EÖTVÖS LORÁND SZAKKÖZÉP- ÉS SZAKISKOLA TANÍTÁST SEGÍTŐ OKTATÁSI ANYAGOK MÉRÉS TANTÁRGY

Átírás

1 EÖTVÖS LORÁND SZAKKÖZÉP- ÉS SZAKISKOLA TANÍTÁST SEGÍTŐ OKTATÁSI ANYAGOK MÉRÉS TANTÁRGY SÍKIDOMOK Síkidom 1 síkidom az a térelem, amelynek valamennyi pontja ugyan abban a síkban helyezkedik el. A síkidomokat vonalak határolják. A határoló vonalak által bezárt síkrész a síkidom területe. A síkidomok határoló vonalak szerint lehetnek szabályos és szabálytalan síkidomok. A továbbiakban csak szabályos síkidomokkal foglalkozunk. 1. ábra: Szabálytalan és szabályos síkidom A határoló vonalak szerinti további csoportosítás alapján megkülönböztethetünk egyenes vonalakkal és görbe vonalakkal határolt síkidomokat, valamint a kettő együttes megléte esetén összetett síkidomokat. 2. ábra: Szabályos síkidomok Háromszögek Az egyenes vonalakkal határolt síkidomok legegyszerűbb esetei a háromszögek. Három egyenes vonallal határolt síkidom. A háromszögek jellemzői, hogy három csúcsuk (A, B és C), három szögük (, és ) és három oldaluk (a, b és c) van. A háromszög belső szögeinek összege 180. A két rövidebb oldalt befogónak, míg a hosszabbik oldalt átfogónak nevezzük. Egy oldalt és a szemközti csúcsot összekötő egyenest, amely merőleges az oldalra magasságnak nevezzük

2 A háromszögek lehetnek: 3. ábra: Általános háromszög és jellemzői általános háromszög, egyenlő oldalú háromszög (minden szöge és oldala egyenlő nagyságú), egyenlőszárú háromszög (szárai és alapon fekvő szögei egyenlő nagyságúak), derékszögű háromszög (egyik szöge 90 -os). 4. ábra: (a) egyenlő oldalú, (b) egyenlő szárú és (c) derékszögű háromszög Szerkeszthető három adatának ismeretében. (Például: három oldala hosszának ismerete, két oldal és egy szöge ismerete, egy oldala és a két rajtafekvő szögének ismerete.) A szabályos háromszögek két, vagy egy adat ismeretében is megszerkeszthetőek. 5. ábra: Általános háromszög szerkesztése Négyszögek A négyszög négy egyenes vonallal határolt síkidom. A négyszögek jellemzői, hogy négy csúcsuk (A, B, C és D), négy szögük (, és ) és négy oldaluk (a, b, c és d) van. A négyszög belső szögeinek összege 360. A négyszögek lehetnek konkáv és konvex négyszögek. Konvex az a négyszög, amelyben található két olyan pont, amelyeket összekötő egyenes nem teljes egészében a síkidomon belül halad. 2

3 6. ábra: Konkáv és konvex négyszög A szabályos négyszögek az alábbiak lehetnek: négyzet és rombusz, téglalap és paralelogramma, trapéz, deltoid. Négyzet olyan szabályos négyszög, amelynek szemben fekvő és egymás melletti oldalai is egyenlő hosszúságúak. Egymással szemközti oldalai párhuzamosak. Átlói merőlegesen felezik egymást. Minden szöge derékszög. Jelölések: csúcsok A, B, C és D; oldalak a; szögek. Szerkeszthető egy oldala hosszának ismeretében. Példa: adott egy négyzet, amelynek oldala a=15 mm. 7. ábra: Négyzet szerkesztése Rombusz olyan szabályos négyszög, amelynek szemben fekvő és egymás melletti oldalai is egyenlő hosszúságúak. Egymással szemközti oldalai párhuzamosak. Átlói merőlegesen felezik egymást. Szemben fekvő szögei egyenlő nagyságúak. Jelölések: csúcsok A, B, C és D; oldalak a; szögek és. Szerkeszthető egy oldala hosszának és egy szöge nagyságának ismeretében. Példa: adott egy rombusz, amelynek oldala a=30 mm és kisebbik szöge = ábra: Rombusz szerkesztése 3

4 Téglalap olyan szabályos négyszög, amelynek szemben fekvő oldalai egyenlő hosszúságúak. Egymással szemközti oldalai párhuzamosak. Átlói felezik egymást. Szemben fekvő szögei egyenlő nagyságúak. Jelölések: csúcsok A, B, C és D; oldalak a és b; szögek. Szerkeszthető két oldala hosszának ismeretében. Példa: adott egy téglalap, amelynek oldalai a=50 és b=25 mm. 9. ábra: Téglalap szerkesztése Paralelogramma olyan szabályos négyszög, amelynek szemben fekvő oldalai egyenlő hosszúságúak. Egymással szemközti oldalai párhuzamosak. Átlói felezik egymást. Minden szöge derékszög. Jelölések: csúcsok A, B, C és D; oldalak a és b; szögek és. Szerkeszthető két oldala hosszának és egy szöge nagyságának ismeretében. Példa: adott egy paralelogramma, amelynek oldalai a=50, b=25 mm és oldalai által bezárt szöge ábra: Paralelogramma szerkesztése Trapéz olyan szabályos négyszög, amelynek egyik szemben fekvő oldalai párhuzamosak. A trapéz párhuzamos oldalakat (a, c) alapnak, az őket összekötő oldalakat (b, d) száraknak nevezzük. Jelölések: csúcsok A, B, C és D; oldalak a, b, c és d; szögek és. 4

5 11. ábra: Általános trapéz és jellemzői A trapézek lehetnek: általános trapéz, egyenlő szárú trapéz (alapon fekvő szöge és szára egyenlő nagyságúak), derékszögű trapéz (egyik szöge 90 -os). 12. ábra: (a) általános-, (b) egyenlőszárú- és (c) derékszögű trapéz Szerkeszthető négy adatának ismeretében. Példa: adott egy trapéz, amelynek oldalai a=50, b=30 és c=40 mm, továbbá egy szöge = ábra: Általános trapéz szerkesztése Deltoid olyan tengelyesen szimmetrikus négyszög, melynek az egyik átlója szimmetriatengely és melynek két-két egymás melletti oldala azonos hosszúságú. Az egyik átló merőlegesen metszi a másikat, és felezi azt. A deltoidnak létezik konkáv és konvex változata is. 5

6 Szerkeszthető három adatának ismeretében. 14. ábra: Deltoid és jellemzői Példa: Adott egy deltoid átlóinak hossza e=30, f=60 mm. Az egyik átló 1:2 arányba osztja a másikat. Kör és részei 15. ábra: Deltoid szerkesztése Kör olyan pontok mértani helye, amelyek egy ponttól a kör középpontjától (O pont) azonos távolságban (r sugár) helyezkednek el. A kör egyenessel (egyenesekkel) való metszésekor további síkidomok jönnek létre amelyeket körszeletnek és körcikknek nevezünk. 16. ábra: Kör és jellemzői, körrészek 6

7 Az érintő olyan egyenes (e), amelynek pontosan egy közös pontja van a körrel (E). A szelő (s) olyan egyenes, amely két pontban (P 1 és P 2 ) metszi a körvonalat. A húr olyan szakasz, mely a szelő s egyenes része, és végpontjai a körvonal pontjai (P 1 és P 2 ). A húr a kör síkterületét két szeletre bontja. A sugár (r) a kör középpontját és a kör egy pontját összekötő szakasz. Az átmérő (d) olyan húr, mely áthalad a kör középpontján. Az átmérő hossza kétszer akkora, mint a sugár hossza (d=2r). Az ív (i) a körvonal egy szakasza. A körcikk olyan síkidom, melyet két sugár, és egy ív határol. Ennek speciális esete a félkör, mely egyben speciális szelet is. A körgyűrű két koncentrikus kör közé eső sík rész. Szerkeszthető két vagy három adatának ismeretében. Példa: Adott egy körcikk, amelynek sugara r=40 mm és központi szöge ábra: Körcikk szerkesztése Ellipszis Ellipszis 2 azon pontok mértani helye egy síkon, ahol a pontok két rögzített ponttól (F 1 és F 2 ) mért távolságának összege állandó. A két pontot fókuszpontnak vagy gyújtópontnak hívják. Az ellipszis kúpszelet: ha egy kúpfelületet egy olyan síkkal metsszük, amely nem metszi a kúp alaplapját (és nem is párhuzamos azzal), a metszésvonal ellipszis lesz. 18. ábra: Ellipszis és jellemző 2 7

8 Példa: Adottak egy ellipszis fókuszpontjai (F 1, F 2 ) és a nagytengely hossza 2a=80. Összetett síkidomok 19. ábra: Ellipszis szerkesztése Olyan síkidomok, amely több elemi síkidom összevonásával, vagy eltávolításával képezhető. A keletkezett síkidom paraméterei elemi síkidomokra bontással kezelhetőek. A műveletek jellemzően a lemezalkatrészek kialakítása során alkalmazott a gépészet területén. A továbbiakban néhány példát láthatunk a problémák kezelésére. 20. ábra:összetett és elemi részekre bontott alkatrész Példa: Határozd meg az alábbi összetett lemezalkatrész elemi részeit és nevez meg azokat! 21. ábra: Összetett lemezalkatrész 8

9 22. ábra: Elemi részekre bontott lemezalkatrész (additív) Az összetett alkatrész háromszögekből (H1), négyszögekből (N1, N2, N3 és N4), továbbá körcikkekből (K1) és "negatív" körcikkekből (K2) áll. A jelenlegi felosztás során additív módon bontottuk fel az alkatrészt, ami azt jelenti, hogy minden egyes elem területét össze kell adni ahhoz, hogy megkapjuk az alkatrész területét. 23. ábra: Elemi részekre bontott lemezalkatrész (szubtraktív) A jelenlegi felosztás során szubtraktív módon bontottuk fel az alkatrészt, ami azt jelenti, hogy minden egyes elem területét le kell vonni ahhoz, hogy megkapjuk az alkatrész területét. Ez a módszer a hagyományos gyártási eljárásoknak megfelelően közelít a probléma megoldásához. Vagyis az eredeti kiinduló négyszög alakú alapanyagból fémalakítási módszereknek megfelelően (darabok le/kivágásával) készítjük el a végleges alkatrészt. Mint látható az utóbbi megoldás egyszerűbb megoldást eredményezett. 9