Koordináta - geometria I.

Átírás

1 Koordináta - geometria I A koordináta geometria témaköre geometriai problémákat old meg algebrai módszerekkel úgy, hogy a geometriai fogalmaknak algebrai fogalmakat feleltet meg: a pontokat, vektorokat rendezett számpárral (koordinátákkal), a vonalakat pedig egyenlettel jellemezzük Megjegyzés: Egy vektor koordinátái megegyeznek az origó kezdőpontú reprezentánsa végpontjának koordinátáival, vagyis egy pont és a pont helyvektorának koordinátái megegyeznek A koordináta rendszer x - tengelyét abszcisszatengelynek, az y - tengelyét ordináta tengelynek nevezzük Egy adott pont első koordinátáját a pont abszcisszájának, a második koordinátáját a pont ordinátájának nevezzük A koordináta rendszer kölcsönösen egyértelmű hozzárendelést létesít a sík pontjai és a rendezett számpárok között Az A (a 1 ; a 2 ) és B (b 1 ; b 2 ) pontok távolsága, vagyis az AB szakasz, illetve az AB vektor hossza: d AB = AB = AB = (b 1 a 1 ) 2 + (b 2 a 2 ) 2 Az A (a 1 ; a 2 ) és B (b 1 ; b 2 ) pontokkal megadott szakasz F (f 1 ; f 2 ) felezőpontjának koordinátái egyenlők a megfelelő koordináták összegének felével: f 1 = a 1 + b 2 2 és f 2 = a 2 + b 2 2 Az A (a 1 ; a 2 ) és B (b 1 ; b 2 ) pontokkal megadott szakasz A hoz közelebbi H 1 (x 1 ; y 1 ) harmadoló pontjának koordinátái: x 1 = 2a 1 + b 1 és y 1 = 2a 2 + b 2 Az A (a 1 ; a 2 ) és B (b 1 ; b 2 ) pontokkal megadott szakasz B hez közelebbi H 2 (x 2 ; y 2 ) harmadoló pontjának koordinátái: x 2 = a 1 + 2b 1 és y 2 = a 2 + 2b 2 1

2 Az A (a 1 ; a 2 ) és B (b 1 ; b 2 ) pontokkal megadott szakaszt m n arányban osztó P (p 1 ; p 2 ) pont koordinátái: p 1 = n a 1 + m b 1 m + n és p 2 = n a 2 + m b 2 m + n Megjegyzés: Ha m = n = 1, akkor P pont a szakasz felezőpontja Ha m = 1 és n = 2, vagy m = 2 és n = 1, akkor a P pont a szakasz harmadoló pontja Az A (a 1 ; a 2 ), B (b 1 ; b 2 ) és C (c 1 ; c 2 ) csúcspontú háromszög S (s 1 ; s 2 ) súlypontjának koordinátái: s 1 = a 1 + b 1 + c 1 és s 2 = a 2 + b 2 + c 2 Az A (a 1 ; a 2 ), B (b 1 ; b 2 ), C (c 1 ; c 2 ) és D (d 1 ; d 2 ) csúcspontú négyszög S (s 1 ; s 2 ) súlypontjának koordinátái: s 1 = a 1 + b 1 + c 1 + d 1 4 és s 2 = a 2 + b 2 + c 2 + d 2 4 2

3 Gyakorló feladatok K: középszintű feladat E: emelt szintű feladat 1 (K) Határozd meg a szakasz hosszát, ha a végpontok koordinátái: A ( 1; ) és B (5; 2)! 2 (K) Határozd meg az A ( ; ), B ( 5; 7) és C (; 4) csúcsokkal rendelkező háromszög kerületét és területét! (K) Határozd meg azt a P pontot az ordinátatengelyen, amelynek az A (; 1) ponttól való távolsága 5 egység! 4 (K) Határozd meg az x - tengelynek azt a P pontját, amely az A (0; 0) és a B (9; ) koordinátájú pontoktól egyenlő távolságra van! 5 (K) Határozd meg a kör középpontjának koordinátáit, ha a kör áthalad a P ( 4; 2) ponton és az x - tengelyt az E (2; 0) pontban érinti! 6 (K) Számítsd ki a háromszög köré írható kör középpontjának koordinátáit és a kör sugarát, ha a csúcsainak koordinátái: A (0; 2), B (1; 1) és C (2; 2)! 7 (K) Határozd meg a PQ szakasz felezőpontjának koordinátáit, ha a szakasz végpontjai: P ( 5; 7) és a Q (1; 1)! 8 (K) Határozd meg az A pont koordinátáit, ha B (2; ) és az AB szakasz felezőpontja F ( 1; 4)! 9 (K) Az ABCD négyszög csúcsai A ( 6; 2), B (5; 1), C (6; 4) és D (; 6) Határozd meg a négyszög középvonalainak felezőpontjait!

4 10 (K) Egy téglalap két csúcsa A ( ; ) és B (2; ) Átlói metszéspontjának ordinátája 0 Határozd meg a hiányzó csúcsok koordinátáit, és számítsd ki a téglalap területét! 11 (K) Egy egyenlő szárú háromszög alapjának csúcsai az A (2; 1) és a B (6; 5) koordinátájú pontok A harmadik C csúcsa az x - tengelyen van Mekkora a háromszög területe? 12 (K) Adott egy paralelogramma A ( 2; 2), B (2; ) és C ( 5; 4) csúcsa Határozd meg a negyedik csúcs koordinátáit! Mennyi megoldás van? 1 (K) Adott egy háromszög oldalfelező pontjai: F AB ( 2; 2), F AC (5; 1) és F BC (; 4) Határozd meg a háromszög csúcsainak koordinátáit! 14 (K) Adott egy paralelogramma A (0; 5) és B ( 1; 1) csúcsa, továbbá az átlók M (2; ) metszéspontja Számítsd ki a paralelogramma hiányzó csúcsinak koordinátáit! 15 (K) Az A ( 4; 7) pontot tükrözzük a B (5; 2) pontra Számítsd ki az A koordinátáit! 16 (K) Az A (0; 0), B (; 6), C (8; 2) csúcsokkal megadott háromszöget az A pontból kétszeresére nagyítjuk Számítsd ki a kapott A B C háromszög B és C csúcsainak koordinátáit! 17 (K) A koordináta rendszer O kezdőpontjának tükörképe az A (5; 5) pontra O 1, az O 1 tükörképe a B pontra O 2, az O 2 tükörképe a C (1; 7) pontra ismét az O Számítsd ki a B pont koordinátáit, és bizonytasd be, hogy az OABC négyszög rombusz! 18 (E) Adott az A (; 4) és B (6; 1) pontok által meghatározott szakasz Számítsd ki az A - hoz, illetve B - hez közelebbi harmadoló pontok koordinátáit! 19 (E) Írd fel az A ( 6; ) és B (5; 4) pontok által meghatározott szakasz azon P pontjának koordinátáit, amelyre AP PB = 5 2! 4

5 20 (E) Írd fel az AB szakasz B végpontjának koordinátáit, ha A ( ; 0), továbbá AP PB = 2 és P (1; 2)! 21 (E) Adott az A (; 5) és B (9; 2) pont Az AB szakaszt 5 egyenlő részre osztjuk Számítsd ki az osztópontok koordinátáit! 22 (E) Az ABC háromszög csúcspontjainak koordinátái A (6; 6), B (1; 4) és C ( 2; 5) A háromszöget az O ( 4; 4) pontból nagyítjuk a háromszorosára Határozd meg a képháromszög csúcspontjainak koordinátáit! 2 (E) Adott az A ( 1; 4) és B (2; 5) pont Határozd meg a A pontnak a B középpontú λ = 5 arányszámú középpontos hasonlóságával kapott A képét! 24 (E) Milyen arányban osztja a P (; 1) pont az AB szakaszt, ha a szakasz végpontjai: A ( ; 1) és B (12; 4)? 25 (E) Milyen arányban osztja ketté a P (2; 4) pont az A ( 1; 2) és B (; 7) pontok által meghatározott szakaszt? 26 (E) Adott az A (2; 7) és a B (6; 5) pont Határozd meg az AB egyenesén azt a P pontot, melyre AP PB = 7 4 teljesül! 27 (E) Az A (; 2) és B (7; ) pontokat összekötő szakaszt hosszabbítsuk meg a B ponton túl a felével Határozd meg az így kapott C pont koordinátáit! 28 (K) Számítsd ki az A ( 2; 0), B (5; 4) és C (1; 1) pontok által meghatározott háromszög súlypontjának koordinátáit! 29 (K) Határozd meg az ABC háromszög AB oldalának felezőpontját, ha adott a C csúcsa és az S súlypontja: C ( 1; 1) és S (1; 2)! 5

6 0 (K) Az ABC háromszög C csúcsa az ordinátatengelyre, az S súlypontja az abszcisszatengelyre esik Határozd meg a C és S pontok koordinátáit, ha a háromszög másik két csúcsa A (4; 1) és B (5; )! 1 (K) Adott egy háromszög A (5; 2) és B ( ; ) csúcsa, továbbá az S (4; 7) súlypontja Számítsd ki a háromszög hiányzó csúcsának koordinátáit! 2 (K) Az ABC háromszög A csúcsának helyvektora a ( 2; ), AB = 7i 2j és CB = i 6j Számítsd ki a háromszög csúcsainak és súlypontjának koordinátáit! (E) Bizonyítsd be, hogy az A (10; 4), B (; 5), C (1; 1) koordinátájú pontok derékszögű háromszöget feszítenek ki! Számítsd ki a háromszög köré írt körének területét! 4 (E) Egy egyenlő szárú derékszögű háromszög átfogójának végpontjai: A (2; 1) és B ( 4; ) Számítsd ki a harmadik csúcs koordinátiát! 5 (E) Egy rombusz két szemközti csúcsának koordinátái: B ( ; 7), D (5; 11) Az AC átló a BD átló kétszerese Határozd meg az A és a C csúcsok koordinátáit! 6 (E) Egy deltoid három csúcsának koordinátái: A (8; 5), B (5; 6) és C (2; 2), a szimmetriatengelye az AC egyenes Számítsd ki a deltoid negyeidk csúcsának koordinátáit! Mekkora a deltoid területe? 7 (K) Egy kör középpontja a K (0; 1) pont és érinti az x tengelyt Áthalad e a kör a P 1 (11; 6) és a P 2 ( 5; 1) pontokon? 8 (K) Számítsd ki annak a paralelogrammának a területét, amelynek három egymást követő csúcsa pozitív körüljárási irányban: A ( ; 4), B ( 2; 1) és C (; 1)! 9 (E) Határozd meg annak a körnek a sugarát, amelynek középpontja a C (; 1) pont és a 6 hosszúságegységnyi húrját a P (6; 5) pont felezi! 40 (E) Adottak az ABC háromszög csúcsai: A (5; 2), B (8; 6) és C ( ; 8) Számítsd ki annak a P pontnak a koordinátáit, amelyet az A pontból induló szögfelező metsz ki a szemközti oldalból! 6

7 Felhasznált irodalom (1) Hajdu Sándor; 2004; Matematika 11; Műszaki Könyvkiadó; Budapest (2) Urbán János; 200; Sokszínű matematika 11; Mozaik Kiadó; Szeged () Ábrahám Gábor; 2010; Matematika emelt szint; Maxim Könyvkiadó; Szeged (4) Urbán János; 2012; Sokszínű matematika feladatgyűjtemény 11; Mozaik Kiadó; Szeged (5) Czapáry Endre; 2006; Matematika gyakorló és érettségire felkészítő feladatgyűjtemény III; Nemzeti Tankönyvkiadó; Budapest (6) Czapáry Endre; 2009; Geometriai feladatok gyűjteménye II; Nemzeti Tankönyvkiadó; Budapest (7) Korányi Erzsébet; 1998; Összefoglaló feladatgyűjtemény matematikából; Nemzeti Tankönyvkiadó; Budapest (8) Vancsó Ödön; 2005; Egységes Érettségi Feladatgyűjtemény Matematika II; Konsept H Könyvkiadó; Piliscsaba (9) Ruff János; 2012; Érettségi feladatgyűjtemény matematikából évfolyam; Maxim Kiadó; Szeged (10) Fröhlich Lajos; 2006; Alapösszefüggések matematikából emelt szint; Maxim Kiadó; Szeged (11) (12) Saját anyagok 7