(anyagmérnök nappali BSc + felsőf. szakk.) Oktatók: Dr. Varga Péter ETF (előtan. feltétel): ---

Átírás

1 A ttárgy eve: Mtemtik I Heti órszám: 3+3 (6 kredit) Ttárgy kódj: GEMAN0B (ygmérök ppli BSc + felsőf szkk) A tárgy lezárás: láírás + kollokvium Okttók: Dr Vrg Péter ETF (előt feltétel): --- Algebr, lieáris lgebr: Komple számok Műveletek lgebri és trigoometrikus lkb Poliomok, gyöktéyezős lk, poiomok mrdékos osztás Műveletek síkbeli, térbeli és -dimeziós vektorokkl 3 Hjlásszög, vetületvektor, terület, térfogt számolás vektorműveletek segítségével 4 Néháy térgörbe és felület leírás vektorokkl 5 Determiások Műveletek mátriokkl, iverz mátri, sj'tvektorok 6 Lieáris egyeletredszerek megoldás Crmer- szbállyl, elimiációvl Számsoroztok, egyváltozós vlós függvéyek (f : R R): 7 Számsoroztok kovergeciáj Néháy evezetes htárérték 8 Foglmk egyváltozós vlós függvéy jellemzésére: ért t ért k, szimmetriák, mootoitás szélsőérték, koveitás ifleiós pot, korlátosság, szimptóták, folytoosság szkdási helyek Iverz függvéy 9 Htváy, epoeciális, logritmus és hiperbolikusz függvéyek 0 Trigoometrikus és rkusz függvéyek Differeciálszámítás (egyv vlós fgv): A differeciálháydos értelmezése, derivált foglm Alpfüggvéyek deriváltj Deriválási szbályok Sebesség, gyorsulás Síkgörbe éritője Tylor-poliom 3 Függvéyvizsgált: mootoitás-lokális szélsőérték, koveitás-ifleiós pot Ttárgyi követelméyek: A félév elismeréséek feltételei: Aláírás: két félévközi zárthelyi leglább elégséges szitű teljesítése 3 Sikeres vizsg Ajálott jegyzetek: () SZARKA ZOLTÁN RAISZ PÉTERNÉ: Mtemtik I, II, Miskolci Egyetemi Kidó, 998 () KÁLOVICS FERENC: Mtemtiki lízis mérökhllgtókk, Miskolci Egyetemi Kidó, 997 Az () ltti két jegyzetet midekiek, () ltti jegyzetet csk jó középiskoli háttérrel redelkező hllgtókk jáljuk

2 hét Komple számok Műveletek lgebri és trigoometrikus lkb Ismétlés: N, Z, Q, R, Műveletek lgebri lkb: Számolási szbály: mit többtgú kifejezésekkel, csk i i = i = Ábrázolás, elevezések: Re z, Im z, z, z Műveletek trigoometrikus lkb: Ábr, + bi = r(cosϕ+ isiϕ) Szorzás, osztás, htváyozás, gyökvoás trigoometrikus lkb (z első képlet levezetése) Feldtok Végezzük el lgebri lkb következő műveleteket: ( 3+ 5i)( i ), ( + 3i 3i) ( + i) +, + i + i 3 3 i +, ( + i), i Adj meg következő kifejezések értékeit lgebri lkb: Re( + 3i) Im( + i) +, i 3 i+ 4 3 Számítsuk ki következő értékeket lgebri vgy (és) trigoometrikus lkb : 6 3 ( i), ( + i)(cos π/ 3+ i si π/ 3), + i, 8i 4 Oldj meg következő egyeleteket C-be: z z + = 0, + = 0 5 3

3 hét Műveletek vektorokkl Elevezések: Síkbeli-térbeli vektorok, szbd vektor,, 0 egységvektor, ullvektor, hjlásszög Műveletek geom-i értelmezése térbeli vektorokr: Összedás: ábr, tuljdoságok: komm, sszoc, ivert Kivoás: b + b, ábr bc iv Szorzás számml: ábr, tuljdoságok: αβ ( ) = ( α β), α +β = ( α+ β), Skláris szorzt: ábr, tuljdoságok: komm, disztrib Vektoriális szorzt: ábr, tuljdoságok: b = (b ), disztrib Vegyesszorzt: bc ( b)c, tuljdoságok: = bc = cb, bc = bc Műveletek koordiátákkl dott térbeli vektorokkl: Ábr, OA = = i + j+ 3k = (,,3) ; =, 0 = + b = (,, 3) + (b, b, b3) = (i + j+ 3k) + (bi + b j+ b3k) = ( + b)i + = ( +,) b = λ = b = b = bc = Műveletek -dimeziós vektorokkl: Az első 4 művelet értelmezése Feldtok Legyeek, b, c egy térbeli háromszög csúcspotjihoz muttó helyvektorok Adj meg súlypothoz muttó helyvektort eze vektorok segítségével! Legye v = (3,, 3) Ábrázolj v t és v t! Számíts ki v t és 0 v 0 t! 3 Legye = i + j, b = (,,3), c = 3i + j+ k Számíts ki következőket: + b, b c, 5b,, b, c b, b, b, c, bc, bc, cb 4 Legye = (,,, 3), b = (,, 3, ) Számíts ki b ( + b) értékét! 3

4 3 hét Vektorok lklmzási I Erők eredője: Ábr, F = F + F Muk kiszámítás: Ábr, W = F s Ábr, W = F s Hjlásszög: b Ábrák, cos γ = b Vetületvektor: v = b 0 b Ábrák, ( ) 0, merőlegesség Prlelogrmm, háromszög területe: Ábrák, T pr = b, Thsz = b, párhuzmosság Prlelepipedo térfogt: Ábr, Vpl = A t m = b m = b c cos γ= bc, hol γ hegyesszög V bc Három vektor egy síkb pl = Feldtok Legye = i j k, b = j, c = (,0,) Mutss meg következő 3 tuljdoságot: c, z b és c vektorok párhuzmosk, továbbá z, b, (4,, 4) vektorok egy síkb vk! Legye = i j+ k, b = (,,) Számíts ki két vektor áltl meghtározott prlelogrmm területét és -k b -re eső merőleges vetületvektorát! 3 Legye = (3,0,3), b = i + 6 j+ k Számíts ki két vektor hjlásszögét és b -ek z -r eső merőleges vetületvektorát! 4 Legye = 3i + j+ k, b = (,3,), c = j k Számíts ki: és c hjlásszögét, z és b áltl meghtározott háromszög területét, z, b és c áltl meghtározott prlelepipedo térfogtát! 4

5 4 hét Vektorok lklmzási II Egyees egyelete: Ábr, r(t) = r0 + tv, prméteres egyeletredszer Csvrvol egyelete: Ábr, pl: r (t) = ( cos t, si t, t), t [ 0, π) Vivii-görbe egyelete: Ábr, pl: r (t) = ( + cos t, si t, t cos t ) = + cos t, si t, si, t [ 0, π) Sík egyelete: Ábr, r( α, β) = r0 +αu + βv, prméteres egyeletredszer Ábr, (r r0 ) = 0, A + By + Cz = D Hegerfelület egyelete: Ábr, r( α, β) = rvg ( α ) + β, hol Feldtok Adj meg P (,,0), P (,,3) potoko átmeő egyees és Q (,0,0), Q(0,3,0), Q3(0,0,4) potoko átmeő sík döféspotját! Adj meg P (,, ) és P (3,,) potoko átmeő egyees egyeletét! Adj meg z egyees döféspotjit koordiátsíkokkl, dj meg z egyees origótól mért távolságát! 3 Adj meg (0, 3, 0) középpotú, egység sugrú, z (, z) síkkl párhuzmos körvol potjihoz muttó helyvektort! Milye prméterértékél kpj meg (, 3, 0), (0, 3, ) ill (0, 3, -) potokt? 4 Adj meg (0, 3, 0) középpotú, egység sugrú, z (, z) síkkl párhuzmos körvol és z (0,,0) = vektor (lkotók iráyvektor) áltl meghtározott végtele hegerfelület potjihoz muttó helyvektort! Milye prméterértékekél kpj meg (, 7, 0), (0, 9, ) ill (0,, ) potokt? 5

6 5 hét Determiások Defiíció: A vlós vgy komple számokból (kifejezésekből) (defiíció első sor szeriti kifejtéssel) Tuljdoságok: () A defiíciób szereplő kifejtést z első sor helyett végezhetjük másik sor vgy oszlop szerit is, h figyelembe vesszük z előjelszbályt () H két sort felcserélük, kkor determiás értéke (-)-szeresre változik (3) A determiás értéke em változik, h vlmely sor (oszlop) számszorosát hozzádjuk egy másik sorhoz (oszlophoz) Elimiáció: A () és (3) tuljdoság felhszálásávl elérjük, hogy főátló ltt csup 0 legye Ekkor determiás értékét főátlób szereplő elemek szorzt dj meg Mátriok Defiíció: A vlós számokból (kifejezésekből) felépített Összedás:, tul: komm, sszoc, ivert; Kivoás:, tul: --- Szorzás számml:, tul: ( αβ )A =αβ ( A), λ(a + B) =λa + λb ; Szorzás:, tul: sszoc, disztrib Iverz mátri: + D D A =, det A 0, A = det A D ± D + D D ± D D D és D ij z ij hez Feldtok Számíts ki z lábbi determiások értékét defiíció lpjá (kifejtéssel) és elimiációvl is: i i i , i i i, hol i C, i i i A =, B =, C = ( A + B) A =? A =, B 0 5, C = A B =? 4 3 = Számítsuk ki z eredméyt! 3 4 A = =, B 3 mátriok iverzét, mjd elleőrizzük z 3 5 6

7 6 hét Lieáris egyeletredszerek Elevezések, megoldhtóság: = b = b ; k + k + + k = b k + y = 5 y = H b = b = = b k = 0, kkor Pl: + y = 5 + y = 6 + y = 5 + y = 0 Crmer-szbály: H k = és D = 0, kkor egyértelmű megoldás és : D = ; D D = D ; Elimiáció (Guss): k k b b k bk Megegedett átlkítások:, Cél: Feldtok Oldj meg z + y 3z = 4 y + z = y 5z = li e rsz-t Crmer-szbállyl és elimiációvl is! Oldj meg z + y 3u + 3v = 4 y + u v = 0 + 5y 9u + 6v = y 5u + v = li e rsz-t elimiációvl! 7

8 + y + z = 3 A t prméter ( t R ) mely értékeire em oldhtó meg z + 3y + 6z = 3 + y + t z = t Milye t-re lesz egyértelmű megoldás, milye t-re kpuk végtele sok megoldást? egyeletredszer? 8

9 7 hét Számsorozt htárértéke Számsorozt foglm, megdás: Számsoroztról kkor beszélük, h Pl: , N ;,,,,, (ábr), eplicit megdás; Pl: b = 0, b =, b = b + b, N, 3; 0,,, 3, 5,,, (ábr), implicit m Htárérték: Az számot z { } számsorozt htárértékéek Koverges, diverges számsorozt Nevezetes htárértékek: lim = 0, q < eseté lim q = 0, c > 0 eseté lim c =, lim =, lim + létezik, irrc szám, ezutá e vel jelöljük Műveletek számsoroztokkl, tétel: { } és { b } dott számsoroztok ugyoly ideezéssel A két sorozt összegé, külöbségé, H { } és { } b koverges számsoroztok, kkor lim (c ) = c lim ; lim ( ± b ) = lim ± lim b ; lim ( b ) = lim lim b ; lim lim =, felt h ev 0; lim k = k lim b lim b Feldtok Vizsgálj meg következő számsoroztokt kovergeci szempotjából: 4 + =, N ; ( ), N Htározz meg következő értékeket z ismert evezetes htárértékek felhszálásávl: lim, lim, lim, lim, lim k k + k 3 Milye htároztl lkok fordulk elő z lábbi htárértékek kiszámoláskor: lim, lim, lim 4 +, lim ? 9

10 8 hét Foglmk egyváltozós vlós függvéyek jellemzésére H oly függvéy (egyértelmű hozzáredelés) dott, mely vlós számokhoz vlós számokt redel, kkor egyváltozós vlós függvéyről beszélük Jele: f : R R, f () = Értelmezési trtomáy, értékkészlet: Pl: f : R R, f () = + ; Ve-digrmm, ábrázolás, Domf = [, ), R f = [0, ) Szimmetri: Pl: f : R R, f () = ; f : R R, f () = si, (Páros, pártl, periodikus függvéyek) Mootoitás, szélsőérték: Pl: f : R R, f () = 4 Koveitás, ifleiós pot: Pl: f : R R, 3 f () = Korlátosság: Pl: f : R R, f () = 4 ; f : R R, f () = si, if f () =?, sup f () =? Aszimptót: Pl: f : R R, f () = / Htárérték, folytoosság, szkdási helyek: Pl: f () = +, = ; f () =, = ; f () = sg, = 0; f () =, = 0 lim f () = lim f () = f () +, lim f () = lim f () f () +, lim f () lim f () +, esetek Iverz függvéy: Pl: f : R R, f () = + 4 R R Feldtok Vázolj z lábbi egyváltozós vlós függvéyeket és jellemezze őket tult foglmk (ért t ért k, szimmetriák, mootoitás szélsőérték, koveitás ifleiós pot, korlátosság, szimptóták, folytoosság szkdási helyek) segítségével: g : f : R R, f () = 4, R R, g() = 4 Vázolj z lábbi egyváltozós vlós függvéyeket és jellemezze őket z = helye folytoosság, szkdási tuljdoság szerit: f () =, 4 f () =, f () = + sg ( ), f () = 3 V-e iverze z f : R R, f () = 4 ; g : R R, g() = / 9, 0 függvéyekek? H ige, kkor dj meg, mjd ábrázolj z eredeti és iverz függvéyt is 0

11 9 hét Nevezetes függvéytípusok, I Htváyfüggvéyek: k f : R R, f () =, hol k 0 A k=,, /, - esetekhez trtozó függvéyek ábráj Azoosságok: k k k k k u u (u + v) = u + uv + v, u v = (u v)(u + v), (uv) = u v, =, v k v Epoeciális függvéyek: f : R R, f () =, hol R, > 0, Az =, e, 0 esetekhez trtozó ábrák u u v u+ v u v u v u v Azoosságok: =, =, ( ) =, v Logritmusfüggvéyek: f : R R, f () = log, hol R, > 0, Az =, e, 0 esetekhez trtozó ábrák Azoosságok: u k log b u log (uv) = log u + log v, log = log u log v, log u = k log u, log u =, v log b Hiperbolikus függvéyek: f : R f : R e R, f () = e R, f () = e Azoosságok: ch u sh u =, e e + e = sh ; = th ; sh(u ± v) = shu chv± chu shv, e + e ábr f : R R, f () = = ch ; e + e ábr f : R R, f () = = cth ; e e ch(u ± v) = chu chv ± shu shu, ábr ábr sh =, ch = Feldtok Számíts ki z lábbi értékeket defiíciók lpjá: 4 8 3, 8 3, ( ), log 64, lg 00, l, log 4 8 log9 3, e Némelyik értéket elleőrizze zsebszámológép segítségével! sh(l ), ch(l 3) Vázolj z f : R R, f () = ch, g : R R, g() = sg(l ) függvéyeket és jellemezze őket tult foglmk (7 féle) segítségével! l 3 Igzolj z lg =, ch + sh = ch összefüggéseket defiíciók lpjá! l0

12 0 hét Nevezetes függvéytípusok, II Trigoometrikus függvéyek: Szögek mérése, szögfüggvéy defiíciók, evezetes szögfüggvéyértékek f : R R, f () = si ; ábr f : R R, f () = cos ; ábr f : R R, f () = tg ; ábr f : R R, f () = ctg ; ábr Azoosságok: si u + cos u =, si(u ± v) = si u cos v ± cos u si v, cos(u ± v) =, Arkusz-függvéyek: π π f :, [, ], f () = si ; g : π π = Ábrák, f : 0, π,, f () = cos [, ],, g() = rcsi, hol si(rcsi ) [ ] [ ] ; [, ] [ 0, π], g() = rccos, hol cos(rccos ) g : = Ábrák, π π f :, (, ), f () = tg ; π π g : (, ),, g() = rctg, hol tg(rctg ) = Ábrák, f : 0, π (, ), f () = ctg ( ) ;, ) ( 0, π), g() = rcctg, hol ctg(rcctg ) g : ( = Ábrák, Azoosságok: rccos u si u =, cos u = π π u = rcsi u, rcctg u = rctg u, rcsi u = rctg, u cos(rcsi u) = u, Feldtok Számíts ki z lábbi értékeket defiíciók lpjá: 3π π 3π π si, cos, tg, ctg, rcsi( ), rccos( 05), rctg, π rccos cos 6 (Némelyik értéket elleőrizze zsebszámológép segítségével!) rcctg( ), rcsi si 5 6 Vázolj z f : R R, f () = cos( + π/ ), f : R R, f () =π rctg függvéyeket és jellemezze őket tult foglmk (7 féle) segítségével! 3 Igzolj si + cos = és rcsi = rctg, h < < zoosságokt! (Utóbbiál elég igzoli, hogy két oldl tgese megegyezik)

13 hét Egyváltozós vlós függvéy differeciálháydos, deriváltj Defiíció: Adott z f : R R, f () = függvéy és z = hely A f () f () lim értéket Jele: f (), df () d Azt függvéyt, mely Jele: f (részletesebbe : f : R R, f () = ), df d Az f függvéy deriváltját második deriváltk (jele f ), f derivátját hrmdik deriváltk (jele f ) Pl: f () =, = 5; f () = ( ) =?, f () = ( ) =? Alpfüggvéyek deriváltji ( képletek dom f domf hlmzo érvéyesek): (c) = 0; k ( ) = k =,,, / eseté : ( ) = =, e, 0 eseté : ( log ) = =, e, 0 eseté : Hiperbolikus fgv: Trigoometrikus fgv: Arkusz fgv : Deriválási szbályok: f () cf () =, f () ± g() =, f ()g() =, =, g() (Feltéve, hogy deriváltk létezek kérdéses itervllumoko) Pl: ' 5 ( ) ( ) ( ) ( f (g())) = f (g()) g () Feldtok f () = 3 + l, f () =?, f () =? f () =?, f (5) =? f () = si +, f () =?, f (0) =? f () =?, f (0) =? e 3 Deriválási feldtok: si5 3 (4) ((5 + ) ) ; ( l( ) ) ; ( ) ; ; ( lg3 rcsi ) ; ( ch4) ; 4 + e 6 6 cos rctg 6 6 (6) d d ( sh sh ) ; 6 6 ; ; ( 6 + ) ; ( ch( )); ( A si( ω t +α) ) l 6 π+ 4 d dt 3

14 hét A differeciálháydos lklmzási, I Sebesség, gyorsulás: s = s(t), t 0 dottk s s(t) s(t 0 ) v(t 0 ) = lim = lim = s(t 0 ), t t0 t t t0 t t 0 (t 0 ) = = s(t 0 ) Pl: s = gt ; s(t) = g t = gt = v; s(t) = g = Éritő meredeksége, egyelete: Kövessük egy ábrá, f () f (), f () f () f () f (), lim jeletését: Tylor - poliom: f : R R, f () =, = : f () c 0 + c ( ) + + c ( ) f () f () f () f () + ( ) + ( )!! f () f () f () = f () + ( ) + ( )!! ; f + + f + + () () ( )! () () ( )! = T (); (+ ) f ( ξ) + ( ) ( + )! + = T () + R (), Feldtok y Ábrázolj z + =, y 0 egyeletű görbét és dj meg z 9 4 éritőegyees egyeletét! = helyhez trtozó y Ábrázolj z + = egyeletű görbét és keresse meg zokt potokt, hol z éritőegyees 9 4 párhuzmos szögfelező egyeessel! 3 Tylor - poliom, hibkorlát: f () = si, = 0, π π T5 () =?, hibbecslés, re Tylor - poliom, hibkorlát: f () = cos, = 0, π π T4 () =?, hibbecslés, re 4 4 4

15 3 hét A differeciálháydos lklmzási, II Mootoitás szélsőérték: Ábráról ill f () = f () + f ( ξ)( ) -ból: f () > 0 z (u, v) be f szig mo ő (u, v) be ; f () < 0 Ábráról ill z f () (u, v) be f szig mo csökk (u, v) be (Feltesszük, hogy ) = f () + f ()( ) + f ( ξ)( ) -ből: f () = 0, f () > 0 f ek "" b lok mi v; f () = 0, f () < 0 f ek "" b lok m v (Feltesszük, hogy ) Koveitás ifleiós pot: Ábráról ill f () = f () + f ()( ) + f ( ξ)( ) -ből: f () > 0 z (u, v) be f kove (u,v) be; f () < 0 z (u, v) be f kokáv (u, v) be Ábráról ill f () (Feltesszük, hogy ) 3 = f () + f ()( ) + f ()( ) + f ( ξ)( ) -ből: 6 f () = 0, f () 0 f ek "" b ifl potj v (Feltesszük, hogy ) Feldtok 4 Keresse lokális szélsőértékeket és ifleiós potokt z f : R R, f () = függvéy eseté ( deriváltk felhszálásávl)! Keresse lokális szélsőértékeket és ifleiós potokt z f : R R, f () = e függvéy eseté ( deriváltk felhszálásávl)! 3 3 Ábrázolj z f : R R, f () = 3 függvéyt éháy tuljdoság (zérushelyek, szélsőértékhelyek, ifleiós potok, viselkedés ± -be) felhszálásávl! 4 Ábrázolj z f : R + potok, viselkedés ± -be) felhszálásávl! R, f () = függvéyt éháy tuljdoság (szélsőértékhelyek, ifleiós R, f () = függvéyt éháy tuljdoság (szkdási helyek, szélsőérték- 5 Ábrázolj z f : R + helyek, ifleiós potok, szimptóták) felhszálásávl! 5