MATEMATIKA ÉRETTSÉGI május 3. KÖZÉPSZINT

Átírás

1 MATMATIKA ÉRTTSÉGI 011. május 3. KÖZÉPSZINT 1) gyszerűsítse a következő törtet, ahol b 6 b b 36 6 I. Az egyszerűsítés utáni alak: b 6 Összesen: pont ) A, 4 és 5 számjegyek mindegyikének felhasználásával elkészítjük az összes, különböző számjegyekből álló háromjegyű számot. zek közül véletlenszerűen kiválasztunk egyet. Mennyi annak a valószínűsége, hogy az így kiválasztott szám páratlan? Válaszát indokolja! (3 pont) (A képezhető háromjegyű számok száma:) zek közül páratlan. Így a keresett valószínűség ! 6. Összesen: 3 pont 3) Hányszorosára nő egy kocka térfogata, ha minden élét háromszorosára növeljük? A kocka térfogata 7-szeresére nő ) Adottak a következő számok: a és b. Írja fel a és b legnagyobb közös osztóját és legkisebb közös többszörösét! A kért számokat elegendő prímtényezős alakban megadni. A legnagyobb közös osztó: 3 A legkisebb közös többszörös: Összesen: pont

2 5) A következő két függvény mindegyikét a valós számok halmazán értelmezzük: ;. Adja meg mindkét függvény értékkészletét! 3sin f x x f értékkészlete: g értékkészlete: sin3 g x R f Rg 33 ; 11 ; x Összesen: pont 6) Mekkora az x 6, 5x 3, 50 egyenlet valós gyökeinek összege, illetve szorzata? Válaszát indokolja! (3 pont) Az egyenlet gyökei: 7 és 0,5. A gyökök összege: 6,5. A gyökök szorzata: 3,5. Összesen: 3 pont 7) Az A halmaz az 5-re végződő kétjegyű pozitív egészek halmaza, a B halmaz pedig a kilenccel osztható kétjegyű pozitív egészek halmaza. Adja meg elemeik felsorolásával az alábbi halmazokat: (4 pont) A; B; A B; A\ B; A 15;5;35;45;55;65;75;85;95 B 18;7;36;45;54;63;7;81;90;99 AB 45 A\ B 15;5;35;55;65;75;85;95 8) Adja meg az alábbi két egyenlet valós gyökeit! a) b) x y 5 x Összesen: 4 pont 5 65 y 1 3 Összesen: pont

3 9) Melyik szám nagyobb? 1 A lg 10 vagy B cos8 cos 8 A nagyobb szám betűjele: B 10) Oldja meg a valós számok halmazán a következő egyenletet! x 7 Az egyenlet megoldása a 9 és a 5. Összesen: pont 11) Melyik a 01-edik pozitív páros szám? Válaszát indokolja! (3 pont) Az a 1 első tagú, a d differenciájú számtani sorozat felismerése. Összesen: 3 pont 1) Döntse el az alábbi állítások mindegyikéről, hogy igaz-e vagy hamis! A: Ha két szám négyzete egyenlő, akkor a számok is egyenlők. B: A kettes számrendszerben felírt szám a tízes számrendszerben 0. C: gy hat oldalú konvex sokszögnek 6 átlója van. A: hamis B: igaz C: hamis Összesen: 3 pont

4 II/A. 13) gy iskolai tanulmányi verseny döntőjébe 30 diák jutott be, két feladatot kellett megoldaniuk. A verseny után a szervezők az alábbi oszlopdiagramokon ábrázolták az egyes feladatokban szerzett pontszámok eloszlását: a) A diagramok alapján töltse ki a táblázat üres mezőit! Az első feladatra kapott pontszámok átlagát két tizedes jegyre kerekítve adja meg! (3 pont) 1. feladat. feladat pontszámok átlaga 3,10 pontszámok mediánja b) A megfelelő középponti szögek megadása után ábrázolja kördiagramon a. feladatra kapott pontszámok eloszlását! (4 pont) c) A versenyen minden tanuló elért legalább 3 pontot. Legfeljebb hány olyan tanuló lehetett a versenyzők között, aki a két feladat megoldása során összesen pontosan 3 pontot szerzett? (5 pont)

5 a) 1. feladat. feladat pontszámok átlaga 3,57 3,10 pontszámok mediánja 3,5 4 (3 pont) b) gy tanulóhoz tartozó középponti szög: tanulóhoz 156, 6 tanulóhoz 7, 4 tanulóhoz 48, 3 tanulóhoz 36, tanulóhoz 4 tartozik. c) gy tanuló 3 pontot négyféleképpen érhetne el: 0 3; 1 ; 1; 3 0. A diagram alapján nem valósulhat meg: 0 3; 1. 1 pontot 1 tanuló kaphatott. 3 0 pontot tanuló kaphatott. Legfeljebb 3 tanuló érhetett el pontosan 3 pontot. Összesen: 1 pont 14) gy autó ára újonnan millió 15 ezer forint, a megvásárlása után öt évvel ennek az autónak az értéke 900 ezer forint. a) A megvásárolt autó tulajdonosának a vezetési biztonságát a vásárláskor 90 ponttal jellemezhetjük. z a vezetési biztonság évente az előző évinek 6 %-ával nő. (4 pont) Hány pontos lesz 5 év elteltével az autótulajdonos vezetési biztonsága? Válaszát egész pontra kerekítve adja meg! b) Az első öt év során ennek az autónak az értéke minden évben az előző évi értékének ugyanannyi százalékával csökken. Hány százalék ez az éves csökkenés? (8 pont) Válaszát egész százalékra kerekítve adja meg!

6 a) A vezetési biztonság pontjai egy tagjai. (bben a sorozatban) 5 t ,06 t (pont)., q 1,6 hányadosú mértani sorozat 90 1,06 10,44 tehát 5 év után a vezetési biztonság 10 pontos. b) Legyen a csökkenési ráta x. 5 kkor,15 x 0, x 15 0,418, amiből x , x 0,84 10,84 0,16, tehát évente 16 %-kal csökken az autó értéke. A feladat megoldható úgy is, ha a kamatos kamatszámításhoz hasonló képletet használunk. Összesen: 1 pont 15) Az ABC háromszög csúcsainak koordinátái:, és. a) Számítsa ki az ABC háromszög szögeit! (5 pont) b) Írja fel az ABC háromszög körülírt körének egyenletét! (7 pont) A 3; B 3 ; C 00 ; a) Az ABC háromszög egyenlő szárú. Az AB alapon fekvő hegyesszögek tangense 3 tehát az alapon fekvő szögek nagysága 33,7, a szárak szöge pedig 11,6. b) A körülírt kör középpontja az oldalfelező merőlegesek közös pontja, ez a szimmetria miatt az ordinátatengelyen van. felezőponton. 1,5;1 Az AC oldal felezőmerőlegese átmegy a Az AC oldal felezőmerőlegesének egy normálvektora a CA, CA3;. Az AC oldal felezőmerőlegesének egyenlete:. z az y tengelyt a 0;3,5 pontban metszi (ez a körülírt kör középpontja). A kör sugara 3,5. 3x y 6,5 A körülírt kör egyenlete: x y 3,5 3,5. Összesen: 1 pont

7 II/B. 16) gy 1 cm oldalhosszúságú négyzetet megforgatunk az egyik oldalával párhuzamos szimmetriatengelye körül. a) Mekkora az így keletkező forgástest térfogata és felszíne? (6 pont) A felszínt egész cm -re, a térfogatot egész cm 3 -re kerekítve adja meg! Ugyanezt a négyzetet forgassuk meg az egyik átlóját tartalmazó forgástengely körül! b) Mekkora az így keletkező forgástest térfogata és felszíne? (9 pont) A felszínt egész cm -re, a térfogatot egész cm 3 -re kerekítve adja meg! c) A forgástestek közül az utóbbinak a felszíne hány százaléka az első forgatással kapott forgástest felszínének? a) Az első esetben a forgástengely a négyzet szemközti oldalainak közös felezőmerőlegese, a keletkező forgástest forgáshenger: alapkörének sugara 6 cm, magassága 1 cm. Térfogata: V 1 43 V cm 3 Felszíne: A A cm b) A második esetben (mivel a négyzet átlói merőlegesen felezik egymást) a forgástest egy kettőskúp. A közös köralap átmérője a négyzet átlója, a kúpok magassága a négyzet átlóhosszának fele. d 1 17 A négyzet átlója: 6 6 Az egyik kúp térfogata: V 1 3 azaz V V V A két kúp egybevágó, így a kettőskúp térfogata: A forgáskúp palástja kiterítve körcikk, amelynek az ívhossza ,4 cm cm sugara 1 cm hosszú. Így a területe: cm T A kettőskúp felszíne: cm c) A kérdezett százalék: azaz kb. 94%. T T A 1 16, Összesen: 17 pont

8 17) gy új típusú, az alacsonyabb nyomások mérésére kifejlesztett műszer tesztelése során azt tapasztalták, hogy a műszer által mért pm és a valódi pv nyomás között a lg 0,8 lg 0,301 összefüggés áll fenn. A műszer által mért és a valódi nyomás egyaránt pascal (Pa) egységekben szerepel a képletben. a) Mennyit mér az új műszer 0 Pa valódi nyomás esetén? (4 pont) b) Mennyi valójában a nyomás, ha a műszer 50 Pa értéket mutat?(6 pont) c) Mekkora nyomás esetén mutatja a műszer a valódi nyomást? (7 pont) A pascalban kiszámított értékeket egész számra kerekítve adja meg! a) b) c) lg p m 0,8 lg 0 0,301 lg p m 1,34 pm Pa lg 50 0,8 lg 0,301 lg p v p v lg 50 0,301 0,8 lg 1,747 pv p v p v 56 Pa p m felismerése p m p v, (Legyen a keresett nyomás ), lg p 0,8 lg p 0,301 0,301 lg p 1,505 0, p 3 Pa p p p v m Összesen: 17 pont

9 18) András, Balázs, Cili, Dóra és nikő elhatározták, hogy sorsolással döntenek arról, hogy közülük ki kinek készít ajándékot. Úgy tervezték, hogy a neveket ráírják egy-egy papírcetlire, majd a lefelé fordított öt cédulát összekeverik, végül egy sorban egymás mellé leteszik azokat az asztalra. zután, keresztnevük szerinti névsorban haladva egymás után vesznek el egy-egy cédulát úgy, hogy a soron következő mindig a bal szélső cédulát veszi el. a) Mennyi a valószínűsége, hogy az elsőnek húzó Andrásnak a saját neve jut? (5 pont) b) Írja be az alábbi táblázatba az összes olyan sorsolás eredményét, amelyben csak nikőnek jut a saját neve! A táblázat egyes soraiban az asztalon lévő cédulák megfelelő sorrendjét adja meg! (A megadott táblázat sorainak a száma lehet több, kevesebb vagy ugyanannyi, mint a felsorolandó esetek száma. nnek megfelelően hagyja üresen a felesleges mezőket, vagy egészítse ki újabb mezőkkel a táblázatot, ha szükséges!) (6 pont) A húzó neve A B C D A cédulák megfelelő sorrendjei c) Az ajándékok átadása után mind az öten moziba mentek, és a nézőtéren egymás mellett foglaltak helyet. Hány különböző módon kerülhetett erre sor, ha tudjuk, hogy a két fiú nem ült egymás mellett? (6 pont) a) Az 5 név bármelyike ugyanakkora valószínűséggel kerülhet az első helyre, 1 tehát a keresett valószínűség 0,. 5 A feladat megoldható a kedvező/összes formulával is.

10 b) A húzó neve A B C D B A D C B C D A A cédulák megfelelő sorrendjei B D A C C A D B C D A B C D B A D A B C D C A B D C B A (6 pont) c) Azt a két helyet, ahol a fiúk ülhetnek (nem egymás mellett), 6-féleképpen választhatjuk ki, 5 mert 4 6. A két kiválasztott helyen a fiúk -féleképpen helyezkedhetnek el. A lányok minden egyes esetben egymáshoz képest. Összesen tehát 7 különböző módon ülhetnek le. Komplementer halmazzal is számolhatunk. Összesen: 17 pont 6 6 3! 6 különböző módon ülhetnek le