Fejezetek a Matematika
|
|
- Tibor Farkas
- 7 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 Fejezetek a Matematika Kultúrtörténetéből Dormán Miklós Szegedi Tudományegyetem TTIK Bolyai Intézet szeptember 14.
2 A történelem előtti idők
3 A Lebombói csont (kb. i.e , Afrika)
4 Az Ishangói csont i.e (20000 évnél is régebbi lehet, Afrika)
5 A számadók figurái i.e. 4000, (University of Texas, Austin)
6 A számadók figurái i.e. 3300, (Musée du Louvre, Párizs)
7 A számadók agyagba burkolt figurái i.e (Royal Ontario Museum, Torontó)
8 A számadók agyagba burkolt figurái i.e (Royal Ontario Museum, Torontó)
9 Babilon
10
11 Matematikai szövegek két korszakból származnak:
12 Matematikai szövegek két korszakból származnak: Óbabiloni korszak (kb. i.e )
13 Matematikai szövegek két korszakból származnak: Óbabiloni korszak (kb. i.e ) Szeleukida-kor (kb. i.e )
14 Matematikai szövegek két korszakból származnak: Óbabiloni korszak (kb. i.e ) Szeleukida-kor (kb. i.e ) Írásos emlékek
15 Matematikai szövegek két korszakból származnak: Óbabiloni korszak (kb. i.e ) Szeleukida-kor (kb. i.e ) Írásos emlékek Az első számottevő leletegyüttes: Assur-Ban-Apli ninivei könyvtára (1853).
16 Matematikai szövegek két korszakból származnak: Óbabiloni korszak (kb. i.e ) Szeleukida-kor (kb. i.e ) Írásos emlékek Az első számottevő leletegyüttes: Assur-Ban-Apli ninivei könyvtára (1853). A behisztuni sziklán lévő háromnyelvű felirat (óperzsa, elámi és babilóni), amely lehetővé tette az ékírás megfejtését (1830-as évek).
17 Fejezetek a matematika kultu rto rte nete bo l 1. Babilon, Egyiptom e s a Go ro go k
18 Óbabilon (XIX-XVI. század)
19 Óbabilon (XIX-XVI. század) Amoriták betelepülése
20 Óbabilon (XIX-XVI. század) Amoriták betelepülése Hammurápi ( ) Sumer és Akkád királya
21 Óbabilon (XIX-XVI. század) Amoriták betelepülése Hammurápi ( ) Sumer és Akkád királya Hammurapi törvénykönyve
22 Óbabilon (XIX-XVI. század) Amoriták betelepülése Hammurápi ( ) Sumer és Akkád királya Hammurapi törvénykönyve A közigazgatás és a kultúra nyelve az akkád
23 Óbabilon (XIX-XVI. század) Amoriták betelepülése Hammurápi ( ) Sumer és Akkád királya Hammurapi törvénykönyve A közigazgatás és a kultúra nyelve az akkád Irattár Mariban kb agyagtáblával
24 Óbabilon (XIX-XVI. század) Amoriták betelepülése Hammurápi ( ) Sumer és Akkád királya Hammurapi törvénykönyve A közigazgatás és a kultúra nyelve az akkád Irattár Mariban kb agyagtáblával Ékírásos táblák matematikai szöveggel
25
26 Az e kı ra sos sza mı ra s ro vid to rte nete Fejezetek a matematika kultu rto rte nete bo l 1. Babilon, Egyiptom e s a Go ro go k
27 Az e kı ra sos sza mı ra s ro vid to rte nete I Csak szigoru an matematikai e s csillaga szati szo vegekben alkalmazta k ko vetkezetesen a hatvanas (szexagezima lis) sza mrendszert. Fejezetek a matematika kultu rto rte nete bo l 1. Babilon, Egyiptom e s a Go ro go k
28 Az e kı ra sos sza mı ra s ro vid to rte nete I Csak szigoru an matematikai e s csillaga szati szo vegekben alkalmazta k ko vetkezetesen a hatvanas (szexagezima lis) sza mrendszert. I Ma s esetekben (pl.: da tum, su ly- e s teru letme rte kek) vegyes rendszert alkalmaztak. Fejezetek a matematika kultu rto rte nete bo l 1. Babilon, Egyiptom e s a Go ro go k
29 Az e kı ra sos sza mı ra s ro vid to rte nete I Csak szigoru an matematikai e s csillaga szati szo vegekben alkalmazta k ko vetkezetesen a hatvanas (szexagezima lis) sza mrendszert. I Ma s esetekben (pl.: da tum, su ly- e s teru letme rte kek) vegyes rendszert alkalmaztak. Fejezetek a matematika kultu rto rte nete bo l 1. Babilon, Egyiptom e s a Go ro go k
30 Az e kı ra sos sza mı ra s ro vid to rte nete I Csak szigoru an matematikai e s csillaga szati szo vegekben alkalmazta k ko vetkezetesen a hatvanas (szexagezima lis) sza mrendszert. I Ma s esetekben (pl.: da tum, su ly- e s teru letme rte kek) vegyes rendszert alkalmaztak. Az 1 jele az e k. Fejezetek a matematika kultu rto rte nete bo l 1. Babilon, Egyiptom e s a Go ro go k
31 Az e kı ra sos sza mı ra s ro vid to rte nete I Csak szigoru an matematikai e s csillaga szati szo vegekben alkalmazta k ko vetkezetesen a hatvanas (szexagezima lis) sza mrendszert. I Ma s esetekben (pl.: da tum, su ly- e s teru letme rte kek) vegyes rendszert alkalmaztak. Az 1 jele az e k. Fejezetek a matematika kultu rto rte nete bo l A 10 jele a sarokpa nt. 1. Babilon, Egyiptom e s a Go ro go k
32 VAT kb. i.e , (Fara Vorderasiatisches Museum, Berlin) Fejezetek a matematika kultu rto rte nete bo l 1. Babilon, Egyiptom e s a Go ro go k
33 VAT kb. i.e , (Fara Vorderasiatisches Museum, Berlin) Fejezetek a matematika kultu rto rte nete bo l 1. Babilon, Egyiptom e s a Go ro go k
34 VAT kb. i.e , (Fara Vorderasiatisches Museum, Berlin) Fejezetek a matematika kultu rto rte nete bo l 1. Babilon, Egyiptom e s a Go ro go k
35
36 Az ék nemcsak az 1-et, hanem a 60 bármely egész kitevős hatványát is jelölhette.
37 Az ék nemcsak az 1-et, hanem a 60 bármely egész kitevős hatványát is jelölhette. Az sarokpánt nemcsak a 10-et, hanem a 60 bármely egész kitevős hatványának 10-szeresét is jelölhette.
38 Az ék nemcsak az 1-et, hanem a 60 bármely egész kitevős hatványát is jelölhette. Az sarokpánt nemcsak a 10-et, hanem a 60 bármely egész kitevős hatványának 10-szeresét is jelölhette.
39 Az ék nemcsak az 1-et, hanem a 60 bármely egész kitevős hatványát is jelölhette. Az sarokpánt nemcsak a 10-et, hanem a 60 bármely egész kitevős hatványának 10-szeresét is jelölhette.
40 Az ék nemcsak az 1-et, hanem a 60 bármely egész kitevős hatványát is jelölhette. Az sarokpánt nemcsak a 10-et, hanem a 60 bármely egész kitevős hatványának 10-szeresét is jelölhette. VAT 7858 Vorderasiatisches Museum, Berlin ( A tíz szorzótáblája. )
41
42 Helyiértékes számírást alkalmaztak, de 60-ig tizes számrendszerben írták a számokat.
43 Helyiértékes számírást alkalmaztak, de 60-ig tizes számrendszerben írták a számokat. A nulla hiánya miatt egy-egy számot többféleképpen is lehet olvasni.
44 Helyiértékes számírást alkalmaztak, de 60-ig tizes számrendszerben írták a számokat. A nulla hiánya miatt egy-egy számot többféleképpen is lehet olvasni.
45 Helyiértékes számírást alkalmaztak, de 60-ig tizes számrendszerben írták a számokat. A nulla hiánya miatt egy-egy számot többféleképpen is lehet olvasni.
46 Helyiértékes számírást alkalmaztak, de 60-ig tizes számrendszerben írták a számokat. A nulla hiánya miatt egy-egy számot többféleképpen is lehet olvasni.
47 Helyiértékes számírást alkalmaztak, de 60-ig tizes számrendszerben írták a számokat. A nulla hiánya miatt egy-egy számot többféleképpen is lehet olvasni. Mi lehet ez a szám?
48 Helyiértékes számírást alkalmaztak, de 60-ig tizes számrendszerben írták a számokat. A nulla hiánya miatt egy-egy számot többféleképpen is lehet olvasni. Mi lehet ez a szám? =
49 Helyiértékes számírást alkalmaztak, de 60-ig tizes számrendszerben írták a számokat. A nulla hiánya miatt egy-egy számot többféleképpen is lehet olvasni. Mi lehet ez a szám? = = 4809
50 Helyiértékes számírást alkalmaztak, de 60-ig tizes számrendszerben írták a számokat. A nulla hiánya miatt egy-egy számot többféleképpen is lehet olvasni. Mi lehet ez a szám? = = = =
51 Otto Neugebauer ( ) ötlete: A számokat 60-as számrendszerben, de decimális jegyekkel írjuk: = 4809 = 1, 20, = = 1, 20; 9.
52 Otto Neugebauer ( ) ötlete: A számokat 60-as számrendszerben, de decimális jegyekkel írjuk: = 4809 = 1, 20, = = 1, 20; 9. Késői szövegekben, csillagászati számításokban speciális jelet használtak a nullára:
53 Otto Neugebauer ( ) ötlete: A számokat 60-as számrendszerben, de decimális jegyekkel írjuk: = 4809 = 1, 20, = = 1, 20; 9. Késői szövegekben, csillagászati számításokban speciális jelet használtak a nullára:
54 Otto Neugebauer ( ) ötlete: A számokat 60-as számrendszerben, de decimális jegyekkel írjuk: = 4809 = 1, 20, = = 1, 20; 9. Késői szövegekben, csillagászati számításokban speciális jelet használtak a nullára:
55 Otto Neugebauer ( ) ötlete: A számokat 60-as számrendszerben, de decimális jegyekkel írjuk: = 4809 = 1, 20, = = 1, 20; 9. Késői szövegekben, csillagászati számításokban speciális jelet használtak a nullára:
56 Otto Neugebauer ( ) ötlete: A számokat 60-as számrendszerben, de decimális jegyekkel írjuk: = 4809 = 1, 20, = = 1, 20; 9. Késői szövegekben, csillagászati számításokban speciális jelet használtak a nullára: 1, 0, 4 = 3604
57
58 YBC 4652: az óbabiloni időszakból (i.e ) származó tábla, amely eredetileg 22 feladatot tartalmazott. Egy tipikus feladat a tábláról: Találtam egy követ, de nem mértem meg. Miután kimértem a súlyának a hatszorosát, és hozzáadtam 2 gint, és hozzáadtam egy heted egy harmadát huszonnéggyel szorozva, megmértem. Az eredmény egy ma-na volt. Mi volt a kő eredeti súlya? (1 ma-na súlya 60 gin.)
59 YBC 4652: az óbabiloni időszakból (i.e ) származó tábla, amely eredetileg 22 feladatot tartalmazott. Egy tipikus feladat a tábláról: Találtam egy követ, de nem mértem meg. Miután kimértem a súlyának a hatszorosát, és hozzáadtam 2 gint, és hozzáadtam egy heted egy harmadát huszonnéggyel szorozva, megmértem. Az eredmény egy ma-na volt. Mi volt a kő eredeti súlya? (1 ma-na súlya 60 gin.)
60 YBC 4652: az óbabiloni időszakból (i.e ) származó tábla, amely eredetileg 22 feladatot tartalmazott. Egy tipikus feladat a tábláról: Találtam egy követ, de nem mértem meg. Miután kimértem a súlyának a hatszorosát, és hozzáadtam 2 gint, és hozzáadtam egy heted egy harmadát huszonnéggyel szorozva, megmértem. Az eredmény egy ma-na volt. Mi volt a kő eredeti súlya? (1 ma-na súlya 60 gin.)
61 YBC 4652: az óbabiloni időszakból (i.e ) származó tábla, amely eredetileg 22 feladatot tartalmazott. Egy tipikus feladat a tábláról: Találtam egy követ, de nem mértem meg. Miután kimértem a súlyának a hatszorosát, és hozzáadtam 2 gint, és hozzáadtam egy heted egy harmadát huszonnéggyel szorozva, megmértem. Az eredmény egy ma-na volt. Mi volt a kő eredeti súlya? (1 ma-na súlya 60 gin.) (6x + 2) (6x + 2) = 60 7
62
63 BM 13901: az óbabiloni időszakból származó tábla. Egy feladat a tábláról: Hétszer összeadtam a négyzet oldalát, és tizenegyszer a területét, [így lett] 6; 15.
64 BM 13901: az óbabiloni időszakból származó tábla. Egy feladat a tábláról: Hétszer összeadtam a négyzet oldalát, és tizenegyszer a területét, [így lett] 6; 15.
65 BM 13901: az óbabiloni időszakból származó tábla. Egy feladat a tábláról: Hétszer összeadtam a négyzet oldalát, és tizenegyszer a területét, [így lett] 6; 15.
66 BM 13901: az óbabiloni időszakból származó tábla. Egy feladat a tábláról: Hétszer összeadtam a négyzet oldalát, és tizenegyszer a területét, [így lett] 6; 15. A megoldandó egyenlet modern feĺırásban: ax 2 + bx = c, ahol a = 11, b = 7 és c = 6; 15 =
67 A feladat megoldása az alábbi:
68 A feladat megoldása az alábbi: Leírjuk, hogy 7 és 11. A 6; 15-öt megszorozzuk 11-gyel, [így lesz] 1, 8; 45.
69 A feladat megoldása az alábbi: Leírjuk, hogy 7 és 11. A 6; 15-öt megszorozzuk 11-gyel, [így lesz] 1, 8; 45. Vesszük a 7 felét, [ez lesz] 3; 30 és 3; 30.
70 A feladat megoldása az alábbi: Leírjuk, hogy 7 és 11. A 6; 15-öt megszorozzuk 11-gyel, [így lesz] 1, 8; 45. Vesszük a 7 felét, [ez lesz] 3; 30 és 3; 30. Ezt összeszorozzuk [így lesz] 12; 15.
71 A feladat megoldása az alábbi: Leírjuk, hogy 7 és 11. A 6; 15-öt megszorozzuk 11-gyel, [így lesz] 1, 8; 45. Vesszük a 7 felét, [ez lesz] 3; 30 és 3; 30. Ezt összeszorozzuk [így lesz] 12; 15. [Ezt] hozzáadjuk az 1, 8; 45-höz [így lesz] 1, 21. Ez a 9 négyzete.
72 A feladat megoldása az alábbi: Leírjuk, hogy 7 és 11. A 6; 15-öt megszorozzuk 11-gyel, [így lesz] 1, 8; 45. Vesszük a 7 felét, [ez lesz] 3; 30 és 3; 30. Ezt összeszorozzuk [így lesz] 12; 15. [Ezt] hozzáadjuk az 1, 8; 45-höz [így lesz] 1, 21. Ez a 9 négyzete. Kivonjuk a 3; 30-at, amit összezoroztunk, a 9-ből. Az eredmény 5; 30.
73 A feladat megoldása az alábbi: Leírjuk, hogy 7 és 11. A 6; 15-öt megszorozzuk 11-gyel, [így lesz] 1, 8; 45. Vesszük a 7 felét, [ez lesz] 3; 30 és 3; 30. Ezt összeszorozzuk [így lesz] 12; 15. [Ezt] hozzáadjuk az 1, 8; 45-höz [így lesz] 1, 21. Ez a 9 négyzete. Kivonjuk a 3; 30-at, amit összezoroztunk, a 9-ből. Az eredmény 5; 30. A 11 reciprokát nem találjuk.
74 A feladat megoldása az alábbi: Leírjuk, hogy 7 és 11. A 6; 15-öt megszorozzuk 11-gyel, [így lesz] 1, 8; 45. Vesszük a 7 felét, [ez lesz] 3; 30 és 3; 30. Ezt összeszorozzuk [így lesz] 12; 15. [Ezt] hozzáadjuk az 1, 8; 45-höz [így lesz] 1, 21. Ez a 9 négyzete. Kivonjuk a 3; 30-at, amit összezoroztunk, a 9-ből. Az eredmény 5; 30. A 11 reciprokát nem találjuk. Mivel kell megszoroznunk a 11-et, hogy 5; 30-at kapjunk?
75 A feladat megoldása az alábbi: Leírjuk, hogy 7 és 11. A 6; 15-öt megszorozzuk 11-gyel, [így lesz] 1, 8; 45. Vesszük a 7 felét, [ez lesz] 3; 30 és 3; 30. Ezt összeszorozzuk [így lesz] 12; 15. [Ezt] hozzáadjuk az 1, 8; 45-höz [így lesz] 1, 21. Ez a 9 négyzete. Kivonjuk a 3; 30-at, amit összezoroztunk, a 9-ből. Az eredmény 5; 30. A 11 reciprokát nem találjuk. Mivel kell megszoroznunk a 11-et, hogy 5; 30-at kapjunk? [A válasz] 0; 30, a négyzet oldala 0; 30.
76 (1) Szorozzuk meg a-t c-vel, ennek eredménye ac.
77 (1) Szorozzuk meg a-t c-vel, ennek eredménye ac. (2) Osszuk el b-t 2-vel, ami b/2.
78 (1) Szorozzuk meg a-t c-vel, ennek eredménye ac. (2) Osszuk el b-t 2-vel, ami b/2. (3) Emeljük négyzetre b/2-t, ez lesz b 2 /4.
79 (1) Szorozzuk meg a-t c-vel, ennek eredménye ac. (2) Osszuk el b-t 2-vel, ami b/2. (3) Emeljük négyzetre b/2-t, ez lesz b 2 /4. (4) Adjuk ezt hozzá ac-hez, ennek eredménye ac + b 2 /4.
80 (1) Szorozzuk meg a-t c-vel, ennek eredménye ac. (2) Osszuk el b-t 2-vel, ami b/2. (3) Emeljük négyzetre b/2-t, ez lesz b 2 /4. (4) Adjuk ezt hozzá ac-hez, ennek eredménye ac + b 2 /4. (5) Ennek vegyük a gyökét, ami ac + b 2 /4.
81 (1) Szorozzuk meg a-t c-vel, ennek eredménye ac. (2) Osszuk el b-t 2-vel, ami b/2. (3) Emeljük négyzetre b/2-t, ez lesz b 2 /4. (4) Adjuk ezt hozzá ac-hez, ennek eredménye ac + b 2 /4. (5) Ennek vegyük a gyökét, ami ac + b 2 /4. (6) Vonjuk ki ebből b/2-t, ekkor kapjuk ( ac + b 2 /4 b/2)-t.
82 (1) Szorozzuk meg a-t c-vel, ennek eredménye ac. (2) Osszuk el b-t 2-vel, ami b/2. (3) Emeljük négyzetre b/2-t, ez lesz b 2 /4. (4) Adjuk ezt hozzá ac-hez, ennek eredménye ac + b 2 /4. (5) Ennek vegyük a gyökét, ami ac + b 2 /4. (6) Vonjuk ki ebből b/2-t, ekkor kapjuk ( ac + b 2 /4 b/2)-t. ac + b (7) Osszuk el a-val, és a válasz x = 2 /4 b/2. a
83 YBC 7289 Yale Egyetem, Babiloni Gyűjtemény
84 Hogyan számolták ki (pozitív) számok négyzetgyökét? A Yale Egyetem babiloni gyűjteményének YBC 7289-es agyagtábláján szerepel a 2 alábbi közeĺıtő értéke: 1; 24, 51, 10 (= = ). Mivel 2 = , ezért 2 1; 24, 51, 10 < 0,
85 Hogyan érték el ezt a meghökkentő pontosságot? A a valós szám értékének kiszámítása iterációval:
86 Hogyan érték el ezt a meghökkentő pontosságot? A a valós szám értékének kiszámítása iterációval: 1. Válasszunk egy a 1 < a közeĺıtést és legyen b 1 = a/a 1. (a 1 = 1, b 1 = 2)
87 Hogyan érték el ezt a meghökkentő pontosságot? A a valós szám értékének kiszámítása iterációval: 1. Válasszunk egy a 1 < a közeĺıtést és legyen b 1 = a/a 1. (a 1 = 1, b 1 = 2) 2. Legyen a 2 = (a 1 + b 1 )/2 és b 2 = a/a 2. (a 2 = 3/2, b 2 = 4/3)
88 Hogyan érték el ezt a meghökkentő pontosságot? A a valós szám értékének kiszámítása iterációval: 1. Válasszunk egy a 1 < a közeĺıtést és legyen b 1 = a/a 1. (a 1 = 1, b 1 = 2) 2. Legyen a 2 = (a 1 + b 1 )/2 és b 2 = a/a 2. (a 2 = 3/2, b 2 = 4/3).
89 Hogyan érték el ezt a meghökkentő pontosságot? A a valós szám értékének kiszámítása iterációval: 1. Válasszunk egy a 1 < a közeĺıtést és legyen b 1 = a/a 1. (a 1 = 1, b 1 = 2) 2. Legyen a 2 = (a 1 + b 1 )/2 és b 2 = a/a 2. (a 2 = 3/2, b 2 = 4/3).
90 Hogyan érték el ezt a meghökkentő pontosságot? A a valós szám értékének kiszámítása iterációval: 1. Válasszunk egy a 1 < a közeĺıtést és legyen b 1 = a/a 1. (a 1 = 1, b 1 = 2) 2. Legyen a 2 = (a 1 + b 1 )/2 és b 2 = a/a 2. (a 2 = 3/2, b 2 = 4/3). Ekkor teljesülnek a következők tetszőleges n természetes számra: a az a n és b n számok közé esik,
91 Hogyan érték el ezt a meghökkentő pontosságot? A a valós szám értékének kiszámítása iterációval: 1. Válasszunk egy a 1 < a közeĺıtést és legyen b 1 = a/a 1. (a 1 = 1, b 1 = 2) 2. Legyen a 2 = (a 1 + b 1 )/2 és b 2 = a/a 2. (a 2 = 3/2, b 2 = 4/3). Ekkor teljesülnek a következők tetszőleges n természetes számra: a az a n és b n számok közé esik, b n a n < b n+1 a n+1
92 Az eljárást elegendően sokszor végrehajtva a értéke tetszőleges pntossággal kiszámítható. Az algoritmust későbbi korok számos tudósának tulajdonították:
93 Az eljárást elegendően sokszor végrehajtva a értéke tetszőleges pntossággal kiszámítható. Az algoritmust későbbi korok számos tudósának tulajdonították: Arkhütasz (kb , az utolsó nagy pitagoreus)
94 Az eljárást elegendően sokszor végrehajtva a értéke tetszőleges pntossággal kiszámítható. Az algoritmust későbbi korok számos tudósának tulajdonították: Arkhütasz (kb , az utolsó nagy pitagoreus) (alexandriai) Heron (kb. 100)
95 Az eljárást elegendően sokszor végrehajtva a értéke tetszőleges pntossággal kiszámítható. Az algoritmust későbbi korok számos tudósának tulajdonították: Arkhütasz (kb , az utolsó nagy pitagoreus) (alexandriai) Heron (kb. 100) Isaac Newton ( )
96 Összefoglalás. Algebra és aritmetika Egyismeretlenes egyenletek:
97 Összefoglalás. Algebra és aritmetika Egyismeretlenes egyenletek: ax = b,
98 Összefoglalás. Algebra és aritmetika Egyismeretlenes egyenletek: ax = b, x 2 = a,
99 Összefoglalás. Algebra és aritmetika Egyismeretlenes egyenletek: ax = b, x 2 = a, x 2 ± ax = b,
100 Összefoglalás. Algebra és aritmetika Egyismeretlenes egyenletek: ax = b, x 2 = a, x 2 ± ax = b, x 3 = a,
101 Összefoglalás. Algebra és aritmetika Egyismeretlenes egyenletek: ax = b, x 2 = a, x 2 ± ax = b, x 3 = a, x 2 (x + 1) = a.
102 Összefoglalás. Algebra és aritmetika Egyismeretlenes egyenletek: ax = b, x 2 = a, x 2 ± ax = b, x 3 = a, x 2 (x + 1) = a. Kétismeretlenes egyenletrendszerek:
103 Összefoglalás. Algebra és aritmetika Egyismeretlenes egyenletek: ax = b, x 2 = a, x 2 ± ax = b, x 3 = a, x 2 (x + 1) = a. Kétismeretlenes egyenletrendszerek: x ± y = a, xy = b,
104 Összefoglalás. Algebra és aritmetika Egyismeretlenes egyenletek: ax = b, x 2 = a, x 2 ± ax = b, x 3 = a, x 2 (x + 1) = a. Kétismeretlenes egyenletrendszerek: x ± y = a, xy = b, x ± y = a, x 2 + y 2 = b.
105 Összefoglalás. Ismerték az alábbi képleteket
106 Összefoglalás. Ismerték az alábbi képleteket (a ± b) 2 = a 2 ± 2ab + b 2,
107 Összefoglalás. Ismerték az alábbi képleteket (a ± b) 2 = a 2 ± 2ab + b 2, (a b)(a + b) = a 2 b 2,
108 Összefoglalás. Ismerték az alábbi képleteket (a ± b) 2 = a 2 ± 2ab + b 2, (a b)(a + b) = a 2 b 2, n = 2 n + 2 n 1,
109 Összefoglalás. Ismerték az alábbi képleteket (a ± b) 2 = a 2 ± 2ab + b 2, (a b)(a + b) = a 2 b 2, n = 2 n + 2 n 1, n = 1 n(n + 1), 2
110 Összefoglalás. Ismerték az alábbi képleteket (a ± b) 2 = a 2 ± 2ab + b 2, (a b)(a + b) = a 2 b 2, n = 2 n + 2 n 1, n = 1 n(n + 1), ( n 2 = ) 3 n ( n).
111 Az x 2 + y 2 = z 2 (diofantoszi) egyenletnek eleget tevő (pitagoraszi) számhármasokat az x = p 2 q 2, y = 2pq, z = p 2 + q 2 képletek segítségével találták meg.
112 Plimpton 322 Columbia Egyetem, New York (Plimpton-gyűjtemény)
113
114 Geometria
115 Geometria arányosság párhuzamos szelésnél,
116 Geometria arányosság párhuzamos szelésnél, Pitagorasz-tétel,
117 Geometria arányosság párhuzamos szelésnél, Pitagorasz-tétel, háromszög és trapéz területe,
118 Geometria arányosság párhuzamos szelésnél, Pitagorasz-tétel, háromszög és trapéz területe, kör kerülete: 6r, kör területe: 3r 2,
119 Geometria arányosság párhuzamos szelésnél, Pitagorasz-tétel, háromszög és trapéz területe, kör kerülete: 6r, kör területe: 3r 2, hasáb és henger térfogata,
120 Geometria arányosság párhuzamos szelésnél, Pitagorasz-tétel, háromszög és trapéz területe, kör kerülete: 6r, kör területe: 3r 2, hasáb és henger térfogata, csonkakúp térfogata: 1 2 (3R2 + 3r 2 )h,
121 Geometria arányosság párhuzamos szelésnél, Pitagorasz-tétel, háromszög és trapéz területe, kör kerülete: 6r, kör területe: 3r 2, hasáb és henger térfogata, csonkakúp térfogata: 1 2 (3R2 + 3r 2 )h, négyzetes alap- és fedőlapú csonkagúla térfogata: 1 2 (a2 + b 2 )h.
122
1 Már a I.e.. VIII. évezred elején is lakott volt a kellemetlen ökológiai. 3 Az első városok (falvak) kultikus helyeken 7000-től:
Néhány történelmi mérföldkő Mezopotámia a II. évezred előtt. Hammurapi korának algebrája. Klukovits Lajos SZTE TTIK Bolyai Intézet 013. február 13. 1 Már a I.e.. VIII. évezred elején is lakott volt a kellemetlen
Részletesebben1 Már a I.e. VIII. évezred elején is lakott volt a kellemetlen ökológiai. 3 Az első városok (falvak) kultikus helyeken 7000-től:
Mezopotámia a II. évezred előtt. Az Óbabyloni Birodalom aritmetikája és számelmélete. Klukovits Lajos TTIK Bolyai Intézet 204. február 25. Már a I.e. VIII. évezred elején is lakott volt a kellemetlen ökológiai
RészletesebbenMásodfokú egyenletekre vezető feladatok Hammurapi korából
Másodfokú egyenletekre vezető feladatok Hammurapi korából (Kr.e. XVIII. század) Mikor és hol születtek az első említésre érdemes matematikai eredmények az ókori folyammenti kultúrákban? - Egyiptom: a Kr.
RészletesebbenMatematika az ókori Mezpotámiában
Matematika az ókori Mezpotámiában Mezopotámia története Dormán Miklós SZTE TTIK, Bolyai Intézet 2010. október 15. Rövid történeti áttekintés Mezopotámia (Föld) a folyók között, Rövid történeti áttekintés
RészletesebbenMásodfokú egyenletekre vezető feladatok Hammurapi korából
Másodfokú egyenletekre vezető feladatok Hammurapi korából (Kr.e. XVIII. század) Klukovits Lajos SZTE Bolyai Intézet Alegtöbb tudományban az egymást követő generációk lerombolják azt, amit elődeik építettek.
RészletesebbenÍRÁSBELI BELSŐ VIZSGA MATEMATIKA 8. évfolyam reál tagozat Az írásbeli vizsga gyakorlati és elméleti feladatai a következő témakörökből származnak.
ÍRÁSBELI BELSŐ VIZSGA MATEMATIKA 8. évfolyam reál tagozat Az írásbeli vizsga gyakorlati és elméleti feladatai a következő témakörökből származnak. Időtartam: 60 perc 1. Halmazműveletek konkrét halmazokkal.
RészletesebbenA(a; b) = 2. A(a; b) = a+b. Példák A(37; 49) = x 2x = x = : 2 x = x = x
10. osztály:nevezetes középértékek Összeállította:Keszeg ttila 1 1 számtani közép efiníció 1. (Két nemnegatív szám számtani közepe) Két nemnegatív szám számtani közepének a két szám összegének a felét
RészletesebbenAz YBC 6967 egy ékírásos babilóniai agyagtábla kb. Kr.e ból. Nagyjából így néz ki:
Az YBC 6967 egy ékírásos babilóniai agyagtábla kb. Kr.e. 1500-ból. Nagyjából így néz ki: Előlap: Hátlap: YBC 6967 nyers fordítás Előlap: (1) [Az igib]um az igum felett, 7-tel megy túl, (2) [igum] és igibum
RészletesebbenElemi algebrai eszközökkel megoldható versenyfeladatok Ábrahám Gábor, Szeged
Magas szintű matematikai tehetséggondozás Elemi algebrai eszközökkel megoldható versenyfeladatok Ábrahám Gábor, Szeged Ahhoz, hogy egy diák kimagasló eredményeket érhessen el matematika versenyeken, elengedhetetlenül
RészletesebbenSzámológép nélkül! százasokra:,,zsinór ; ezresekre:,,lótuszvirág ; tízezresekre:,,ujj ; százezresekre:
Számológép nélkül! Manapság az iskolában a matematika órán szinte mindenhez megengedett a számológép használata. Persze mindezen a mai világban már meg se lepődünk, hiszen a mindennapi tevékenységeink
RészletesebbenMATEMATIKA tanterv emelt szint 11-12. évfolyam
MATEMATIKA tanterv emelt szint 11-12. évfolyam Batthyány Kázmér Gimnázium, 2004. 1 TARTALOM 11.osztály (222 óra)... 3 1. Gondolkodási műveletek (35 óra)... 3 2. Számelmélet, algebra (64 óra)... 3 3. Függvények,
RészletesebbenSPECIÁLIS HELYI TANTERV SZAKKÖZÉPISKOLA. matematika
SPECIÁLIS HELYI TANTERV SZAKKÖZÉPISKOLA matematika 9. évfolyam 1. Számtan, algebra 15 óra 2. Gondolkodási módszerek, halmazok, kombinatorika, valószínűség, statisztika 27 óra 3. Függvények, sorozatok,
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Eponenciális és Logaritmikus kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szoálhatnak fontos információval
RészletesebbenXX. Nemzetközi Magyar Matematika Verseny
XX. Nemzetközi Magyar Matematika Verseny Bonyhád, 011. március 11 15. 10. osztály 1. feladat: Legyen egy háromszög három oldalának a hossza a, b és c. Bizonyítsuk be, hogy 3 (a+b+c) ab+bc+ca 4 Mikor állhat
RészletesebbenNumerikus matematika. Irodalom: Stoyan Gisbert, Numerikus matematika mérnököknek és programozóknak, Typotex, Lebegőpontos számok
Numerikus matematika Irodalom: Stoyan Gisbert, Numerikus matematika mérnököknek és programozóknak, Typotex, 2007 Lebegőpontos számok Normák, kondíciószámok Lineáris egyenletrendszerek Legkisebb négyzetes
RészletesebbenIntergrált Intenzív Matematika Érettségi
. Adott a mátri, determináns determináns, ahol,, d Számítsd ki:. b) Igazold, hogy a b c. Adott a az 6 0 egyenlet megoldásai. a). c) Számítsd ki a d determináns értékét. d c a b determináns, ahol abc,,.
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Eponenciális és Logaritmikus kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos
RészletesebbenA 2013/2014. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny második forduló MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató
Oktatási Hivatal A 0/04 tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi erseny második forduló MATEMATIKA I KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató A 57 olyan háromjegyű szám, amelynek számjegyei
Részletesebben352 Nevezetes egyenlôtlenségek. , az átfogó hossza 81 cm
5 Nevezetes egyenlôtlenségek a b 775 Legyenek a befogók: a, b Ekkor 9 + $ ab A maimális ab terület 0, 5cm, az átfogó hossza 8 cm a b a b 776 + # +, azaz a + b $ 88, tehát a keresett minimális érték: 88
RészletesebbenA görög klaszikus kor.
Történeti áttekintés. Történeti mérföldkövek A görög klaszikus kor. Logisztika (aritmetika) és számelmélet. Klukovits Lajos TTIK Bolyai Intézet 2014. március 4. A folyammenti kultúrák hanyatlása a II.
RészletesebbenMinden egész szám osztója önmagának, azaz a a minden egész a-ra.
1. Számelmélet Definíció: Az a egész szám osztója a egész számnak, ha létezik olyan c egész szám, melyre = ac. Ezt a következőképpen jelöljük: a Tulajdonságok: Minden egész szám osztója önmagának, azaz
RészletesebbenTANMENET. a matematika tantárgy tanításához a 12. E osztályok számára
Az iskola fejbélyegzője TANMENET a matematika tantárgy tanításához a 12. E osztályok számára Készítette: Természettudományi Munkaközösség matematikát tanító tanárai Készült: a gimnáziumi tanterv alapján
Részletesebben1. Determinánsok. Oldjuk meg az alábbi kétismeretlenes, két egyenletet tartalmaz lineáris egyenletrendszert:
1 Determinánsok 1 Bevezet definíció Oldjuk meg az alábbi kétismeretlenes, két egyenletet tartalmaz lineáris egyenletrendszert: a 11 x 1 +a 12 x 2 = b 1 a 21 x 1 +a 22 x 2 = b 2 Szorozzuk meg az első egyenletet
RészletesebbenMegyei matematikaverseny évfolyam 2. forduló
Megyei matematikaverseny 0. 9. évfolyam. forduló. különbözı pozitív egész szám átlaga. Legfeljebb mekkora lehet ezen számok közül a legnagyobb? (A) (B) 8 (C) 9 (D) 78 (E) 44. 00 009 + 008 007 +... + 4
RészletesebbenMATEMATIKA. 9 10. évfolyam. Célok és feladatok. Fejlesztési követelmények
MATEMATIKA 9 10. évfolyam 1066 MATEMATIKA 9 10. évfolyam Célok és feladatok A matematikatanítás célja és ennek kapcsán feladata, hogy megalapozza a tanulók korszerű, alkalmazásra képes matematikai műveltségét,
RészletesebbenKözépkori matematika
Fizikatörténet Középkori matematika Horváth András SZE, Fizika és Kémia Tsz. v 1.0 Bevezetés Láttuk korábban: A természettudomány forradalmát a középkor társadalmi, technikai és tudományos eredményei készítik
RészletesebbenFüggvény fogalma, jelölések 15
DOLGO[Z]ZATOK 9.. 1. Függvény fogalma, jelölések 1 1. Az alábbi hozzárendelések közül melyek függvények? a) A magyarországi megyékhez hozzárendeljük a székhelyüket. b) Az egész számokhoz hozzárendeljük
RészletesebbenHatvány, gyök, normálalak
Hatvány, gyök, normálalak 1. Számítsd ki a következő hatványok pontos értékét! 3 5 3 3 1 4 3 3 4 1 7 3 3 75 100 3 0,8 ( ) 6 3 1 3 5 3 1 3 0 999. 3. Számológép használata nélkül számítsd ki a következő
RészletesebbenMATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA 10.B OSZTÁLY HETI 4 ÓRA 37 HÉT/ ÖSSZ 148 ÓRA
MINŐSÉGIRÁNYÍTÁSI ELJÁRÁS MELLÉKLET Tanmenetborító Azonosító: ME-III.1./1 Változatszám: 2 Érvényesség 2013. 09. 01. kezdete: Oldal/összes: 1/7 Fájlnév: ME- III.1.1.Tanmenetborító SZK- DC-2013 MATEMATIKA
RészletesebbenNumerikus matematika vizsga
1. Az a = 2, t = 4, k = 3, k + = 2 számábrázolási jellemzők mellett hány pozitív, normalizált lebegőpontos szám ábrázolható? Adja meg a legnagyobb ábrázolható számot! Mi lesz a 0.8-hoz rendelt lebegőpontos
RészletesebbenMatematika szóbeli érettségi témakörök 2016/2017-es tanév őszi vizsgaidőszak
Matematika szóbeli érettségi témakörök 2016/2017-es tanév őszi vizsgaidőszak Halmazok Halmazok egyenlősége Részhalmaz, valódi részhalmaz Üres halmaz Véges és végtelen halmaz Halmazműveletek (unió, metszet,
RészletesebbenMatematika tanmenet 12. osztály (heti 4 óra)
Matematika tanmenet 12. osztály (heti 4 óra) Tankönyv: Ábrahám Gábor Dr. Kosztolányiné Nagy Erzsébet Tóth Julianna: Matematika 12. középszint Példatárak: Fuksz Éva Riener Ferenc: Érettségi feladatgyűjtemény
Részletesebben2018/2019. Matematika 10.K
Egész éves dolgozat szükséges felszerelés: toll, ceruza, radír, vonalzó, körző, számológép, függvénytáblázat 2 órás, 4 jegyet ér 2019. május 27-31. héten Aki hiányzik, a következő héten írja meg, e nélkül
Részletesebben1. GONDOLKODÁSI MÓDSZEREK, HALMAZOK, KOMBINATORIKA, GRÁFOK
MATEMATIKA TÉMAKÖRÖK 11. évfolyam 1. GONDOLKODÁSI MÓDSZEREK, HALMAZOK, KOMBINATORIKA, GRÁFOK 1.1. HALMAZOK 1.1.1. Halmazok megadásának módjai 1.1.2. Halmazok egyenlősége, részhalmaz, üres halmaz, véges,
RészletesebbenGyakorló feladatok 9.évf. halmaznak, írd fel az öt elemű részhalmazokat!. Add meg a következő halmazokat és ábrázold Venn-diagrammal:
Gyakorló feladatok 9.évf.. Mennyi az összes részhalmaza az A a c; d; e; f halmaznak, írd fel az öt elemű részhalmazokat!. Legyen U ;;;;;6;7;8;9, A ;;6;7; és B ;;8. Add meg a következő halmazokat és ábrázold
RészletesebbenMatematika szóbeli érettségi témakörök 2017/2018-as tanév
Matematika szóbeli érettségi témakörök 2017/2018-as tanév 1. GONDOLKODÁSI MÓDSZEREK, HALMAZOK, LOGIKA, KOMBINATORIKA, GRÁFOK 1.1. HALMAZOK 1.1.1. Halmazok megadásának módjai 1.1.2. Halmazok egyenlősége,
Részletesebbení ö í í ú ű í í í ú í ű í Ü ö ö ö ü ö ö ö í ö ö ö ö Ö Á ö ö É ö ö ú ú ö ö ú ö í Á Á ö Ü Ú í ÁÁ ö í ö í í ú ű í ö ö í ú É í ű í ö ö É í í ű í ű í É í í ü ű ü ű í Á Á í ü í ü í ü ö ű ö É ü É ú Á Ó í í í
RészletesebbenÖ ü ö ü Ö Ö ü ú ó ü ö ö Ö ó Ö ö ú ö ó ö ö ó ö ö ö í í ö ö ü ü ö í ü ö ö í ö í ó ü ö ö í ü í ö í ü ú ü ö Ö ü ö ű ó í ó ó ó ö í ü ó ó ó ö ö ó ö í ó ü ó ó ö ö ü ó ö ö ó ó ó ü ü ó ó ö ö ü í ö ű ö ű ö ö ű í
RészletesebbenGyakorló feladatok javítóvizsgára szakközépiskola matematika 9. évfolyam
Gyakorló feladatok javítóvizsgára szakközépiskola matematika 9. évfolyam Halmazok:. Adott két halmaz: A = kétjegyű pozitív, 4-gyel osztható számok B = 0-nél nagyobb, de 0-nál nem nagyobb pozitív egész
RészletesebbenMatematika. 9.osztály: Ajánlott tankönyv és feladatgyűjtemény: Matematika I-II. kötet (Apáczai Kiadó; AP-090803 és AP-090804)
Matematika A definíciókat és tételeket (bizonyítás nélkül) ki kell mondani, a tananyagrészekhez tartozó alap- és közepes nehézségű feladatokat kell tudni megoldani A javítóvizsga 60 -es írásbeliből áll.
RészletesebbenMatematika osztályozó vizsga témakörei 9. évfolyam II. félév:
Matematika osztályozó vizsga témakörei 9. évfolyam II. félév: 7. Függvények: - függvények fogalma, megadása, ábrázolás koordináta- rendszerben - az elsőfokú függvény, lineáris függvény - a másodfokú függvény
RészletesebbenMechatronika Modul 1: Alapismeretek
Mechatronika Modul : Alapismeretek Oktatói segédlet (Elképzelés) Készítették: Matthias Römer Chemnitz-i Műszaki Egyetem, Szerszámgépek és Gyártási Folyamatok Intézete, Németország Cser Adrienn Corvinus
RészletesebbenMegoldások 9. osztály
XXV. Nemzetközi Magyar Matematikaverseny Budapest, 2016. március 1115. Megoldások 9. osztály 1. feladat Nevezzünk egy számot prímösszeg nek, ha a tízes számrendszerben felírt szám számjegyeinek összege
RészletesebbenFejezetek a Matematika
Fejezetek a Matematika Kultúrtörténetéből Dormán Miklós Szegedi Tudományegyetem TTIK Bolyai Intézet 2013 október 25 Az ókori Görögország matematikája 2 rész Éliszi Hippiász (kb 420 körül): az egyik szögharmadoló
Részletesebben25 i, = i, z 1. (x y) + 2i xy 6.1
6 Komplex számok megoldások Lásd ábra z = + i, z = + i, z = i, z = i z = 7i, z = + 5i, z = 5i, z = i, z 5 = 9, z 6 = 0 Teljes indukcióval 5 Teljes indukcióval 6 Az el z feladatból következik z = z = =
RészletesebbenTANMENETJAVASLAT. Dr. Korányi Erzsébet MATEMATIKA. Tankönyv nyolcadikosoknak. címû tankönyveihez
TANMENETJAVASLAT Dr. Korányi Erzsébet MATEMATIKA Tankönyv nyolcadikosoknak címû tankönyveihez 8. OSZTÁLY Óraszám 1. 1 2. Halmazok ismétlés Tk. 6/1 5. Gyk. 3 6/1 10. 2. 3 4. A logikai szita Tk. 9 10/6 20.
RészletesebbenSzámelmélet Megoldások
Számelmélet Megoldások 1) Egy számtani sorozat második tagja 17, harmadik tagja 1. a) Mekkora az első 150 tag összege? (5 pont) Kiszámoltuk ebben a sorozatban az első 111 tag összegét: 5 863. b) Igaz-e,
Részletesebben2016/2017. Matematika 9.Kny
2016/2017. Matematika 9.Kny Gondolkodási módszerek 1. Számhalmazok: N, Z, Q, Q*, R a számhalmazok kapcsolata, halmazábra 2. Ponthalmazok: o 4. oldal K I. fejezet: 172-178., 180-185., 191. feladat távolsággal
RészletesebbenOsztályozóvizsga és javítóvizsga témakörei Matematika 9. évfolyam
Osztályozóvizsga és javítóvizsga témakörei Matematika 9. évfolyam 1. félév Gondolkozás, számolás - halmazok, műveletek halmazokkal, intervallumok - racionális számok, műveletek racionális számokkal, zárójel
RészletesebbenA MATEMATIKA ÉRETTSÉGI VIZSGA ÁLTALÁNOS KÖVETELMÉNYEI
A MATEMATIKA ÉRETTSÉGI VIZSGA ÁLTALÁNOS KÖVETELMÉNYEI A vizsga formája Középszinten: írásbeli Emelt szinten: írásbeli és szóbeli A matematika érettségi vizsga célja A matematika érettségi vizsga célja
RészletesebbenBrósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet
Számelmélet DEFINÍCIÓ: (Ellentett) Egy szám ellentettjén azt a számot értjük, amelyet a számhoz hozzáadva az 0 lesz. Egy szám ellentettje megegyezik a szám ( 1) szeresével. DEFINÍCIÓ: (Reciprok) Egy 0
RészletesebbenMásodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek
Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek A másodfokú egyenlet grafikus megoldása Példa1. Ábrázold az f(x) = x + 1x + 16 függvényt, majd olvasd le az ábráról az alábbi egyenlet megoldását: x + 1x + 16 = 0.
RészletesebbenNT Matematika 11. (Heuréka) Tanmenetjavaslat
NT-17302 Matematika 11. (Heuréka) Tanmenetjavaslat A Dr. Gerőcs László Számadó László Matematika 11. tankönyv a Heuréka-sorozat harmadik tagja. Ebben a segédanyagban ehhez a könyvhöz a tizenegyedikes tananyag
Részletesebben2014. évi Bolyai János Megyei Matematikaverseny MEGOLDÁSI ÉS ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ 11. évfolyam
01. évi Bolyai János Megyei Matematikaverseny A közölt megoldási utak a feladatoknak nem az egyetlen helyes megoldási módját adják meg, több eltérő megoldás is lehetséges. Az útmutatótól eltérő megoldásokat
RészletesebbenDiophantosz, I.sz. 250 körül. Az alexandriai Diophantosz Aritmetikája. Legismertebb műve
Diophantosz, I.sz. 250 körül Az alexandriai Diophantosz Aritmetikája Klukovits Lajos TTIK Bolyai Intézet 2014. március 11. Életéről egy rejtvény(sír)vers Vén Diophantoszt rejti e kő. Bár ő maga szunnyad,
Részletesebben6. OSZTÁLY. Az évi munka szervezése, az érdeklõdés felkeltése Feladatok a 6. osztály anyagából. Halmazok Ismétlés (halmaz megadása, részhalmaz)
6. OSZTÁLY Óraszám 1. 1. Az évi munka szervezése, az érdeklõdés felkeltése a 6. osztály anyagából Tk. 13/elsõ mintapélda 42/69 70. 96/elsõ mintapélda 202/16. 218/69. 2 3. 2 3. Halmazok Ismétlés (halmaz
RészletesebbenToldi Miklós Élelmiszeripari Szakképző Iskola és Kollégium Érettségi témakörök május-június
Tantárgy: Matematika Osztály: 12.d Szaktanár: Róka Sándor Györgyné Témakörök: 1. Gondolkodási módszerek, halmazok, logika, kombinatorika, gráfok 1.1 Halmazok 1.2 Matematikai logika 1.3 Kombinatorika 1.4
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.
KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 6 VI KOmPLEX SZÁmOk 1 A komplex SZÁmOk HALmAZA A komplex számok olyan halmazt alkotnak amelyekben elvégezhető az összeadás és a szorzás azaz két komplex szám összege és szorzata
RészletesebbenKövetelmény a 6. évfolyamon félévkor matematikából
Követelmény a 6. évfolyamon félévkor matematikából Gondolkodási és megismerési módszerek Halmazba rendezés adott tulajdonság alapján, részhalmaz felírása, felismerése. Két véges halmaz közös részének,
RészletesebbenDiszkrét matematika II., 5. előadás. Lineáris egyenletrendszerek
1 Diszkrét matematika II, 5 előadás Lineáris egyenletrendszerek Dr Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@infnymehu http://infnymehu/ takach/ 2007 március 8 Egyenletrendszerek Középiskolás módszerek:
RészletesebbenALGEBRAI KIFEJEZÉSEK, EGYENLETEK
ALGEBRAI KIFEJEZÉSEK, EGYENLETEK AZ ALGEBRAI KIFEJEZÉS FOGALMÁNAK KIALAKÍTÁSA (7-9. OSZTÁLY) Racionális algebrai kifejezés (betűs kifejezés): betűket és számokat a négy alapművelet véges sokszori alkalmazásával
Részletesebben2. tétel Egész számok - Műveletek egész számokkal. feleletvázlat
1. tétel Természetes számok tízes számrendszer műveletek és tulajdonságaik Természetes számok, jele, jelölések, ábrázolása számegyenesen műveletek a természetes számok halmazán belül Tízes számrendszer
Részletesebben1. megold s: A keresett háromjegyű szám egyik számjegye a 3-as, a két ismeretlen számjegyet jelölje a és b. A feltétel szerint
A 004{005. tan vi matematika OKTV I. kateg ria els (iskolai) fordul ja feladatainak megold sai 1. feladat Melyek azok a 10-es számrendszerbeli háromjegyű pozitív egész számok, amelyeknek számjegyei közül
RészletesebbenMásodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek
Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek A másodfokú egyenlet grafikus megoldása Példa1. Ábrázold az f(x) = x 1x 16 függvényt, majd olvasd le az ábráról az alábbi egyenlet megoldását: x 1x 16 =. 1. lépés:
Részletesebben9. Tétel Els - és másodfokú egyenl tlenségek. Pozitív számok nevezetes közepei, ezek felhasználása széls érték-feladatok megoldásában
9. Tétel Els - és másodfokú egyenl tlenségek. Pozitív számok nevezetes közepei, ezek felhasználása széls érték-feladatok megoldásában Bevezet : A témakörben els - és másodfokú egyenl tlenségek megoldásának
Részletesebben17.2. Az egyenes egyenletei síkbeli koordinátarendszerben
Tartalom Előszó 13 1. Halmazok; a matematikai logika elemei 15 1.1. A halmaz fogalma; jelölések 15 1.2. Részhalmazok; komplementer halmaz 16 1.3. Halmazműveletek 17 1.4. A halmazok ekvivalenciája 20 1.5.
RészletesebbenBolyai János Matematikai Társulat
Bolyai János Matematikai Társulat Oktatási és Kulturális Minisztérium Támogatáskezelő Igazgatósága támogatásával Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 007/008-as tanév első (iskolai) forduló haladók II.
RészletesebbenMatematika 9. nyelvi előkészítő évfolyam. 1 óra/hét (37 óra) Kiselőadások tartása, interjúk készítése (matematikatörténeti
Matematika 9. nyelvi előkészítő évfolyam Témakörök Gondolkodási és megismerési módszerek Számtan, algebra Összefüggések, függvények, sorozatok Geometria, mérés Statisztika, valószínűség Év végi összefoglaló
RészletesebbenI. A négyzetgyökvonás
Definíció: Négyzetgyök a ( a : a a 0 I. A négyzetgyökvonás a ) jelenti azt a nem negatív számot, amelynek a négyzete a. a 0 b : b b R A négyzetgyök-függvény értéke is csak nem negatív lehet. Ha a b-t abszolút
RészletesebbenGauss-Seidel iteráció
Közelítő és szimbolikus számítások 5. gyakorlat Iterációs módszerek: Jacobi és Gauss-Seidel iteráció Készítette: Gelle Kitti Csendes Tibor Somogyi Viktor London András Deák Gábor jegyzetei alapján 1 ITERÁCIÓS
RészletesebbenNumerikus módszerek I. zárthelyi dolgozat, 2009/10. I. félév, A. csoport, MEGOLDÁSOK
Numerikus módszerek I. zárthelyi dolgozat, 9/. I. félév, A. csoport, MEGOLDÁSOK. Feladat. Az a. választás mellett A /( a) értéke.486. Határozzuk meg mi is A értékét egy tizes számrendszerű, hatjegyű mantisszás
RészletesebbenThe Architecture of Computer Hardware and Systems Software: An InformationTechnology Approach 3. kiadás, Irv Englander John Wiley and Sons 2003
. Fejezet : Számrendszerek The Architecture of Computer Hardware and Systems Software: An InformationTechnology Approach. kiadás, Irv Englander John Wiley and Sons Wilson Wong, Bentley College Linda Senne,
RészletesebbenA -Y és a Y- átalakítás bemutatása. Kiss László április havában
A -Y és a Y- átalakítás bemutatása Kiss László 2011. április havában -Y átalakítás ohmos ellenállásokra Mint ismeretes, az elektrotechnikai gyakorlatban többször előfordul olyan kapcsolási kép, ami a megszokott
RészletesebbenDiszkrét matematika I., 12. előadás Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach november 30.
1 Diszkrét matematika I, 12 előadás Dr Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@infnymehu http://infnymehu/ takach 2005 november 30 Vektorok Definíció Egy tetszőleges n pozitív egész számra n-komponensű
Részletesebben4. Számelmélet, számrendszerek
I. Elméleti összefoglaló A maradékos osztás tétele: 4. Számelmélet, számrendszerek Legyen a tetszőleges, b pedig nullától különböző egész szám. Ekkor léteznek olyan, egyértelműen meghatározott q és r egész
RészletesebbenOsztályozóvizsga-tematika 8. évfolyam Matematika
Osztályozóvizsga-tematika 8. évfolyam Matematika 1. félév 1. Gondolkozz és számolj! A természetes szám fogalma, műveleti tulajdonságok Helyiértékek rendszere a tízes számrendszerben: alakiérték, tényleges
Részletesebben17. modul: EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK, KÉTISMERETLENES EGYENLETEK
MATEMATIK A 9. évfolyam 17. modul: EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK, KÉTISMERETLENES EGYENLETEK KÉSZÍTETTE: DARABOS NOÉMI ÁGNES Készítette: Darabos Noémi Ágnes Matematika A 9. évfolyam. 17. modul: EGYENLETEK,
RészletesebbenBrósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I.
Számelmélet I. DEFINÍCIÓ: (Osztó, többszörös) Ha egy a szám felírható egy b szám és egy másik egész szám szorzataként, akkor a b számot az a osztójának, az a számot a b többszörösének nevezzük. Megjegyzés:
RészletesebbenTARTALOM. Előszó 9 HALMAZOK
TARTALOM Előszó 9 HALMAZOK Halmazokkal kapcsolatos fogalmak, részhalmazok 10 Műveletek halmazokkal 11 Számhalmazok 12 Nevezetes ponthalmazok 13 Összeszámlálás, komplementer-szabály 14 Összeszámlálás, összeadási
Részletesebben1 NEM, mert az csupa elavult, ma már egyszerűen mosolyra fakasztó. 2 Talán IGEN, bár az csak színes, érdekes epizódokat, történeteket
Bevezetés. Érdemes-e tudománytörténettel foglalkozni? Fejezetek a matematika kultúrtörténetéből. Bevezető Gondolatok. Klukovits Lajos TTIK Bolyai Intézet 2015. szeptember 2. Négy lehetséges válasz. 1 NEM,
RészletesebbenSzakács Lili Kata megoldása
1. feladat Igazoljuk, hogy minden pozitív egész számnak van olyan többszöröse, ami 0-tól 9-ig az összes számjegyet tartalmazza legalább egyszer! Andó Angelika megoldása Áll.: minden a Z + -nak van olyan
RészletesebbenLineáris algebra. (közgazdászoknak)
Lineáris algebra (közgazdászoknak) 10A103 FELADATOK A GYAKORLATRA (3.) 2018/2019. tavaszi félév Lineáris egyenletrendszerek 3.1. Feladat. Oldjuk meg az alábbi lineáris egyenletrendszereket Gauss-eliminációval
RészletesebbenOsztályozó- és javítóvizsga. Matematika tantárgyból
Osztályozó- és javítóvizsga Matematika tantárgyból 2018-2019 A vizsga 60 perces írásbeli vizsga (feladatlap) a megadott témakörökből. A megjelölt százalék (50%) nem teljesítése esetén szóbeli vizsga is,
RészletesebbenA 2014/2015. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny második forduló MATEMATIKA I. KATEGÓRIA ( SZAKKÖZÉPISKOLA ) Javítási-értékelési útmutató
OktatásiHivatal A 014/01. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny második forduló MATEMATIKA I. KATEGÓRIA ( SZAKKÖZÉPISKOLA ) Javítási-értékelési útmutató 1. feladat: Adja meg az összes olyan (x,
RészletesebbenLineáris egyenletrendszerek
Lineáris egyenletrendszerek 1 Alapfogalmak 1 Deníció Egy m egyenletb l álló, n-ismeretlenes lineáris egyenletrendszer általános alakja: a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a
RészletesebbenOSZTÁLYOZÓVIZSGA TÉMAKÖRÖK 9. OSZTÁLY
OSZTÁLYOZÓVIZSGA TÉMAKÖRÖK 9. OSZTÁLY ALGEBRA ÉS SZÁMELMÉLET Halmazok Halmazműveletek Halmazok elemszáma Logikai szita Számegyenesek intervallumok Gráfok Betűk használata a matematikában Hatványozás. A
RészletesebbenKÉSZÍTSÜNK ÁBRÁT évfolyam
Boronkay György Műszaki Középiskola és Gimnázium 2600 Vác, Németh László u. 4-6. : 27-317 - 077 /fax: 27-315 - 093 WEB: http://boronkay.vac.hu e-mail: boronkay@vac.hu Levelező Matematika Szakkör 2018/2019.
Részletesebbena) A logaritmus értelmezése alapján: x 8 0 ( x 2 2 vagy x 2 2) (1 pont) Egy szorzat értéke pontosan akkor 0, ha valamelyik szorzótényező 0.
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Abszolútértékes és Gyökös kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Számelmélet
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Számelmélet A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek
Részletesebben1. Legyen egy háromszög három oldalának a hossza a, b, c. Bizonyítsuk be, hogy Mikor állhat fenn egyenlőség? Kántor Sándorné, Debrecen
10. osztály 1. Legyen egy háromszög három oldalának a hossza a, b, c. Bizonyítsuk be, hogy ( a + b + c) 3 4 ab + bc + ca Mikor állhat fenn egyenlőség? Kántor Sándorné, Debrecen A feladatban szereplő kettős
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Abszolútértékes és Gyökös kifejezések
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Abszolútértékes és Gyökös kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval
RészletesebbenAz írásbeli eredménye 75%-ban, a szóbeli eredménye 25%-ban számít a végső értékelésnél.
Matematika A vizsga leírása: írásbeli és szóbeli vizsgarészből áll. A matematika írásbeli vizsga egy 45 perces feladatlap írásbeli megoldásából áll. Az írásbeli feladatlap tartalmi jellemzői az alábbiak:
Részletesebben2016/2017. Matematika 9.Kny
2016/2017. Matematika 9.Kny Gondolkodási módszerek 1. Számhalmazok: N, Z, Q, Q*, R a számhalmazok kapcsolata, halmazábra 2. Ponthalmazok: o 5. oldal K I. fejezet: 172-178., 180-185., 191. feladat távolsággal
RészletesebbenMATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA 9.A, 9.D. OSZTÁLY HETI 4 ÓRA 37 HÉT ÖSSZ: 148 ÓRA
MINŐSÉGIRÁNYÍTÁSI ELJÁRÁS MELLÉKLET Tanmenetborító ME-III.1./1 2 Azonosító: Változatszám : Érvényesség kezdete: Oldal/összes: 1/6 Fájlnév: ME- III.1.1.Tanmenetborító SZK-DC-2013 2013. 09. 01. MATEMATIKA
Részletesebben(d) a = 5; c b = 16 3 (e) b = 13; c b = 12 (f) c a = 2; c b = 5. Számítsuk ki minden esteben a háromszög kerületét és területét.
Euklidész tételei megoldások c = c a + c b a = c c a b = c c b m c = c a c b 1. Számítsuk ki az derékszögű ABC háromszög hiányzó oldalainak nagyságát, ha adottak: (a) c a = 1,8; c b =, (b) c = 10; c a
RészletesebbenMATEMATIKA FELADATGYŰJTEMÉNY
Pék Johanna MATEMATIKA FELADATGYŰJTEMÉNY Nem matematika alapszakos hallgatók számára Tartalomjegyzék Előszó iii. Lineáris algebra.. Mátrixok...................................... Lineáris egyenletrendszerek..........................
RészletesebbenOsztályozó és Javító vizsga témakörei matematikából 9. osztály
Osztályozó és Javító vizsga témakörei matematikából 9. osztály 1. félév 1. Kombinatorika, halmazok Számoljuk össze! Összeszámlálási feladatok Matematikai logika Halmazok Halmazműveletek Halmazok elemszáma,
RészletesebbenSzámelméleti feladatok az általános iskolai versenyek tükrében dr. Pintér Ferenc, Nagykanizsa
Számelméleti feladatok az általános iskolai versenyek tükrében dr. Pintér Ferenc, Nagykanizsa 1. Mutasd meg, hogy a tízes számrendszerben felírt 111111111111 tizenhárom jegyű szám összetett szám, azaz
RészletesebbenMatematika a középkorban ( )
Matematika a középkorban (476-1492) 1) A középkori matematika fejlődésének területei a) Kína b) India c) Iszlám d) Európa e) Magyarország 2) A klasszikus indiai matematika a) Korát meghazudtoló eredményei
RészletesebbenOsztályozó- és javítóvizsga témakörei MATEMATIKA tantárgyból 2016 / tanév
9. évfolyam I. Halmazok Osztályozó- és javítóvizsga témakörei MATEMATIKA tantárgyból 2016 / 2017. tanév 1. Halmaz, részhalmaz fogalma, részhalmazok száma, jelölések 2. Intervallumok 3. Halmazműveletek
Részletesebben