Függvények tanulmányozása 211
|
|
- Ilona Kerekesné
- 7 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 Függvének tnulmánozás KÚPSZELETEK A KÖR A kör értelmezését mint mértni helet már z áltlános iskoláól ismeritek. A foglmk rögzítése céljáól felelevenítjük ezt z értelmezést: Értelmezés. Az O ponttól r távolságr levő pontok mértni hele síkn z O középpontú r sugrú kör. A kör egenlete Tekintsük z O(0, 0) középpontú r sugrú kört. Az M (, ) pont távolság z origó- tól +, tehát h M körön vn, kkor z értelmezés lpján + =r. Íg z O középpontú r sugrú kör egenlete: ( C) + =r (), (Az ekvivlens átlkításokól következik, hog minden () egenletet teljesítő koordinátájú pont rjt vn körön) O r M(,) 0 O O r 0 M(,) 0 O 0 M O M 89. ár 90. ár 9. ár Írjuk fel most eg tetszőleges O (, ) középpontú r sugrú kör egenletét. Az 0 0 M (, ) pont pontosn kkor vn rjt körön, h ( 0) + ( 0) = r, ez pedig egenértékű ( C) ( 0) + ( 0) = r. () egenlettel, ez utói egenlet z O( 0, 0) középpontú r sugrú kör egenlete. Megjegzés. Tuljdonképpen C( O, r) kör C( O, r ) kör ( 0, 0) vektorrl vló párhuzmos eltolás áltli képe (9. ár), innen pedig z () összefüggésől zonnl következik, hog C( O, r) egenlete () egenlet. Végezzük el () összefüggésen négzetre emeléseket és rendezzük: + ( r ) = 0, Ezt z egenletet z áltlános másodfokú kétismeretlenes A + B + C + D + E + F = 0 egenlettel összevetve megállpíthtjuk, hog z áltlános kétismeretlenes egenlet csk kkor lehet kör egenlete, h A = C 0 és B = 0. Osszunk A-vl: ( C) c = 0. (3)
2 Függvének tnulmánozás Ez z egenlet kör áltlános (descrtesi) egenlete vg normál egenlete c = 0, Az egenletet z ( ) ( ) ( ) lk is írhtjuk, tehát c,, függvénéen következő esetek lehetségesek: h + < c, kkor nem létezik (, ) pár, melre teljesül (3) összefüggés, zt is szoktuk mondni, hog ekkor képzetes körünk vn, vg hog mértni hel üres hlmz (h csk -en dolgozunk); h + =c, kkor mértni hel eg pont P(, ) és zt mondjuk, hog elfjult (degenerált) körünk vn; 3 h + > c, kkor (3) egenlet P(, ) középpontú és r = + c A kör grfikus árázolás Tekintsük C (, ) sugrú vlódi kör egenlete. középpontú és r sugrú kört. A kör egenlete: ( ) ( C) + ( ) = r. Kifejezzük z változót függvénéen: ( ) ( ) = r, = ± r ( ), íg kör következő két foltonos függvén grfikus képének egesítése: f( ) r Tehát C = Gf G f., ( ) = + és f r ( ) ( ) =. Árázoljuk grfikusn z ( ) f( ) = + r függvént! I. A mimális értelmezési trtománt z r ( ) 0 feltételől kpjuk meg. Az ( ) r egenlőtlenség ekvivlens r egenlőtlenséggel, tehát r r és íg D = [ r, + r]. ( ) ( ) II. f ( ) = =, tehát f növekvő z [ r, ] ( ) ( ) r r intervllumon és csökkenő z [, + r] intervllumon. A másodrendű deriváltól megállpíthtó, hog függvén konkáv. III. Mivel z értelmezési trtomán zárt intervllum és függvén foltonos, nincsenek szimptoták. IV. A függvén változási tálázt: r + r f ( ) f ( f ( ) + r Íg elkészíthetjük 9. árán láthtó grfikus képet. Az f pedig 93. árán láthtó
3 Függvének tnulmánozás 3 9. ár 93. ár Egenes és kör kölcsönös helzetei Az áltlános iskoláól tudjátok, hog eg egenes és eg kör kölcsönös helzetére következő három esetünk lehetséges:. két hlmz diszjunkt, tehát z egenes nem metszi kört (94. ár). két hlmznk eg közös pontj vn, tehát z egenes érinti kört (95. ár) 3. két hlmznk két közös pontj vn, tehát z egenes metszi kört (96. ár) 94. ár 95. ár 96. ár A fenti eseteket következő egenletrendszer megoldásink számávl jellemezhetjük: ( ) C :( 0) + 0 = r d : + + c = 0 H megoldások szám 0, kkor d egenes nem metszi C kört, h megoldások szám, kkor d érinti C -t, h pedig megoldás vn, kkor d metszi C kört. H második egenletől kiküszööljük vlmel változót, kkor kpott másodfokú egenlet Δ < 0, Δ = 0 vg Δ > 0 esetei szerint osztálozv z elői esetekhez jutunk. Adott pontn húzott érintő és normális egenlete Először eg áltlános prolémát vizsgálunk. Tekintsük z A + B + C + D + E + F = 0 egenletű görét és htározzuk meg z (, ) pontján húzott érintő egenletét. Az egenletől kifejezhető függvéneként. H z egenlet l oldlát, mint függvénét tekintjük és deriváljuk mjd kifejezzük -t, ugnzt z eredmént kpjuk, mint h elő kifejeznénk -t és kiszámolnánk deriváltját:
4 4 Függvének tnulmánozás A + B + C + C + D + E = 0, A + c + D tehát =, tehát z (, ) pontn húzott érintő iránténezője B + C + E A + c + D m =. Íg z érintő egenlete: B + C + E A + c + D = B + C + E ( ) ( ) ( ) ( ) A + B + C + + D + E A + B + C (4) Az (, ) göre pontj, tehát A + B + C = D E F és íg (4) A + B + C ( + ) + D ( + ) + E ( + ) + F = A + B + C + D + E + F = 0 (5) Az (5) egenletet z érintő duplázott egenletének nevezzük, mert göre egenletéől z + + +,,, és helettesítésekkel kpjuk. Íg z () egenletű körhöz z (, ) C pontn húzott érintő egenlete: + = r (6) Megjegzés. Ugnehhez z eredménhez jutunk, h felírjuk z f illetve f grfikus képéhez z, f ( ) illetve, f ( ) pontokn húzott érintő egenletét. ( ) ( ) Vlón z f grfikus képéhez z szcisszájú pontn húzott érintő egenlete f( ) f = ( ) = = r ( ) = r = r = 0. n e 97. ár Értelmezés.. Eg göre dott pontján húzott érintőre merőleges egenest göre ezen pontjához trtozó normálisánk nevezzük. (97. ár) A (6) egenlet lpján z () körhöz z (, ) C pontn húzott normális egenlete = 0 (7)
5 Függvének tnulmánozás 5 Gkorltok és feldtok. Htározd meg következő körök középpontját és sugrát: ) + 4 = 0 ) = 0 c) = 0 d) = 0. Írd fel z M ( 3, ) középpontú és d = 8 átmérőjű kör egenletét! Írd fel z = 0 szcisszájú pontjin húzhtó érintőinek egenletét! 3. Htározd meg z = 0 egenletű kör középpontjánk koordinátáit és sugrát! Írd fel körhöz z M ( 3, 7) pontól húzhtó érintők egenletét! 4. Írd fel z ABC köré írt kör egenletét, h csúcsok koordinátái: A (, ), B ( 0, 5) és C ( 6, 3). 5. Írd fel zon kör egenletét, melnek középpontj M ( 6, 7) és érinti z 5 4 = 0 egenletű egenest! 6. Írd fel z = 0 egenletű kör + = 0 egenletű egenesre merőleges normálisánk egenletét. 7. Eg M ( 3, ) középpontú kör = 0 egenletű egenesen eg 6 hosszúságú húrt htároz meg. Írd fel kör egenletét! 8. Eg O középpontú kör AB átmérőjének hossz 4 ( > 0 ). M kör eg változó pontj. ) Írd fel z AOM és BOM háromszögek köré írt P illetve Q középpontú körök egenletét; ) Bizonítsd e, hog P és Q pontok AB egenestől mért távolságink szorzt állndó és AP BQ. c) Htározd meg z AP és BQ egenesek metszéspontjánk mértni helét! 9. Htározd meg d : cosα + = és d : cosα = (α ) egenletű egenesek metszéspontjánk mértni helét AZ ELLIPSZIS Értelmezés. Azon M pontok mértni helét, melek két dott A és B ponttól mért távolságink összege állndó (és ngo, mint z AB távolság) ellipszisnek nevezzük. Az A és B pontok z ellipszis fókuszi vg gújtópontji, z AB egenes z ellipszis fokális tengele, míg fókuszok és z ellipszis eg tetszőleges pontj áltl meghtározott szkszok vezérsugrk. Ahhoz, hog legen eg elképzelésünk z ellipszis lkjáról, végezzük el következő szerkesztés: Rögzítsük le eg l hosszúságú mdzg két végét z A és B pontok
6 6 Függvének tnulmánozás és feszítsük ki eg ceruzávl, h minden ilen ponton végighúzzuk ceruzát, kkor kirjzolódik z ellipszis (98. és 99. ár) 98. ár 99. ár Megjegzés. H fókuszok egeesnek, kkor mértni hel eg kör. Tehát kör eg sjátos ellipszis. Az ellipszis knonikus egenlete Tekintsünk eg oln koordinátrendszert, melen fokális tengel z O és fókuszok áltl meghtározott szksz felezőmerőlegese z O. Íg feltételezhetjük, hog fókuszok koordinátái F( c,0) és F( c,0). Jelöljük -vl z ellipszis tetszőleges M (, ) pontjánk fókuszoktól mért távolságink összegét (00. ár). Ez két távolság kpjuk: ( c) + és ( ) ( ) c c + = ( + c) +, tehát következő egenleteket ( c) + = ( + c) + ( c) + = 4 + ( + c) + 4 ( + c) + (h ( + c) + < 4 ()). Egszerűsítjük z elői egenletet: ( + c) + = + c (( + c) + ) = ( + c) + c 0 c + = ( c ) h (), tehát z egenletet ( ), zz + = (3) c lkn is írhtjuk. H z () és () feltételek nem teljesülnek, kkor ellentmondáshoz jutunk, tehát nincsenek oln pontok z ellipszisen, melekre nem teljesülnek ezek feltételek. Másrészt, h és teljesíti (3) feltételt, kkor z () és () feltételek is teljesülnek. Íg (3) z ellipszis egenlete válsztott koordinátrendszeren. H z ellipszis z O tengelt B(0, ) és B (0, ) pontokn metszi, kkor z OBF derékszögű háromszögől = c. Íg megkpjuk z ellipszis knonikus egenletét:
7 Függvének tnulmánozás 7 - A -c F O - B B c F A ( E ) + = (4) H (, ) E, kkor 00. ár (, ),(, ),(, ) E, tehát z ellipszis szimmetrikus koordinát tengelekre nézve és z origór nézve. H A és A z O tengellel vló metszéspontji, kkor: = AF + AF = AF + AF = AA, tehát z A és A pontok szcisszái és. Az AA z ellipszis ngtengele, míg BB kistengel. Íg és féltengelek hosszi. A c számot, mi z ellipszis középpontj (O ) és fókuszok közötti távolság, z ellipszis lineáris ecentricitásánk nevezzük, lineáris ecentricitás és fél ngtengel hándosát pedig numerikus ecentricitásnk nevezzük. H z ellipszis ecentricitásáról eszélünk (nélkül, hog hngsúlozv legen, hog lineáris vg numerikus), kkor numerikus ecentricitásr utlunk. Ezt e -vel jelöljük és: c e = =. Az ellipszis fókuszán átmenő és ngtengelre merőleges húr félhosszúságát z ellipszis prméterének nevezzük és p -vel jelöljük. A knonikus egenletől - A -c F r B - O c B p r M c F A p =. 0. ár: Az ellipszis dti F, F fókuszok O középpont FF fokális tengel FF = c fokúsztávolság c lineáris ecentricitás AA = ngtengel fél ngtengel BB = kistengel fél kistengel r, r vezérsugrk ( r + r = ) p prméter H z ellipszist párhuzmosn eltoljuk z (, 0) vektorrl (vg koordinátrendszert (,0) -vl), kkor z ellipszis egenlete: ( ) p + = = E : = p (5). F O F O c A 0. ár
8 8 Függvének tnulmánozás H z ellipszist párhuzmosn eltoljuk z ( 0, 0) (0. ár), kkor z ellipszis egenlete: ( E ) Az ellipszis grfikus árázolás Az ( E ) ( ) ( ) = (6) + =,, > 0 egenletű ellipszist fogjuk árázolni. A kör esetéhez hsonlón járunk el =±, tehát z f : [, ] [ 0, ], f ( ) = és [ ] [ ] f :,,0, f ( ) =, függvéneket kell árázoljuk, mert E = G f G f. Árázoljuk z f függvént! I. A mimális értelmezési trtománt z 0 feltétel dj, íg D = [, ]. II. f ( ) =, tehát f növekvő [,0] intervllumon és csökkenő [ 0, ]-n. A másodrendű deriváltól megállpíthtó, hog függvén konkáv. III. Mivel z értelmezési trtomán zárt intervllum és függvén foltonos, nincsenek szimptoták. IV. A függvén változási tálázt: f ( ) f ( f ( ) 0 0 A grfikus képek 03. és 04. árákon láthtók. 03. ár 04. ár - O - O - - Egenes és ellipszis kölcsönös helzetei Itt is három eset lehetséges:
9 Függvének tnulmánozás 9. z egenes nem metszi z ellipszist (05. ár). eg közös pontjuk vn, tehát z egenes érinti z ellipszist (06. ár) 3. két közös pontjuk vn, tehát z egenes metszi z ellipszist (07. ár) A metszéspontok koordinátáit itt is úg kphtjuk meg, h megoldjuk z ellipszis egenletéől és z egenes egenletéől álló rendszert. 05. ár 06. ár 07. ár Adott pontn húzott érintő és normális egenlete Az áltlános egenletől duplázássl megkpjuk z (, ) pontn húzott érintő egenletét: + = (08. ár). Ugneen pontn normális egenlete: 08. ár = Gkorltok és feldtok. Írd fel z ellipszis egenletét z lái eseteken, mjd árázold is: ) fókuszi F (, 0 ) és F (, 0 ), ng féltengel hossz = 5 ; ) egik fókusz F (, ), középpontj C (, 4) és ng féltengel hossz = 0 ; c) középpontj z origó, tengelei koordináttengelek és z ellipszis átmeg 9 z A 4, és 5 A 3, pontokon; 5 d) ngtengel 6, fókuszi pedig F ( 4, 0 ) és F ( ). 0, 0. Írd fel = 0 ellipszis knonikus egenletét! 3. Htározd meg = 676 egenletű ellipszis = 5 szcisszájú pontjához húzott érintő egenletét! 4. Bizonítsd e, hog h eg O középpontú, F és F fókuszú ellipszis M tetszőleges pontj, kkor MF MF + MO = +, hol illetve ng illetve kis féltengel.
10 0 Függvének tnulmánozás 5. Bizonítsd e, hog z összes oln háromszög közül, meleknek z egik oldl l és félkerülete p, z egenlőszárú háromszög területe legngo! 6. Bizonítsd e, hog z ellipszishez dott pontn húzott érintő és normális vezérsugrk áltl meghtározott szög külső illetve első szögfelezői. (Ezt z ellipszis optiki tuljdonságánk nevezzük, mert z ellipszis egik fókuszán elhelezett fénforrásól kiinduló tetszőleges fénsugár z ellipszisről (elliptikus tükörről) történő visszverődés után másik fókuszon fog átmenni). A hiperol 09. ár Értelmezés. Azon M pontok mértni helét, melekre MF MF =, hol F és F rögzített pontok és FF >, hiperolánk nevezzük. F és F hiperol fókuszi, z FF egenes fokális tengel, míg fókuszok és hiperol tetszőleges pontj áltl meghtározott szkszok vezérsugrk. A hiperol knonikus egenlete Tekintsünk eg oln koordinátrendszert, melen fokális tengel z O és z FF szksz felezőmerőlegese z O. Íg feltételezhetjük, hog fókuszok koordinátái F( c,0) és F( c,0). H M (, ) hiperol tetszőleges pontj, kkor: c + + c + = ( ) ( ) ( c) + =± + ( + c) + ( c) + = 4 + ( + c) + ± 4 ( + c) + (( + c) + ) = ( + c) ± ( + c) + = + c ( c ) = ( c ) =. c Eől z egenletől következik, hog hiperol metszéspontji z O tengellel A (,0) és A (,0). Ezeket pontokt hiperol csúcsink nevezzük és z AA egenest hiperol vlós tengelének. Az AA = távolság vlós tengel hossz. H megszerkesztjük z AA átlójú és c oldlú romuszt, kkor másik átlój B hiperol képzetes tengele, és képzetes tengel hossz. A szerkesztés lpján = c, és íg A O A hiperol egenlete: F F ( H ) = () 0. ár
11 Függvének tnulmánozás Ez z egenlet hiperol knonikus egenlete. H (, ) H, kkor (, ), (, ), (, ) H, tehát hiperol szimmetrikus tengeleire és válsztott koordinátrendszer origójár. Ezért z O pontot hiperol középpontjánk nevezzük. A c távolságát hiperol lineáris ecentricitásánk, lineáris ecentricitás és fél vlós tengel hándosát pedig numerikus ecentricitásnk nevezzük. A numerikus ecentricitást e -vel jelöljük és c e = = +. A hiperol fókuszán átmenő és vlóstengelre merőleges húr félhosszúságát hiperol prméterének nevezzük. A p prmétert hiperol () egenletéől =± c helettesítéssel kpjuk: p =. d F A B r O A B c r F p d M. ár: A hiperol dti F, F fókuszok O középpont FF = c fókusztávolság c lineáris ecentricitás AA = vlós tengel fél vlós tengel BB = képzetes tengel fél képzetes tengel r, r vezérsugrk ( r r = ) p prméter d, d szimptoták H hiperolát párhuzmosn eltoljuk (, 0) vektorrl, kkor hiperol egenlete: ( + ) = = + p ( H) = p + (4). (. ár) F A A F O O. ár A hiperol grfikus árázolás A ( H ) =,, > 0
12 Függvének tnulmánozás egenletű hiperolát fogjuk árázolni. Kifejezzük -t z függvénéen: =±. Íg hiperol következő függvének grfikus képeinek egesítése: f :(, ] [, + ), f( ) = és f :(, ] [, + ), f( ) =. Az f függvént fogjuk árázolni. Az f függvén grfikus képe ennek szimmetrikus z O tengelre nézve. I. lim f ( ) =+, lim f ( ) =+, de + ( ) f ( ) m = lim = lim = lim =, n = lim [ f( ) m] = lim + = 0, tehát = ferde szimptot felé. f ( ) A + felé pedig m = lim =, n = 0, tehát een z eseten ferde + szimptot =. II. f ( ) =, nem értelmezett z =± pontokn, < 0 esetén negtív és > 0 esetén pozitív. lim f ( ) = =, lim f ( ) = =+, tehát f ( ) = és f ( + ) = +. III. A változási tálázt: ////// + f ( ) - - ////// f ( ) + 0 ////// 0 + O - A 3. árán foltonos vonl z f függvén grfikus képe, pontozott egenesek z szimptotát, szggtott vonl pedig z f függvén grfikus képe. 3. ár
13 Függvének tnulmánozás 3 Egenes és hiperol kölcsönös helzetei A d : + + c = 0 és z = hiperol metszéspontjit megkphtjuk következő egenletrendszer megoldásávl: =. + + c = 0 Ez eg másodfokú egenlethez vezet, tehát három esetet különöztetünk meg:. d egenes nem metszi hiperolát (4. ár). d egenes érinti hiperolát (5. ár) 3. d egenes két különöző pontn metszi hiperolát (6. ár) 4. ár 5. ár 6. ár Adott pontn húzott érintő és normális egenlete Az áltlános egenletől duplázássl megkpjuk z (, ) pontn húzott érintő egenletét: = normális egenlete: + = + Gkorltok és feldtok 7. ár. Számítsd ki 9 6 = 44 egenletű hiperol féltengeleit és fókuszit mjd írd fel z szimptoták egenletét!. Írd fel = 0 egenletű hiperol knonikus egenletét és htározd meg középpont koordinátáit! 3. Htározd meg nnk hiperolánk z egenletét, mel átmeg P(9, 4) ponton és teljesíti következő két feltételt:
14 4 Függvének tnulmánozás ) vlós tengele 6 ; ) vlós tengele z O tengel. 4. Htározd meg z F (, ) és F ( ), fókuszú hiperol egenletét, h képzetes tengel hossz 4 és írd fel z szimptotáink vlmint z = 3 szcisszájú pontjin húzott érintőinek egenletét! 5. Htározd meg z F ( 4, 0) és F ( ) 4, 0 fókuszú hiperol egenletét, h vlós tengel hossz 6 és írd fel z szimptotáink vlmint z = 5 szcisszájú pontjin húzott érintőinek egenletét! 6. Írd fel z = egenletű hiperol szimptotáink vlmint z = szcisszájú pontjin húzott érintőinek egenletét! 7. Bizonítsd e, hog h M eg O középpontú, és F fókuszú ellipszis tetszőleges pontj, kkor MO F MF MF =, hol és tengelek hossz. 8. Számítsd ki z = egenletű hiperol szimptotái és = 0 egenletű egenes áltl meghtározott háromszög területét! 9. Az O koordinátrendszer O tengelén vegünk fel két M és N pontot úg, hog szcisszáik szorzt legen. Az M és N pontokon át meghúzzuk illetve iránténezőjű egeneseket, melek P -en metszik egmást. * (, + rögzítettek) Htározd meg P pont mértni helét! 0. Eg hiperol síkján lévő P ponton át párhuzmosokt húzunk hiperol szimptotáihoz, melek hiperolát M és N -en metszik. ) Htározd meg zon P pontok mértni helét, melekre MN átmeg hiperol középpontján! ) Htározd meg zon P pontok mértni helét, melekre z MN egenes párhuzmos hiperol vlmelik tengelével!. Bizonítsd e, hog hiperolához dott pontn húzott érintő és normális vezérsugrk áltl meghtározott szög szögfelezői. (A hiperol optiki tuljdonság) A prol 7. ár
15 Függvének tnulmánozás 5 v M Értelmezés. Azon pontok mértni helét, melek eg dott v egenestől és eg dott F ponttól egenlő távolság vnnk prolánk nevezzük. Az F pont prol fókusz, v vezéregenese és fókuszól vezéregenesre állított merőleges prol tengel. A fókusz és vezéregenes közötti p távolság prol prmétere. F A prol knonikus egenlete Tekintsünk eg oln koordinátrendszert, melen z p O tengel prol tengele, z O tengel fókusz és 8. ár vezéregenesre eső vetülete áltl meghtározott szksz p felezőmerőlegese. Íg fókusz koordinátái F,0 és p vezéregenes egenlete v : = (8. ár). H M (, ) prol tetszőleges pontj, kkor z értelmezés lpján: p p + = + p p, zz p + + = + p + és íg 4 4 ( P) = p (). Az () egenlet prol knonikus egenlete. H (, ) P, kkor (, ) ( P), tehát z O tengel szimmetritengel. Az O pont prol csúcs. A prol grfikus árázolás A következő prolát fogjuk árázolni: ( P) = p. Feltételezzük, hog p > 0. Kifejezzük -t z függvénéen: =± p, tehát következő függvéneket kell árázoljuk: f : [0, + ) [0, + ), f( ) = p, f :[0, + ) (,0], f( ) = p. Az f függvén változási tálázt: 0 + f ( ) + + f ( ) O f( ) ár
16 6 Függvének tnulmánozás Az elői esethez hsonlón z f függvén grfikus képe prol felső ág (z O fölötti ág) z f függvén grfikus képe pedig z lsó ág (9. ár) Egenes és prol kölcsönös helzetei A kör, ellipszis és hiperol esetéhez hsonlón, metszéspontok koordinátáit itt is prol és z egenes egenletéől álló rendszer megoldásávl kpjuk. Ez z rendszer eg másodfokú egenletre redukálódik, íg következő esetek lehetségesek:. z egenes nem metszi prolát (0. ár). z egenes érinti prolát (. ár) 3. z egenes két különöző pontn metszi prolát (. ár) 0. ár. ár. ár Adott pontn húzott érintő és normális egenlete e n 3. ár Gkorltok és feldtok Az () egenletől duplázássl megkpjuk z húzott érintő egenletét e : = p( + ) Innen pedig normális egenlete: n : p = ( p ). (, ) pontn. Írd fel nnk prolánk z egenletét, melnek csúcspontj z origón vn, ) szimmetrikus z O tengelre nézve és átmeg z A(, 3) ponton; ) szimmetrikus z O tengelre nézve és átmeg z B ( 4, 8).. Htározd meg z 0 9 = 0 egenletű prol csúcspontjánk koordinátáit, prméter ngságát és tengelének iránát! 3. Htározd meg z = egenletű prol = szcisszájú pontjin átmenő érintőinek egenletét! 4. Htározd meg z = egenletű prol A(, 0) pontján átmenő érintőinek egenletét! Számítsd ki két érintő és két normális áltl meghtározott négszög területét! 5. Eg híd íve prol lkú. Htározd meg ezen prol prméterét, h fesztávolság 4 m és z ívmgsság 6m. 6. Htározd meg 4. árán vázolt prolikus trtószerkezet
17 Függvének tnulmánozás 7 ) felső és lsó prolívének egenletét; ) z és z AC rudk hosszát.,4 m AA 4. ár C A m 5 m C A 5 m Miért kúpszeletek? 4 m A körrel, prolávl, hiperolávl ellipszissel gkrn tlálkozhtunk természeten is. H ferdén vg vízszintesen eldounk eg testet, kkor nnk páláj prolív. (5. ár) Az előzőken, h z ellipszis, hiperol, prol prgrfusok utáni feldtokt megoldottátok eláthttátok z optiki tuljdonságikt ezen göréknek. A csillgászti lpismeretekhez trtoznk Kepler (57 630) törvénei. Az első törvénéen megfoglmzt, hog olgók Np körül ellipszispálán keringnek, és Np z ellipszispál egik fókuszán vn. (6. ár) v Bolgó v Np 5. ár 6. ár M már közismert, hog mesterséges holdk, szputnikok, z űrhjók Föld körül körpálán vg ellipszispálán keringenek. Ngo indítási seességgel, Földtől távoli égitestek kuttásár vissz nem térő szondákt küldtek, ezek hiperol pálán hldnk. M már elemi fiziki ismeretnek számít, hog fellőtt rkéták, űrhjók páláj z indító seességtől függően: ellipszis, melnek fellövés helétől távoli fókuszpontj Föld középpontj kör ellipszis, melnek fellövés heléhez közelei fókuszpontj Föld középpontj hiperol, melnek egik fókuszpontj Föld középpontj Ezek zt muttják, hog kör, z ellipszis, prol, hiperol rokonságn vnnk. 7. ár 8. ár 9. ár 30. ár
18 8 Függvének tnulmánozás A testek mozgását mtemtiki módszerekkel már XVI XVII. százdn kezdték vizsgálni, de prol, z ellipszis, hiperol foglmát jóvl korán, görög mtemtikusok már z ókorn, z i.e. II. százdn kilkították. Tö mtemtiki prolém vizsgáltánál rájöttek, hog h egenes körkúp plástját különöző helzetű síkokkl elmetszik, kkor nevezetes göréket kpnk. Ezeket közös néven kúpszeleteknek nevezzük. A kúpszelet ellipszis, h metszősík kúp egik lkotójávl sem párhuzmos. H metszősík merőleges kúp tengelére, kkor síkmetszet eg kör, ez is izonítj, hog kör eg sjátos ellipszis. H metszősík kúp egetlen lkotójávl párhuzmos, kkor kúpszelet prol. H két lkotóvl párhuzmos metszősík, kkor hiperol keletkezik. 3. ár: Kör 3. ár: Ellipszis 33. ár: Prol 34. ár: Hiperol 35. ár Elfjult kúpszeletek H kúp csúcspontjár illeszkedő metszősíkot veszünk, kkor elfjult kúpszeletet kpunk, mégpedig ellipszis helett pontot (elfjult ellipszis), prol helett eg egenest (elfjult prol) és hiperol helett két metsző egenest (elfjult hiperol). Eg tetszőleges kúpszelet egenlete következő A + B + C + D + E + F = 0 (A + B + C 0 ), sőt z elői egenlettel megdott másodrendű görék mind kúpszeletek (ide soroltuk z elfjult kúpszeleteket és z üres hlmzt is). Ez z egenlet eg-két trnszformációvl visszvezethető következők vlmelikére: Kör + = r Ellipszis + = Hiperol = Prol = p Két metsző egenes Két párhuzmos egenes = 0
19 Függvének tnulmánozás 9 = 0 Két egeeső egenes = 0 Gkorltok Pont + = ár Másodrendű görék Üres hlmz + + = 0. Bizonítsd e, hog K : + = kör nem lehet egetlen függvénnek sem grfikus képe, de lehet két különöző függvén grfikus képének z egesítése!. Számítsd ki = 0 hiperol két = 0 egenes áltl 4 9 lkotott háromszög területét! 3. Rjzold meg z lái függvének grfikus képét: ) f : D, f( ) = + ; ) f : D, f( ) = ( + )(5 ); 3 3 c) f : D, f( ) = Az f :, f ( ) = e függvén grfikus képét Guss-féle görének nevezik. Htározd meg zokt pontokt, melen z O középpontú, egségsugrú kör metszi ezt görét! Bizonítsd e, hog két görének vn közös érintője! 5. Htározd meg zon M(, ) pontok mértni helét, melekre + =! Szerkeszd meg z f :, f ( ) = függvén grfikus képét! 4 7. Írj z + = ellipszise eg mimális területű tégllpot úg, hog nnk oldli tengelekkel párhuzmosk legenek! ( 0 < < ). 8. Htározd meg z M( p, p) pont és z = p prol pontji közti legkise távolságot!
20 30 Függvének tnulmánozás 9. Htározd meg z A(, 0) pont távolságát z + = egenletű körtől! 0. Htározd meg z + = (0 < < ), ellipszis leghossz B( 0, ) ponton átmenő húrját!
VI. Deriválható függvények tulajdonságai
1 Deriválhtó függvének tuljdonsági VI Deriválhtó függvének tuljdonsági Ebben fejezetben zt vizsgáljuk, hog deriválhtó függvének esetén derivált milen összefüggésben vn függvén más tuljdonságivl, és hogn
RészletesebbenMértani helyek 289. III. Mértani helyek
értni helek 89 III. értni helek 3.. Lineáris feltételekkel dott mértni helek Gkrn tlálkoztok oln feldttl, melekben eg közös tuljdonsággl rendelkező pontok hlmzát kell meghtározni. ár z áltlános iskolából
RészletesebbenA VIZSGAKÉRDÉSEK LISTÁJA A VÁLASZTHATÓ TANTÁRGYBÓL
MŰSZAKI ISKOLA ÉRETTSÉGI VIZSGA ADA, 06jnuár 0/06-ös iskolév, júniusi vizsgidőszk A VIZSGAKÉRDÉSEK LISTÁJA A VÁLASZTHATÓ TANTÁRGYBÓL Munkterület: GÉPÉSZET, ELEKTROTECHNIKA, ÉPITÉSZET Tntárg: MATEMATIKA
RészletesebbenKIDOLGOZÁSA - INFORMATIKAI MATEMATIKA SZAK -
ANALITIKUS MÉRTANBÓL KITŰZÖTT ÁLLAMVIZSGA TÉTELEK KIDOLGOZÁSA - INFORMATIKAI MATEMATIKA SZAK - Trtlomjegyzék 1. Anlitikus mértn síkbn 1.1. Síkbeli egyenesek egyenletei Descrtes-féle koordinát rendszerhez
RészletesebbenIX. A TRIGONOMETRIA ALKALMAZÁSA A GEOMETRIÁBAN
4 trigonometri lklmzás geometrián IX TRIGONOMETRI LKLMZÁS GEOMETRIÁN IX szinusz tétel Feldt Számítsd ki z háromszög köré írhtó kör sugrát háromszög egy oldl és szemen fekvő szög függvényéen Megoldás z
Részletesebben1. feladat Oldja meg a valós számok halmazán a következő egyenletet: 3. x log3 2
A 004/005 tnévi Országos Középiskoli Tnulmányi Verseny második fordulójánk feldtmegoldási MATEMATIKÁBÓL ( I ktegóri ) feldt Oldj meg vlós számok hlmzán következő egyenletet: log log log + log Megoldás:
RészletesebbenVIII. Függvények tanulmányozása
5 Függvének tnulmánozás VIII. Függvének tnulmánozás 8.. A monotonitás vizsgált, egenlőtlenségek Tekintsük z f :[, b] foltonos és (, b) -n deriválhtó függvént. A de- f ( ) f ( ) rivált értelmezésében szereplő
RészletesebbenEmelt szintő érettségi tételek. 3. tétel: Nevezetes ponthalmazok síkban és térben
. tétel: Nevezetes ponthlmzok síkn és téren Ponthlmzok: Sík vgy tér részhlmzi, áltlán utsításokkl djuk meg: A P x; y R x + y = B= R Nevezetes ponthlmzok: = { ( ) } vgy { PO= r, r>. Két pont szkszfelezı
RészletesebbenFüggvények, 7 8. évfolyam
Függvének, 7 8. évfolm Orosz Gul 01. június 8. TARTALOMJEGYZÉK Trtlomjegzék Feldtok 7 1. Grfikonok................................... 7. Geometrii trnszformáiók.......................... 19 3. Geometrii
Részletesebbenl.ch TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS DIFFERENCIÁLHATÓSÁGA
l.ch TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS DIFFERENCIÁLHATÓSÁGA A kétváltozós függvének két vlós számhoz rendelnek hozzá eg hrmdik vlós számot, másként foglmzv számpárokhoz rendelnek hozzá eg hrmdik számot.
Részletesebben1. MECHANIKA-SZILÁRDSÁGTAN GYAKORLAT (kidolgozta: Szüle Veronika, egy. Ts; Tarnai Gábor mérnöktanár.) Matematikai összefoglaló, kiinduló feladatok
SZÉCHENYI ISTVÁN EGYETEM LKLMZOTT MECHNIK TNSZÉK MECHNIK-SZILÁRDSÁGTN GYKORLT (kidolgozt: Szüle Veronik, eg Ts; Trni Gáor mérnöktnár) Mtemtiki összefoglló, kiinduló feldtok Mátrilgeri összefoglló: ) Mátri
Részletesebben9. Exponenciális és logaritmusos egyenletek, egyenlőtlenségek
. Eponenciális és ritmusos egenletek, egenlőtlenségek Elméleti összefoglló H >, b>, és vlós számok, kkor + ( ) b ( b) H >, kkor z z ( ) ( ) f függvén szigorún monoton növekvő, míg h <
Részletesebben1. MECHANIKA-SZILÁRDSÁGTAN GYAKORLAT (kidolgozta: Szüle Veronika, egy. Ts; Tarnai Gábor mérnöktanár.) Matematikai összefoglaló, kiinduló feladatok
/0 SZÉCHENYI ISTVÁN EGYETEM LKLMZOTT MECHNIK TNSZÉK MECHNIK-SZILÁRDSÁGTN GYKORLT (kidolgozt: Szüle Veronik, eg Ts; Trni Gábor mérnöktnár) Mtemtiki összefoglló, kiinduló feldtok Mátrilgebri összefoglló:
Részletesebben1. MECHANIKA-MOZGÁSTAN GYAKORLAT (kidolgozta: Szüle Veronika, egy. ts.) Matematikai összefoglaló
SZÉCHENYI ISTVÁN EGYETEM ALKALMAZOTT MECHANIKA TANSZÉK 1 MECHANIKA-MOZGÁSTAN GYAKORLAT (kidolgozt: Szüle Veronik, eg ts) Mtemtiki összefoglló 11 Mátrilgeri összefoglló: ) Mátri értelmezése, jelölése: Mátri:
Részletesebben1. MECHANIKA-MOZGÁSTAN GYAKORLAT (kidolgozta: Szüle Veronika, egy. ts.) Matematikai összefoglaló
SZÉCHENYI ISTVÁN EGYETEM ALKALMAZOTT MECHANIKA TANSZÉK MECHANIKA-MOZGÁSTAN GYAKORLAT (kidolgozt: Szüle Veronik, eg ts) Mtemtiki összeoglló Mátrilgeri összeoglló: ) Mátri értelmezése, jelölése: Mátri: skláris
RészletesebbenFELVÉTELI VIZSGA, július 15.
BABEŞ-BOLYAI TUDOMÁNYEGYETEM, KOLOZSVÁR MATEMATIKA ÉS INFORMATIKA KAR FELVÉTELI VIZSGA, 8. július. Írásbeli vizsg MATEMATIKÁBÓL FONTOS TUDNIVALÓK: ) A feleletválsztós feldtok (,,A rész) esetén egy vgy
RészletesebbenAz elégséges szint eléréséhez szükséges ismeretek matematikából a 9. évfolyamon
Pdáni Ktolikus Gkorlóiskol, Veszprém Az elégséges szint eléréséhez szükséges ismeretek mtemtikáól 9. évfolmon Az elégséges szint eléréséhez szükséges ismeretek mtemtikáól 9. évfolmon Cél: pontos, kitrtó
Részletesebben5. A logaritmus fogalma, a logaritmus azonosságai
A ritmus foglm ritmus zonossági I Elméleti összefoglló H > 0 > 0 > 0 vlós számok és n tetszőleges vlós szám kkor 0 n n H > 0 > 0 > 0 vlós számok kkor H > kkor z f( ) kkor z f( ) függvén szigorún monoton
RészletesebbenNéhány szó a mátrixokról
VE 1 Az Néhány szó mátrixokról A : 11 1 m1 1 : m......... 1n n : mn tábláztot, hol ij H (i1,,m, j1,,n) H elemeiből képzett m n típusú vlós mátrixnk nevezzük. Továbbá zt mondjuk, hogy A-nk m sor és n oszlop
RészletesebbenOrszágos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2010/2011 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) Az 1. forduló feladatainak megoldása
Okttási Hivtl Országos Középiskoli Tnulmányi Verseny 00/0 Mtemtik I ktegóri (SZAKKÖZÉPISKOLA) Az forduló feldtink megoldás Az x vlós számr teljesül hogy Htározz meg sin x értékét! 6 sin x os x + 6 = 0
RészletesebbenMatematika szintfelmérő szeptember
Matematika szintfelmérő 015. szeptember matematika BSC MO 1. A faglaltok éjszakáján eg közvéleménkutatásban vizsgált csoport %-ának ízlett az eperfaglalt, 94%-ának pedig a citromfaglalt. A két gümölcsfaglalt
RészletesebbenHeves Megyei Középiskolák Palotás József és Kertész Andor Matematikai Emlékversenye évfolyam (a feladatok megoldása)
Okttási Hivtl E g r i P e d g ó g i i O k t t á s i K ö z p o n t Cím: 00 Eger, Szvorényi u. 7. Postcím: 00 Eger, Szvorényi u. 7. elefon: /50-90 Honlp: www.oktts.hu E-mil: POKEger@oh.gov.hu Heves Megyei
Részletesebben4. előadás: A vetületek általános elmélete
4. elődás: A vetületek áltlános elmélete A vetítés mtemtiki elve Két mtemtikilg meghtározott felület prméteres egyenletei legyenek következők: x = f 1 (u, v), y = f 2 (u, v), I. z = f 3 (u, v). ξ = g 1
RészletesebbenFrissítve: Síkidomok másodrendű nyomatékai. Egy kis elmélet 1 / 21
Frissíte: 2015.02.16. Síkidomok másodrendű nomtéki Eg kis elmélet 1 / 21 Frissíte: 2015.02.16. Síkidomok másodrendű nomtéki 1. péld: Számítsk ki súlponti és tengelekre számított másodrendű nomtékokt! Megjegzés:
Részletesebbena b a leghosszabb. A lapátlók által meghatározott háromszögben ezzel szemben lesz a
44 HANCSÓK KÁLMÁN MEGYEI MATEMATIKAVERSENY MEZŐKÖVESD, évfolym MEGOLDÁSOK Mutssuk meg, hogy egy tetszőleges tégltest háromféle lpátlójából szerkesztett háromszög hegyesszögű lesz! 6 pont A tégltest egy
RészletesebbenMatematika OKTV I. kategória 2017/2018 második forduló szakgimnázium-szakközépiskola
O k t a t á s i H i v a t a l A 017/018. tanévi Országos Középiskolai Tanulmáni Versen második forduló MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKGIMNÁZIUM, SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató 1. Adja meg
RészletesebbenV. Koordinátageometria
oordinátgeometri Szkszt dott rányn osztó pont súlypont koordinátái 6 6 6 ) xf + 9 yf + N 7 N F 9 i ) 7 O c) O N d) O c N e) O O 6 6 + 8 B( 8) 7 N 5 N N N 6 A B C O O O BA( 6) A B BA A B O $ BA A B Hsonlón
RészletesebbenKoordináta-geometria alapozó feladatok
Koordináta-geometria alapozó feladatok 1. Határozd meg az AB szakasz felezőpontját! (1,5 ; 3,5) (0,5 ; ) (6,5 ; 8,5) (4,5 ; ) (0,5 ; 1,5) (0 ; 0) (0 ; 8,5) (1 ; 1) ( 1,5 ; ) (3,5 ; 3) (0 ; 3) ( 1 ; 1,5).
RészletesebbenBevezetés. Alapműveletek szakaszokkal geometriai úton
011.05.19. Másodfokú egyenletek megoldás geometrii úton evezetés A középiskoli mtemtik legszerteágzóbb része másodfokú egyenletek megoldás. A legismertebb módj természetesen megoldóképlet hsznált. A képlet
RészletesebbenMATEMATIKA FELZÁRKÓZTATÓ TANFOLYAM
MATEMATIKA FELZÁRKÓZTATÓ TANFOLYAM Felhsznált segédletek, példtárk:. Nemzetközi Elıkészítı Int. NEI. Összefoglló feldtgőjtemén ÖF. Szécheni István Fıiskol Távokt. SzIT. Mőszki Fıiskol Példtár MFP Szent
Részletesebben2. Egyenletek I. Feladatok 1. a) b) c) d) 2. a) b) c) d) 3. a) b) c) d) e)
. Egenletek I. Feldtok. Oldj meg z lábbi egenleteket egenletrendszereket vlós számok hlmzán. ) b) ( ) ( ) 8 Klmár László Mtemtik Versen döntője 99. 8. osztál c) ( ) ( ) ( ) ( ) OKTV II. ktegóri. forduló
RészletesebbenAz integrálszámítás néhány alkalmazása
Az integrálszámítás néhány lklmzás (szerkesztés ltt) Dr Toledo Rodolfo 4 november 4 Trtlomjegyzék Két függvények áltl htárolt terület Forgástestek térfogt és felszíne 5 3 Ívhosszszámítás 7 4 Feldtok 8
Részletesebben( x) XI. fejezet. Határozott integrál, terület és térfogat számítás. Elméleti áttekintés. A határozott integrál definícióját ld. a jegyzetben.
Htározott integrál, terület és térogt számítás XI. ejezet Htározott integrál, terület és térogt számítás Elméleti áttekintés A htározott integrál deinícióját ld. jegzeten. Newton-Leiniz tétel: ( ) d [
RészletesebbenDifferenciálgeometria feladatok
Differenciálgeometri feldtok 1. sorozt 1. Egy sugrú kör csúszás nélkül gördül egy egyenes mentén. A kör egy rögzített kerületi pontj áltl leírt pályát cikloisnk nevezzük. () Írjuk fel ciklois egy c: R
RészletesebbenVI. Kétismeretlenes egyenletrendszerek
Mtemtik A 9. évfolm 7. modul: EGYENLETEK Tnári kézikönv VI. Kétismeretlenes egenletrendszerek Behelettesít módszer Mintpéld Két testvér érletpénztárnál jeget vásárol. Az egik vonljegért és eg átszálló
RészletesebbenGyakorló feladatsor 11. osztály
Htvány, gyök, logritmus Gykorló feldtsor 11. osztály 1. Számológép hsznált nélkül dd meg z lábbi kifejezések pontos értékét! ) b) 1 e) c) d) 1 0, 9 = f) g) 7 9 =. Számológép hsznált nélkül döntsd el, hogy
RészletesebbenMAGYARÁZAT A MATEMATIKA NULLADIK ZÁRTHELYI MINTAFELADATSOR FELADATAIHOZ 2010.
MAGYARÁZAT A MATEMATIKA NULLADIK ZÁRTHELYI MINTAFELADATSOR FELADATAIHOZ 00.. Tetszőleges, nem negatív szám esetén, Göktelenítsük a nevezőt: (B). Menni a 0 kifejezés értéke? (D) 0 0 0 0 0000 400 0. 5 Felhasznált
RészletesebbenEMELT SZINTÛ FELADATSOROK
EMELT SZINTÛ FELADATSOROK. Feldtsor / A megoldások. A bl oldlon álló tört értelmezési trtomán : ³ 0, ¹ 0, zz 0, 0,. Bõvítjük törtet z + összeggel: = 0, íg hándosuk
RészletesebbenVektoralgebra. Ebben a részben a vektorokat aláhúzással jelöljük
Vektorlger VE Vektorlger Een részen vektorokt láhúzássl jelöljük Vektorlger VE Szdvektorok Helyzetvektorok (kötött vektorok) Az irányított szkszok hlmzán z eltolás, mint ekvivlenci reláció, áltl generált
RészletesebbenDifferenciálszámítás. Lokális szélsőérték: Az f(x) függvénynek az x 0 helyen lokális szélsőértéke
Differenciálszámítás Lokális növekedés (illetve csökkenés): H z f() függvény deriváltj z 0 helyen pozitív: f () > 0 (illetve negtív: f () < 0), kkor z f() függvény z 0 helyen növekvően (illetve csökkenően)
Részletesebben2. MECHANIKA-STATIKA GYAKORLAT (kidolgozta: Triesz Péter, egy. ts.; Tarnai Gábor, mérnök tanár) Erők eredője, fölbontása
SZÉCHENYI ISTVÁN EGYETEM LKLMZOTT MECHNIK TNSZÉK. MECHNIK-STTIK GYKORLT (kidolgozt: Triesz Péter, eg. ts.; Trni Gábor, mérnök tnár) Erők eredője, fölbontás.1. Péld dott eg erő és eg egenes irán-egségvektor:
Részletesebben823. A helyesen kitöltött keresztrejtvény: 823. ábra. 823. A prímek összege: 2+ 5+ 2= 9; 824. a) 2 1, 2 4, 5 3, 3 5, 2$ 825.
Egész kitevôjû htváok 7 8 A helese kitöltött keresztrejtvé: 8 ár 8 A rímek összege: + + 9 8 ) $ $ 8 ) $ $ 9$ $ 7 $ $ 0 c) $ ( + ) ( + ) 8 ) $ $ k ( - ) - - - ) r s - 7 m k l ( + ) 7 8 ( - ) 8 ( + ) 7 (
RészletesebbenMATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára
8. évfolym Mt2 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrenden oldhtod meg.
RészletesebbenMinta feladatsor I. rész
Mint feldtsor I. rész. Írj fel z A számot htványként! A / pont/. Mekkor hosszúságú dróttl lehet egy m m-es tégllp lkú testet z átlój mentén felosztni két derékszögű háromszögre? Adj meg hosszúságot mértékegységgel!
RészletesebbenTehetetlenségi nyomatékok
Tehetetlenségi nyomtékok 1 Htározzuk meg z m tömegű l hosszúságú homogén rúd tehetetlenségi nyomtékát rúd trtóegyenesét metsző tetszőleges egyenesre vontkozón, h rúd és z egyenes hjlásszöge α, rúd középpontjánk
Részletesebben9. osztály 1.) Oldjuk meg a valós számhármasok halmazán a következő egyenletet!
HANCSÓK KÁLMÁN MEGYEI MAEMAIKAVERSENY MEZŐKÖVESD Sóeli feldto és megoldáso ostál ) Oldju meg vlós sámhármso hlmán öveteő egenletet! ( pont) A egenlet l oldlát átlíthtju öveteőéppen: A l oldl egi tgj sem
RészletesebbenMATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára
8. évfolym Mt2 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrenden oldhtod meg.
RészletesebbenKétváltozós függvények ábrázolása síkmetszetek képzése által
Kétváltozós függvének ábrázolása síkmetszetek képzése által ) Ábrázoljuk a z + felületet! Az [,] síkkal párhuzamos síkokkal z c) képzett metszetek körök: + c, tehát a felület z tengelű forgásfelület; Az
RészletesebbenF.I.1. Vektorok és vektorműveletek
FI FÜGGELÉK: FI Vektorok és vektorműveletek MATEMATIKAI ÖSSZEFOGLALÓ Skláris menniség: oln geometrii vg fiiki menniség melet ngság (előjel) és mértékegség jelleme Vektor menniség: iránított geometrii vg
Részletesebben4 x. Matematika 0 1. előadás. Végezzük el a műveleteket! Alakítsuk szorzattá a következő kifejezéseket! 5. Oldjuk meg az alábbi egyenleteket!
Mtemtik 0. elődás Végezzük el műveleteket!. 6... Alkítsuk szorzttá következő kifejezéseket!. 8 6 6. 7. 8. y Oldjuk meg z lái egyenleteket! 9. 0. 7 0 7 6. 7. Egy kétjegyű szám számjegyeinek összege. H felseréljük
RészletesebbenAz ABCD köré írható kör egyenlete: ( x- 3) + ( y- 5) = 85. ahol O az origó. OB(; 912). Legyen y = 0, egyenletrendszer gyökei adják.
5 egyes feldtok Az dott körök k : x + ( y- ) = és k : ( x- ) + y = K (; 0), r, K (; 0), r K K = 0 > +, két körnek nincs közös pontj Legyen (; ) Az egyenlô hosszú érintôszkszokr felírhtjuk következô egyenletet:
RészletesebbenKvadratikus alakok gyakorlás.
Kvadratikus alakok gakorlás Kúpszeletek: Adott eg kvadratikus alak a következő formában: ax 2 + 2bx + c 2 + k 1 x + k 2 + d = 0, a, b, c, k 1, k 2, d R (1) Ezt felírhatjuk a x T A x + K x + d = 0 alakban,
RészletesebbenN-ed rendű polinomiális illesztés
ed rendű polinomiális illesztés 1 oldl Tegük fel, hog dottk vlmilen fiziki menniség függvénében mért értékek, zz mérési értékpárok, hlmz ( db mérési pont) A mérés mindig trtlmz vlmekkor bizontlnságot mért
RészletesebbenM. 2. Döntsük el, hogy a következő két szám közül melyik a nagyobb:
Mgyr Ifjúság (Rábi Imre) Az előző években közöltük Mgyr Ifjúságbn közös érettségi-felvételi feldtok megoldását mtemtikából és fizikából. Tpsztltuk, hogy igen ngy volt z érdeklődés lpunk e szám iránt. Évente
RészletesebbenPtolemaios-tétele, Casey-tétel, feladatok
Kutov ntl Ptolemios, sey, feldtok Kutov ntl (Kposvár) Ptolemios-tétele, sey-tétel, feldtok Ptolemios-tétel: H egy konvex négyszög szemközti oldli és, ill. és d; átlói e és f, kkor + d e f. Egyenlőség kkor
RészletesebbenVektorok. Vektoron irányított szakaszt értünk.
Vektorok Vektoron irányított szkszt értünk A definíció értelmében tehát vektort kkor ismerjük, h ismerjük hosszát és z irányát A vektort kövér kis betűkkel (, b stb) jelöljük, megkülönböztetve z, b számoktól,
Részletesebbenaz eredő átmegy a közös ponton.
M Műszaki Mechanikai Tanszék STTIK dr. Uj József c. egetemi tanár g közös ponton támadó koncentrált erők (centrális erőrendszer) Két erő eredője: = +, Több erő eredője: = + ++...+ n, az eredő átmeg a közös
RészletesebbenA lecke célja: A tananyag felhasználója megismerje az erőrendszerek egyenértékűségének és egyensúlyának feltételeit.
modul: Erőrendserek lecke: Erőrendserek egenértékűsége és egensúl lecke célj: tnng felhsnálój megsmerje erőrendserek egenértékűségének és egensúlánk feltételet Követelmének: Ön kkor sjátított el megfelelően
RészletesebbenEgy szép és jó ábra csodákra képes. Az alábbi 1. ábrát [ 1 ] - ben találtuk; talán már máskor is hivatkoztunk rá.
Egy szép és jó ábr csodákr képes Az lábbi. ábrát [ ] - ben tláltuk; tlán már máskor is hivtkoztunk rá.. ábr Az különlegessége, hogy vlki nem volt rest megcsinál(tt)ni, még h sok is volt vele munk. Ennek
RészletesebbenProgramtervezési ismeretek
Progrmtervezési ismeretek Feldtok gykorláshoz 1. Hlmzok m veletek 1. Tekintsük z A = {α β γ ζ} és B = {igz hmis} hlmzokt! Írjuk fel z A A A B B A B B Déscrtes szorztokt! Írjuk fel 2 A 2 B hlmzokt! Írjuk
Részletesebbenhajlító nyomaték és a T nyíróerő között ugyanolyan összefüggés van, mint az egyenes rudaknál.
5 RÚDELADATOK 51 íkgörbe rudk Grhof 1 -féle elmélete íkgörbe rúd: rúd köépvonl ( ponti ál) íkgörbe e P n e t Jelöléek: A köépvonl mentén pontokt ívkoordinátávl onoítjuk Pl P pont A P pontbn (P pontho trtoó
Részletesebben1. ALKALMAZOTT ÖSSZEFÜGGÉSEK
Gkorlt 08 echnik II. Szilárdságtn 0 08 Segédlet KÜLPONTOS HÚZÁS-NYOÁS Trtlom. ALKALAZOTT ÖSSZEFÜGGÉSEK.... GYAKORLATOK PÉLDÁI.... TOVÁBBI FELADATOK..... Külpontos húzás-nomás..... Hjlítás és húzás... 9
RészletesebbenVI.8. PITI FELFEDEZÉSEK. A feladatsor jellemzői
VI.8. PITI FELFEDEZÉSEK Tárgy, tém A feldtsor jellemzői Szksz hosszúságánk meghtározás, Pitgorsz tétele. Előzmények Cél Háromszög, tégllp, négyzet kerülete és területe, négyzetgyök foglm. Szksz hosszánk
RészletesebbenKözépiskolás leszek! matematika. 13. feladatsor 1. 2. 3. 4. 5. 6.
Középiskolás leszek! mtemtik Melyik számot jelentheti A h tudjuk hogy I felennyi mint S S egyenlõ K és O összegével K egyenlõ O és L különbségével O háromszoros L-nek L negyede 64-nek I + S + K + O + L
RészletesebbenMATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára
8. évfolym Mt2 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrenden oldhtod meg.
Részletesebbenf (ξ i ) (x i x i 1 )
Villmosmérnök Szk, Távokttás Mtemtik segédnyg 4. Integrálszámítás 4.. A htározott integrál Definíció Az [, b] intervllum vlmely n részes felosztásán (n N) z F n ={,,..., n } hlmzt értjük, melyre = <
RészletesebbenGeometriai transzformációk, transzformációs egyenletek és alkalmazásuk a geoinformatikában
Geometrii trnszformációk, trnszformációs egenletek és lklmzásuk geoinformtikán Szkdolgozt Bódis Ktlin Szeged 999 Trtlomjegzék Trtlomjegzék Bevezetés.... Feldtok...5. A Föld felszínének sík vló leképezése...5.
RészletesebbenHatványozás és négyzetgyök. Másodfokú egyenletek
Defiíció: R, Z Htváyozás és égyzetgyök 0 h 0... ( téyezős szorzt) h h 0, 0. A htváyozás zoossági: : m ( ) m m m m m Defiíció: Az x vlós szám ormállkják evezzük z hol 0 és egész szám. 0 kifejezést, h x
RészletesebbenOrszágos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2012/2013 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) Döntő Megoldások
Országos Középiskolai Tanulmáni Versen / Matematika I kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) Döntő Megoldások Eg papírlapra felírtuk a pozitív egész számokat n -től n -ig Azt vettük észre hog a felírt páros számok
Részletesebben2. Gauss elimináció. 2.1 Oldjuk meg Gauss-Jordan eliminációval a következő egyenletrendszert:
. Guss elimináció.1 Oldjuk meg Guss-Jordn eliminációvl következő egyenletrendszert: x - x + x + x5 = -5 x1-7x + 8x - 5x = 9 x1-9x + 1x - 9x = 15. A t prméter mely értékeire nincs z egyenletrendszernek
Részletesebben7. tétel: Elsı- és másodfokú egyenletek és egyenletrendszerek megoldási módszerei
7. tétel: Elsı- és másodfokú egyenletek és egyenletrendszerek megoldási módszerei Elsıfokú függvények: f : A R A R, A és f () = m, hol m; R m 0 Az elsıfokú függvény képe egyenes. (lásd késı) m: meredekség,
RészletesebbenLineáris egyenletrendszerek
Lineáris egyenletrendszerek lineáris elsőfokú, z ismeretlenek ( i -k) elsőfokon szerepelnek. + + n n + + n n m + m +m n n m m n n mn n m (m n)(n )m A A: együtthtó mátri Megoldás: milyen értékeket vehetnek
RészletesebbenII. A számtani és mértani közép közötti összefüggés
4 MATEMATIKA A 0. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE II. A számtni és mértni közép közötti összefüggés Mintpéld 6 Számítsuk ki következő számok számtni és mértni közepeit, és ábrázoljuk számegyenesen számokt és közepeket!
RészletesebbenMATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára
8. évfolym TMt1 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár tehetséggondozó változt 11:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti
RészletesebbenSkaláris szorzat: a b cos, ahol α a két vektor által bezárt szög.
1 Összeadás: Legyen a (7; 3) és b (- 2; 4), akkor az összegük a + b (7 + (-2); 3 + 4) = (5; 7) Kivonás: Legyen a (7; 3) és b (- 2; 4), akkor a különbségük a b (7 - (-2); 3-4)=(9; - 1) Valós számmal való
RészletesebbenTöbbváltozós analízis gyakorlat
Többváltozós nlízis gykorlt Áltlános iskoli mtemtiktnár szk 07/08. őszi félév Ajánlott irodlom (sok gykorló feldt, megoldásokkl: Thoms-féle klkulus 3., Typote, 007. (Jól hsználhtók z -. kötetek is Fekete
RészletesebbenSíkbeli egyenesek Egy egyenes az x = 1 4t, y = 2 + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg
Analitikus mértan 5. FELADATLAP Síkbeli egyenesek 5.1. Írjuk fel annak az egyenesnek a paraméteres egyenleteit, amely (i) áthalad az M 0 (1, 2) ponton és párhuzamos a a(3, 1) vektorral; (ii) áthalad az
RészletesebbenEgy látószög - feladat
Ehhez tekintsük z 1. ábrát is! Egy látószög - feldt 1. ábr Az A pont körül kering C pont, egy r sugrú körön. A rögzített A és B pontok egymástól távolság vnnk. Az = CAB szöget folymtosn mérjük. Keressük
RészletesebbenSíkbeli egyenesek. 2. Egy egyenes az x = 1 4t, y = 2 + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg
Analitikus mértan 3. FELADATLAP Síkbeli egyenesek 1. Írjuk fel annak az egyenesnek a paraméteres egyenleteit, amely (i) áthalad az M 0 (1, 2) ponton és párhuzamos a a(3, 1) vektorral; (ii) áthalad az origón
Részletesebben11. évfolyam feladatsorának megoldásai
évolym eldtsoránk megoldási Oldjuk meg természetes számok hlmzán következő egyenleteket x ) y 6 x! 3 b) y 6 3 ) Átrendezve megoldndó egyenlet y 6 x! 3 H x 0, kkor H x, kkor H x, kkor H x 3, kkor H x, kkor
RészletesebbenMatematika emelt szintû érettségi témakörök 2014. Összeállította: Kovácsné Németh Sarolta (gimnáziumi tanár)
Mtemtik emelt szintû érettségi témkörök 04 Összeállított: Kovácsné Németh Srolt (gimnáziumi tnár) Tájékozttó vizsgázóknk Tisztelt Vizsgázó! szóeli vizsgán tétel címéen megjelölt tém kifejtését és kitûzött
Részletesebben4. Az a) és c) egyenlő, mindkettő a {12; 13} halmaz, valamint a b) és d) egyenlő mindkettő a {11; 12; 13; 14; 16; 17; 18} halmaz.
Megoldások hlmzok feldtink eredménei. Számhlmzok. ) 48 0 c) 70 3. 8 6. 0; ; ; 6; 3 7. ; 3; 9; 30; 73; 893 3. Műveletek rcionális számokkl. ) 3 0 c) 5 3. ) z első: 4, második:,48. második ngo z első:,35,
RészletesebbenFüggvények, 7 8. évfolyam
Függvének, 7 8. évfolm Orosz Gul 011. márius 1. TARTALOMJEGYZÉK Trtlomjegzék Feldtok 7 1. Grfikonok................................... 7. Geometrii trnszformáiók.......................... 19 3. Geometrii
RészletesebbenMatematika emelt szintû érettségi témakörök 2012. Összeállította: Kovácsné Németh Sarolta (gimnáziumi tanár)
Mtemtik emelt szintû érettségi témkörök 0 Összeállított: Kovácsné Németh Srolt (gimnáziumi tnár) Tájékozttó vizsgázóknk Tisztelt Vizsgázó! szóeli vizsgán tétel címéen megjelölt tém kifejtését és kitûzött
RészletesebbenHázi feladatok megoldása. Automaták analízise, szintézise és minimalizálása. Házi feladatok megoldása. Házi feladatok megoldása
Automták nlízise, szintézise és minimlizálás Formális nyelvek, 11. gykorlt Célj: Az utomták nlízisének és szintézisének gykorlás, utomt minimlizáió Foglmk: Anlízis és szintézis, nyelvi egyenlet és egyenletrendszer
RészletesebbenSzinusz- és koszinusztétel
Szinusz- és koszinusztétel. Htározzuk meg z oldlk rányát, h α 0, β 60. α + β + γ 80 γ 80 α β 80 0 60 90 A szinusztételt felhsználv z oldlk rány: zz : : : sin β : sin 0 : sin 60 : sin 90 : : : : : :. Htározzuk
Részletesebben5. Logaritmus. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 125 -öt kapjunk. A 3 5 -nek a 3. hatványa 5, log. x Mennyi a log kifejezés értéke?
. Logritmus I. Nulldik ZH-bn láttuk:. Mennyi kifejezés értéke? (A) Megoldás I.: BME 0. szeptember. (7B) A feldt ritmus definíciójából kiindulv gykorltilg fejben végiggondolhtó. Az kérdés, hogy -öt hánydik
RészletesebbenÍrja át a következő komplex számokat trigonometrikus alakba: 1+i, 2i, -1-i, -2, 3 Végezze el a műveletet: = 2. gyakorlat Sajátérték - sajátvektor 13 6
Építész Kar Gakorló feladatok gakorlat Számítsa ki az alábbi komple számok összegét, különbségét, szorzatát, hánadosát: a/ z = i z = i b/ z = i z = - 7i c/ z = i z = i d/ z = i z = i e/ z = i z = i Írja
Részletesebben2018/2019-es iskolaév, júniusi vizsgaidőszak A VIZSGAKÉRDÉSEK LISTÁJA A VÁLASZTHATÓ TANTÁRGYBÓL
MŰSZAKI ISKOLA ÉRETTSÉGI VIZSGA ADA, 09 árcius 08/09-es iskolév, júniusi vizsgidőszk A VIZSGAKÉRDÉSEK LISTÁJA A VÁLASZTHATÓ TANTÁRGYBÓL Munkterület: GÉPÉSZET, ELEKTROTECHNIKA, ÉPITÉSZET Tntárgy: MATEMATIKA
RészletesebbenMatematikai összefoglaló
Mtemt össefoglló Vetoro Ngon so oln mennség vn, mel nem ellemehető egetlen sámml. A len mennségre legegserű és mnden áltl ól smert péld, vlmel pontn helete téren. Amor táéoódun és eg pont heletét meg ru
RészletesebbenVektortér fogalma vektortér lineáris tér x, y x, y x, y, z x, y x + y) y; 7.)
Dr. Vincze Szilvi Trtlomjegyzék.) Vektortér foglm.) Lineáris kombináció, lineáris függetlenség és lineáris függőség foglm 3.) Generátorrendszer, dimenzió, bázis 4.) Altér, rng, komptibilitás Vektortér
RészletesebbenHatározzuk meg, hogy a következő függvényeknek van-e és hol zérushelye, továbbá helyi szélsőértéke és abszolút szélsőértéke (
9 4 FÜGGVÉNYVIZSGÁLAT Htározzuk meg, hogy következő függvényeknek vn-e és hol zérushelye, továbbá helyi szélsőértéke és bszolút szélsőértéke (41-41): 41 f: f, R 4 f: 4 f: f 5, R f 5 44 f: f, 1, 1 1, R
RészletesebbenMATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára
8. évfolym Mt2 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zsebszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrendben oldhtod meg.
RészletesebbenMATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára
8. évfolym Mt1 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár 11:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zsebszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrendben oldhtod meg.
RészletesebbenVektoralgebra előadás fóliák. Elméleti anyag tételek, definíciók, bizonyítás vázlatok. Bércesné Novák Ágnes 1. Források, ajánlott irodalom:
Bevezetés számítástudomány mtemtiki lpji Vektorlger elődás fóliák Elméleti nyg tételek, definíciók, izonyítás vázltok Bércesné Novák Ágnes Források, jánlott irodlom: Hjós György: Bevezetés geometriá, Tnkönyvkidó,
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Exponenciális és Logaritmusos feladatok
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Eponenciális és Logritmusos feldtok A szürkített hátterű feldtrészek nem trtoznk z érintett témkörhöz, zonbn szolgálhtnk fontos információvl z
Részletesebben, D(-1; 1). A B csúcs koordinátáit az y = + -. A trapéz BD
Kör és egyenes kölcsönös helyzete Kör érintôje 7 9 A húr hossza: egység 9 A ( ) ponton átmenô legrövidebb húr merôleges a K szakaszra, ahol K az adott kör középpontja, feltéve, hogy a kör belsejében van
Részletesebben12. Határozatlan és határozott integrál
. Htároztln és htározott integrál Tnulási cél: Megismerni htároztln és htározott integrál foglmát. Elsjátítni z lpintegrálokt, és z egyszerű integrálási tételeket, vlmint Newton-Leiniz-formulát. Ezen ismereteket
RészletesebbenKoordinátageometriai gyakorló feladatok I ( vektorok )
Koordinátageometriai gyakorló feladatok I ( vektorok./ Határozd meg az AB szakasznak azt a pontját, amely a szakaszt : ha A ( ; és a B ( ; 8!./ Adott az A ( 3 ; 5 és a ( ; 6 B pont. Számítsd ki az AB vektor
RészletesebbenKoordináta geometria III.
Koordináta geometria III. TÉTEL: A P (x; y) pont akkor és csak akkor illeszkedik a K (u; v) középpontú r sugarú körre (körvonalra), ha (x u) 2 + (y v) 2 = r 2. Ez az összefüggés a K (u; v) középpontú r
Részletesebben