKTROTECHNIKA, ÉPITÉSZET Tntárgy: MATEMATIKA
RészletesebbenKoordinátageometria. M veletek vektorokkal grakusan. Szent István Egyetem Gépészmérnöki Kar Matematika Tanszék 1
Szent István Egyetem Gépészmérnöki Kar Matematika Tanszék 1 Koordinátageometria M veletek vektorokkal grakusan 1. Az ABCD négyzet oldalvektorai közül a = AB és b = BC. Adja meg az AC és BD vektorokat a
RészletesebbenVektortér fogalma vektortér lineáris tér x, y x, y x, y, z x, y x + y) y; 7.)
Dr. Vincze Szilvi Trtlomjegyzék.) Vektortér foglm.) Lineáris kombináció, lineáris függetlenség és lineáris függőség foglm 3.) Generátorrendszer, dimenzió, bázis 4.) Altér, rng, komptibilitás Vektortér
RészletesebbenGeometria 1 összefoglalás o konvex szögek
Geometria 1 összefoglalás Alapfogalmak: a pont, az egyenes és a sík Axiómák: 1. Bármely 2 pontra illeszkedik egy és csak egy egyenes. 2. Három nem egy egyenesre eső pontra illeszkedik egy és csak egy sík.
RészletesebbenTranszformáció a főtengelyekre és a nem főtengelyekre vonatkoztatott. Az ellipszis a sík azon pontjainak mértani helye, amelyeknek két adott pontól
Ellipsis.tex, February 9, 01 Az ellipszis Az ellipszis leírása Az ellipszis szerkesztése és tulajdonságai Az ellipszis kanonikus egyenlete A kör vetülete ellipszis Az ellipszis polárkoordinátás egyenlete
RészletesebbenXX. Nemzetközi Magyar Matematika Verseny
XX. Nemzetközi Mgyr Mtemtik Verseny onyhá, 011. március 11 15. 11. osztály 1. felt: Igzoljuk, hogy ármely n 1 természetes szám esetén. Megolás: Az összeg tgji k k 1+ k = = 1+ + n +... < 1+ 1+ n 3 1+ k
RészletesebbenTérbeli pont helyzetének és elmozdulásának meghatározásáról - I.
Térbeli pont helyzetének és elmozdulásánk meghtározásáról - I Egy korábbi dolgoztunkbn melynek címe: Hely és elmozdulás - meghtározás távolságméréssel már volt szó címbeli témáról Ott térbeli mozgást végző
RészletesebbenKoordináta-geometria feladatgyűjtemény (A feladatok megoldásai a dokumentum végén találhatók)
Koordináta-geometria feladatgyűjtemény (A feladatok megoldásai a dokumentum végén találhatók) Vektorok 1. Egy négyzet két szemközti csúcsának koordinátái: A( ; 7) és C(4 ; 1). Határozd meg a másik két
Részletesebben1. MECHANIKA-MOZGÁSTAN GYAKORLAT (kidolgozta: Szüle Veronika, egy. ts.) Matematikai összefoglaló
SZÉCHENYI ISTVÁN EGYETEM ALKALMAZOTT MECHANIKA TANSZÉK 1 MECHANIKA-MOZGÁSTAN GYAKORLAT (kidolgozt: Szüle Veronik, eg ts) Mtemtiki összefoglló 11 Mátrilgeri összefoglló: ) Mátri értelmezése, jelölése: Mátri:
RészletesebbenEgyenes és sík. Wettl Ferenc szeptember 29. Wettl Ferenc () Egyenes és sík szeptember / 15
Egyenes és sík Wettl Ferenc 2006. szeptember 29. Wettl Ferenc () Egyenes és sík 2006. szeptember 29. 1 / 15 Tartalom 1 Egyenes és szakasz Egyenes Szakasz Egyenesvonalú egyenletes mozgás Egyenes és pont
Részletesebben15. Koordinátageometria
I. Elméleti összefoglaló Koordinátákkal adott vektorok 15. Koordinátageometria Ha a(a ; a ) és b(b ; b ) a sík két vektora, λ valós szám, akkor az a vektor hossza: a = a + a a két vektor összege : a +
RészletesebbenM. 2. Döntsük el, hogy a következő két szám közül melyik a nagyobb:
Mgyr Ifjúság (Rábi Imre) Az előző években közöltük Mgyr Ifjúságbn közös érettségi-felvételi feldtok megoldását mtemtikából és fizikából. Tpsztltuk, hogy igen ngy volt z érdeklődés lpunk e szám iránt. Évente
RészletesebbenA VI. FEKETE MIHÁLY EMLÉKVERSENY
A VI. FEKETE MIHÁLY EMLÉKVERSENY Elődó: Bgi Márk Elődás címe: Csillgászti elődás és kvíz A versenyzők feldtmegoldásokon törik fejüket. 88 VI. FEKETE MIHÁLY EMLÉKVERSENY Zent, 008. december. 9. évfolym.
Részletesebben