képzetes t. z = a + bj valós t. a = Rez 5.2. Műveletek algebrai alakban megadott komplex számokkal
|
|
- Tivadar Tibor Dudás
- 8 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 5. Komplex számok 5.1. Bevezetés Taulmáyaik sorá többször volt szükség az addig haszált számfogalom kiterjesztésére. Először csak természetes számokat ismertük, később haszáli kezdtük a törteket, illetve a egatív számokat. Újabb mérföldkövet jeletett az irracioális szám fogalma, illetve ehhez kapcsolódóa a valós szám fogalmáak fokozatos kialakulása. Ezek a számkörbővítések midig azt is jeletették, hogy egy olya művelet, amely addig csak speciális estbe volt elvégezhető, a bővítés utá általáosa elvégezhetővé vált. Pl. a kivoás a természetes számok között csak akkor végezhető el, ha a kisebbítedő agyobb vagy egyelő mit a kivoadó, a egatív számok bevezetésével azoba a kivoás mide esetbe elvégezhetővé válik. Hasoló a helyzet az osztással, és a törtek bevezetésével. 1 A valós számok körébe a gyökvoás művelete korlátozott, hisze csak emegatív számokból tuduk égyzetgyököt voi. A komplex számok bevezetése utá a egatív számokból is lehetővé válik a égyzetgyökvoás. Jelölés: A komplex számok jelölésére gyakra haszáljuk a z-t, illetve aak idexes változatait, z 2, stb.). A komplex számok at a sík potjaival, illetve a potok helyvektoraival tudjuk szemlélteti. y z x A komplex számok ábrázolására haszált síkot szokás komplex számsíkak, illetve Gauss-féle számsíkak evezi. Mivel a sík potjait és azok helyvektorait) egy valós számokból álló számpárral tudjuk leíri, a komplex számok is leírhatók egy ilye számpárral: z=a, b). Az első számot a komplex szám valós reális) részéek evezzük, a második számot a komplex szám képzetes imagiárius) részéek. 2 Jelölés: a=rez, b=imz. Eek megfelelőe a Gauss-féle számsík tegelyeiek jelölésére em a fet haszált) x-et és y-t szokás haszáli. Az első tegelyt valós tegelyek, a másodikat képzetes tegelyek evezzük. A komplex számokal való műveletek elvégzéséek megköyítésére a z = a, b) komplex szá- 1 Bár a 0-val továbbra sem lehet osztai. 2 Tehát a komplex szám képzetes része is valós szám. Készítette: Vajda Istvá 89
2 mot szokás z=a+bj alakba íri. 3 Ezt a komplex szám algebrai, illetve kaoikus alakjáak evezzük. A képletbe szereplő j eve képzetes egység. Eek égyzete j 2 = 1. b = Imz képzetes t. z = a + bj valós t. a = Rez 5.2. Műveletek algebrai alakba megadott komplex számokkal A = a 1 + b 1 j és z 2 = a 2 + b 2 j komplex számok összegé az a 1 + a 2 )+b 1 + b 2 ) j komplex számot, külöbségé az a 1 a 2 )+b 1 b 2 ) j értjük. Megjegyzések: Tehát az összeget úgy kapjuk, hogy a valós részt a valós résszel, a képzetes részt a képzetes résszel adjuk öszze. Hasoló a szabály a kivoás eseté is. A vektorral való ábrázolás itt külööse szerecsés, mert a két művelet a megfelelő vektorműveletek felel meg. A kivoás a komplex számok közébe is az összeadás iverz művelete, hisze a z= z 2 külöbség a z 2 + z= egyelet megoldása. képzetes t. z = + z 2 z 2 valós t. Példák: 2+3j ) + 5+6j ) = 7+9j 2+ j ) + 3+4j ) = 1+5j 2 3j ) + 5 4j ) = 3 7j 3 Ehelyett a matematika köyvek általába a z=a+bi alakot haszálják. Mi a villamosságta, illetve fizika tatárgyakkal való egységesség miatt haszáljuk a feti jelölést. Készítette: Vajda Istvá 90
3 9+11j ) 3+6j ) = 6+5j 1+4j ) 3 2j ) = 4+6j 1 3j ) 3 2j ) = 4 j A = a 1 + b 1 j és z 2 = a 2 + b 2 j komplex számok szorzatá az a 1 a 2 b 1 b 2 )+a 1 b 2 + a 2 b 1 ) j komplex számot értjük. Megjegyzés: A szorzás eredméye a szokásos disztributív szabály 4 alkalmazásával adódik, ha felhaszáljuk még, hogy j 2 = 1. Példák: 2+3j ) 5+6j ) = 10+12j+15j+18j 2 = 10+12j+15j 18= 8+27j 3 2j ) 4+3j ) = 12+9j 8j 6j 2 = 12+9j 8j+6=18+ j 2 j ) 1 5j ) = 2+10j j+5j 2 = 2+10j j 5= 7+9j Ha z = z 2 és háyadosa: z= z 2. 0, akkor z a z 2 és komplex számok Megjegyzés: Az osztást tehát a szokásos módo a szorzás iverz műveletekét defiiáljuk. Hogya osztjuk el az egyik komplex számot a másikkal, ha algebrai alakba vaak megadva? z 2 = a 2+ b 2 j a 1 + b 1 j = Példák: 2+3j 3+5j = a2 + b 2 j ) a 1 b 1 j ) a1 + b 1 j ) a 1 b 1 j )=a 2a 1 a 2 b 1 j+a 1 b 2 j b 2 b 1 j 2 a 2 1 b2 1 j2 = = a 1a 2 + b 1 b 2 )+a 1 b 2 a 2 b 1 ) j = a 1a 2 + b 1 b 2 + a 1b 2 a 2 b 1 j a 2 + b 2 a 2 + b 2 a 2 + b 2 ) ) 2+3j 3 5j ) )= 6 10j+9j j 3 5j 9+25 ) ) 4 j 4 j 1+2j 1 2j = ) )= 1 2j 1+2j 4 Tagokét való szorzás. 4+8j+ j = 21 j 34 = 2+9j 5 = j = j Készítette: Vajda Istvá 91
4 A z 2 = a 2+ b 2 j a 1 + b 1 j osztást tehát úgy tudjuk elvégezi, hogy bővítjük a törtet az a 1 b 1 j kifejezéssel, amit úgy kaptuk, hogy a tört evezőjébe levő összeadást kivoásra változtattuk. Az a bj komplex számot a z=a+bj komplex szám kojugáltjáak evezzük. Jelölés: z A evező kojugáltjával való bővítés azért segít az osztás elvégzésébe, mert a komplex számot a kojugáltjával megszorozva midig valós számot kapuk: z z= a+bj ) a bj ) = a 2 + b 2 y a z = a + bj a b x Megjegyzés: Az ábráról leolvasható, hogy z z=a 2 + b 2 a derékszögű háromszög átfogójáak, azaz a komplex számot ábrázoló vektor hosszáak égyzete. A z komplex számot ábrázoló vektor hosszát a komplex szám abszolút értékéek evezzük. Jelölés: z. A fetiekből adódik a következő összefüggés: z 2 = z z=a 2 + b 2 Készítette: Vajda Istvá 92
5 Bármely és z 2 komplex számok eseté igazak a következő összefüggések: + z 2 = + z 2 z 2 = z 2 z 2 = z 2 ) z1 = z 2 z 2 A pozitív egész kitevőjű hatváy értelmezése a komplex számok körébe aalóg a valós számok körébe taultakkal: Ha pozitív egész, akkor z komplex szám -edik hatváyá a z = z z... z } {{ } komplex számot értjük. szer Bármely z komplex és pozitív egész szám eseté: z = z) Feladat: Határozzuk meg a j 2006 hatváy értékét! Megoldás: j 1 = j, j 2 = 1, j 3 = j, j 4 = 1, j 5 = j,... Észrevehetjük, hogy a j szám hatváyai periodikusa ismétlődek. Egy periódus 4 egymást követő hatváyból áll ot 4-gyel osztva a háyados 501, a maradék 2. Így j 2005 = j 1 = j és j 2006 = j 2 = 1. Készítette: Vajda Istvá 93
6 5.3. A komplex szám trigoometrikus és expoeciális alakja A komplex számot a Gauss-féle számsíko ábrázoló pot helyzete megadható aak úgy evezett polárkoordiátáival is, azaz a pot origótól mért r távolságával és azzal a ϕ söggel, amit a potba mutató helyvektor az x tegely pozitív iráyával bezár. y b r z = a + bj ϕ x a Mivel a=r cosϕ és b=r siϕ a z komplex szám alakba írható. z=a+bj=r cosϕ+ jr siϕ=r cosϕ+ j siϕ ) A komplex szám z=r cosϕ+ j siϕ ) alakját trigoometrikus alakak evezzük. Megjegyzések: A trigoometrikus alakba szereplő r szorzótéyező a komplex szám abszolút értéke, azaz r= z. A komplex szám trigoometrikus alakjába szereplő ϕ szög iráyszög, argumetum) em egyértelmű, hisze az egymástól a teljesszög 360 ) egésszámú többszörösébe eltérő szögek ugyaazt az iráyt határozzák meg. A z=a+bj=r cosϕ+ j siϕ ) komplex számot szokás z=re jϕ alakba is felíri. A komplex szám z=re jϕ alakját expoeciális alakak evezzük. Megjegyzés: Az expoeciális alakba a ϕ szögek csak az ívmértékbe radiába) megadott értéke haszálható. Készítette: Vajda Istvá 94
7 Trigoometrikus alakba megadott komplex szám átírása algebrai alakba, illetve algebrai alakba megadott komplex szám átírása trigoometrikus alakba A trigoometrikus alakba megadott komplex szám algebrai alakjáak meghatározása a szögfüggvéyek értékéek behelyettesítésével és egyszerűbb alakra hozással adódik. Példa: Ha z=4 cos 30 + j si 30 ), akkor z= j 1 2) = 2 3+2j 3, 464+2j Algebrai alakba megadott komplex szám trigoometrikus alakjáak meghatározása: Meghatározzuk a komplex szám abszolút értékét: r= z = a 2 + b 2. Meghatározzuk a komplex szám egy iráyszögét. Itt a tgϕ = b összefüggés mellett a figyelembe kel vei, hogy a komplex szám melyik síkegyedbe helyezkedik el. r ésϕfelhaszálásával felírjuk a trigoometrikus alakot. Példák: Ha z= 3+5j, akkor r= z = 9+25= 34 5, 831, tgϕ= 5 3 ϕ 59, 04 + k 180, ahol k Z. 5 Ha a komplex számot ábrázoljuk a Gauss-féle számsíko, akkor látjuk, hogy képe a második egyedbe található, ezért iráyszögek választhatjuk pl. aϕ 59, = 120, 96 szöget. A keresett trigoometrikus alak: z 5, 831 cos 120, 96 + j si 120, 96 ). A komplex szám expoeciális alakja: z 5, 831e 2,11j Ha z= 4 6j, akkor r= z = 16+36= 52 7, 21, tgϕ= 3 = 1, 5 ϕ 2 56, 31 + k 180, ahol k Z. A komplex szám képe a harmadik egyedbe helyezkedik el, ezértϕ 236, 31. Tehát z 7, 21 cos 236, 31 + j si 236, 31 ). A komplex szám expoeciális alakja: z 7, 21e 4,12j 5 A tg függvéy periódusa 180. Készítette: Vajda Istvá 95
8 Műveletek trigoometrikus és expoeciális alakba Ha = r 1 cosϕ1 + j siϕ 1 ) és z2 = r 2 cosϕ2 + j siϕ 2 ), akkor z 2 = r 1 r 2 cos ϕ1 +ϕ 2 ) + j si ϕ1 +ϕ 2 )) és z 2 0 eseté z 2 = r 1 r 2 cos ϕ1 ϕ 2 ) + j si ϕ1 ϕ 2 )) Megjegyzések: Tehát a komplex számok szorzásáál az abszolút értékek összeszorzódak, az iráyszögek összeadódak. A komplex számok háyadosáak abszolút értéke az eredeti komplex számok abszolút értékeik háyadosa, iráyszöge az eredeti komplex számok iráyszögéek külöbsége. Az összeadás és a kivoás elvégzésére a trigoometrikus alak em alkalmas, tehát ha ilye műveletet akaruk végezi, akkor a komplex számokat először átírjuk algebrai alakba. Ha = r 1 e ϕ 1 j és z 2 = r 2 e ϕ 2 j, akkor illetve z 2 0 eseté z 2 = r 1 r 2 e ϕ 1 +ϕ 2 )j z 2 = r 1 r 2 e ϕ 1 ϕ 2 )j Megjegyzések: Ez a tétel az előző tétel expoeciális alakkal törtéő megfogalmazása. Készítette: Vajda Istvá 96
9 A tétel összhagba va az azoos alapú hatváyok szorzásáról, illetve osztásáról szóló hatváyozás azoosságokkal. Példák: Ha = 3 cos j si 120 ) és z 2 = 4 cos 35 + j si 35 ), akkor z 2 = 12 cos j si 155 ) = 12e 31π 36 j = 3 cos 85 + j si 85 ) = 3 z e 17π 36 j Ha = 6 cos j si 261 ) és z 2 = 11 cos j si 312 ), akkor z 2 = 66 cos j si 573 ) = 66 cos j si 213 ) = 66e 71π 60 j = 6 z 2 11 cos 51 )+ j si 51 ) ) = 6 11 cos j si 309 ) = 6 11 e 103π 36 j Moivre-formula: Ha z=r cosϕ+ j siϕ ) és Z +, akkor z = r cos ϕ ) + j si ϕ )) Példa: Legye z=2 cos 41 + j si 41 ). Határozzuk meg 0 trigoometrikus és expoeciális alakját. Megoldás: 0 = 2 10 cos j si 410 ) = 1024 cos 50 + j si 50 ) = 1024e 5π 18 j Legye pozitív egész szám. A z komplex szám -edik gyöké az olya u komplex számot értjük, amelyre u = z. Készítette: Vajda Istvá 97
10 A z komplex számak potosa darab -edik gyöke va. Ha z trigoometrikus alakja z=r cosϕ+ j siϕ ), akkor -edik gyökei az u k = ) r cos ϕ+k j si ϕ+k 360 komplex számok, ahol k {0, 1, 2,..., 1} Megjegyzések: A valós számok halmazá a gyökvoás egyértelmű művelet volt, tehát egy valós számak midig potosa egy darab -edik gyöke volt. Ettől eltérőe a komplex számok körébe a gyökvoás többértékű művelet. A z komplex szám -edik gyökéek kiszámításáál felhaszáljuk az r abszolút érték - edik gyökét. Azoba a képletbe szereplő r az r szám valós számok halmazá vett egyetle) -edik gyökét jeleti. Az -edik gyök felírásába szereplő k szám valójába bármilye egész szám lehete, a z komplex számak azoba mégsics több -edik gyöke, mit amit már felírtuk. Ha a k 1 és k 2 egész számok külöbsége az szám egésszámú többszöröse, akkor r cos ϕ+k j si ϕ+k ) Pl.: u 0 = u, u 1 = u +1 stb. = r cos ϕ+k j si ϕ+k Ha a z komplex szám -edik gyökeit ábrázoljuk a Gauss-féle számsíko, akkor 3 eseté) a megfelelő potok egy szabályos -szög csúcsai. Példa: Határozzuk meg a z=8 cos j si 300 ) komplex szám köbgyökeit és ábrázoljuk őket a Gauss-féle számsíko! Megoldás: Jelöljük a megoldásokat u 0, u 1, u 2 -vel. u k = 2 cos k ) + j si k 360 = 3 = 2 cos k 120 )+ j si k 120 ) ), ahol k {0, 1, 2}, azaz u 0 = 2 cos j si 100 ), u 1 = 2 cos j si 220 ), u 2 = 2 cos j si 340 ). ) Készítette: Vajda Istvá 98
11 y u u 2 x u 1 Készítette: Vajda Istvá 99
Komplex számok. d) Re(z 4 ) = 0, Im(z 4 ) = 1 e) Re(z 5 ) = 0, Im(z 5 ) = 2 f) Re(z 6 ) = 1, Im(z 6 ) = 0
Komplex számok 1 Adjuk meg az alábbi komplex számok valós, illetve képzetes részét: a + i b i c z d z i e z 5 i f z 1 A z a + bi komplex szám valós része: Rez a, képzetes része Imz b Ez alapjá a megoldások
RészletesebbenDiszkrét matematika II., 3. előadás. Komplex számok
1 Diszkrét matematika II., 3. előadás Komplex számok Dr. Takách Géza NyME FMK Iformatikai Itézet takach@if.yme.hu http://if.yme.hu/ takach/ 2007. február 22. Komplex számok Szereték kibővítei a valós számtestet,
Részletesebben18. Differenciálszámítás
8. Differeciálszámítás I. Elméleti összefoglaló Függvéy határértéke Defiíció: Az köryezetei az ] ε, ε[ + yílt itervallumok, ahol ε > tetszőleges. Defiíció: Az f függvéyek az véges helye vett határértéke
RészletesebbenKomplex számok (el adásvázlat, 2008. február 12.) Maróti Miklós
Komplex számok el adásvázlat, 008. február 1. Maróti Miklós Eek az el adásak a megértéséhez a következ fogalmakat kell tudi: test, test additív és multiplikatív csoportja, valós számok és tulajdoságaik.
Részletesebben1. Adatok közelítése. Bevezetés. 1-1 A közelítő függvény
Palácz Béla - Soft Computig - 11-1. Adatok közelítése 1. Adatok közelítése Bevezetés A természettudomáyos feladatok megoldásához, a vizsgált jeleségek, folyamatok főbb jellemzői közötti összefüggések ismeretére,
RészletesebbenGAZDASÁGI MATEMATIKA 1. ANALÍZIS
SZENT ISTVÁN EGYETEM GAZDASÁGI, AGRÁR- ÉS EGÉSZSÉGTUDOMÁNYI KAR Dr. Szakács Attila GAZDASÁGI MATEMATIKA. ANALÍZIS Segédlet öálló mukához. átdolgozott, bővített kiadás Békéscsaba, Lektorálták: DR. PATAY
RészletesebbenVillamos gépek tantárgy tételei
Villamos gépek tatárgy tételei 7. tétel Mi a szerepe az áram- és feszültségváltókak? Hogya kapcsolódak a hálózathoz, milye előírások voatkozak a biztoságos üzemeltetésükre, kiválasztásukál milye adatot
RészletesebbenIngatlanfinanszírozás és befektetés
Nyugat-Magyarországi Egyetem Geoiformatikai Kar Igatlameedzser 8000 Székesfehérvár, Pirosalma u. 1-3. Szakiráyú Továbbképzési Szak Igatlafiaszírozás és befektetés 2. Gazdasági matematikai alapok Szerzı:
RészletesebbenFELADATOK A KALKULUS C. TÁRGYHOZ
FELADATOK A KALKULUS C. TÁRGYHOZ. HALMAZOK RELÁCIÓK FÜGGVÉNYEK. Bizoyítsuk be a halmaz-műveletek alapazoosságait! 2. Legye adott az X halmaz legye A B C X. Ha A B := (A B) (B A) akkor bizoyítsuk be hogy
Részletesebben7. el adás Becslések és minta elemszámok. 7-1. fejezet Áttekintés
7. el adás Becslések és mita elemszámok 7-1. fejezet Áttekités 7-1 Áttekités 7- A populáció aráy becslése 7-3 A populáció átlag becslése: σismert 7-4 A populáció átlag becslése: σem ismert 7-5 A populáció
Részletesebben3.4. gyakorlat. Matematika B1X február 1819.
3.4. gyakorlat Matematika B1X 2003. február 1819. 1. A harmadik el adás (II. 17.) 1.1. Számosság Egyel számosságú halmazok. Véges, megszámlálhatóa végtele és kotiuum számosságú halmazok. Hatváyhalmaz számossága
RészletesebbenI. FEJEZET BICIKLIHIÁNYBAN
I FEJEZET BICIKLIHIÁNYBAN 1 Az alapfeladat 1 Feladat Két település közti távolság 40 km Két gyerekek ezt a távolságot kellee megteie a lehetőlegrövidebb időalattakövetkező feltételek mellett: Va egy biciklijük
RészletesebbenIII. FEJEZET FÜGGVÉNYEK ÉS TULAJDONSÁGAIK
Függvéek és tulajdoságaik 69 III FEJEZET FÜGGVÉNYEK ÉS TULAJDONSÁGAIK 6 Gakorlatok és feladatok ( oldal) Írd egszerűbb alakba: a) tg( arctg ) ; c) b) cos( arccos ) ; d) Megoldás a) Bármel f : A B cos ar
RészletesebbenDebreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar. Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz. Halmazelmélet
Debrecei Egyetem Közgazdaság- és Gazdaságtudomáyi Kar Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz a megoldásra feltétleül ajálott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottak
RészletesebbenPélda: 5 = = negatív egész kitevő esete: x =, ha x 0
Ha mást em moduk, szám alatt az alábbiakba, midig alós számot értük. Műeletek összeadás: Példa: ++5 tagok: amiket összeaduk, az előző éldába a, az és az 5 szorzás: Példa: 5 téezők: amiket összeszorzuk,
RészletesebbenFeladatok megoldása. Diszkrét matematika I. Beadandó feladatok. Bujtás Ferenc (CZU7KZ) December 14, feladat: (A B A A \ C = B)
Diszkrét matematika I. Beadadó feladatok Bujtás Ferec (CZU7KZ) December 14 014 Feladatok megoldása 1..1-6. feladat: (A B A A \ C = B) A B A = A \ C = B igazolása: A B A = B \A = Ø = B = A B (Mivel a B-ek
RészletesebbenMérések, hibák. 11. mérés. 1. Bevezető
11. méré Méréek, hibák 1. evezető laboratóriumi muka orá gyakra mérük külöböző fizikai meyiégeket. Ezeket a méréeket bármeyire ügyeek vagyuk i, bármeyire moder digitáli mérőezköz gombjait yomogatjuk i
RészletesebbenRudas Tamás: A hibahatár a becsült mennyiség függvényében a mért pártpreferenciák téves értelmezésének egyik forrása
Rudas Tamás: A hibahatár a becsült meyiség függvéyébe a mért ártrefereciák téves értelmezéséek egyik forrása Megjelet: Agelusz Róbert és Tardos Róbert szerk.: Mérésről mérésre. A választáskutatás módszertai
Részletesebben5. Kombinatorika. 8. Legfeljebb hány pozitív egész számot adhatunk meg úgy, hogy semelyik kettő összege és különbsége se legyen osztható 2015-tel?
5. Kombiatorika I. Feladatok. Háyféleképpe olvashatók ki az alábbi ábrákról a PAPRIKAJANCSI, a FELADAT és a MATEMATIKASZAKKÖR szavak, ha midig a bal felső sarokból kell iduluk, és mide lépésük csak jobbra
RészletesebbenAz új építőipari termelőiár-index részletes módszertani leírása
Az új építőipari termelőiár-idex részletes módszertai leírása. Előzméyek Az elmúlt évekbe az építőipari árstatisztikába egy új, a korábba haszálatos költségalapú áridextől eltérő termelői ár alapú idexmutató
RészletesebbenMatematika I. 9. előadás
Matematika I. 9. előadás Valós számsorozat kovergeciája +-hez ill. --hez divergáló sorozatok A határérték és a műveletek kapcsolata Valós számsorozatok mootoitása, korlátossága Komplex számsorozatok kovergeciája
Részletesebben1. Írd fel hatványalakban a következõ szorzatokat!
Számok és mûveletek Hatváyozás aaaa a a darab téyezõ a a 0 0 a,ha a 0. Írd fel hatváyalakba a következõ szorzatokat! a) b),,,, c) (0,6) (0,6) d) () () () e) f) g) b b b b b b b b h) (y) (y) (y) (y) (y)
Részletesebben3.3 Fogaskerékhajtások
PTE, PMMK Stampfer M.: Gépelemek II / Mechaikus hajtások II / 7 / 3.3 Fogaskerékhajtások Jó tulajoságaikak köszöhetőe a fogaskerékhajtóművek a legelterjetebbek az összes mechaikus hajtóművek közül. A hajtás
RészletesebbenKomplex számok. 6. fejezet. A komplex szám algebrai alakja. Feladatok. alábbi komplex számokat és helyvektorukat:
6 fejezet Komplex számo A omplex szám algebrai alaja D 61 Komplex száma evezü mide olya a+bi alaú ifejezést amelybe a és b valós szám i pedig az összes valós számtól ülöböz épzetes egysége evezett szimbólum
RészletesebbenVI.Kombinatorika. Permutációk, variációk, kombinációk
VI.ombiatorika. ermutációk, variációk, kombiációk VI..ermutációk ismétlés élkül és ismétléssel (sorredi kérdések) l..) Az,, számjegyekből, ismétlés élkül, háy háromjegyű szám írható? F. 6 db. va. A feti
RészletesebbenKészségszint-mérés és - fejlesztés a matematika kompetencia területén
Kis Tigris Gimázium és Szkiskol Készségszit-mérés és - fejlesztés mtemtik kompeteci területé Vlj Máté 0. Bevezetés A Második Esély A Második Esély elevezés egy oly okttási strtégiát tkr, melyek egyik legfő
RészletesebbenFANTASZTIKUS KOMBINATORIKA. Adva van n különböző elem. A kiválasztás sorrendje számít VARIÁCIÓ. mateking.hu
FANTASZTIKUS KOMBINATORIKA Adva va külöböző elem Kiválasztuk k darabot Vesszük az összes elemet és sorba rakjuk A kiválasztás sorredje számít A kiválasztás sorredje em számít PERMUTÁCIÓ P matekig.hu Ha
Részletesebben2 x. Ez pedig nem lehetséges, mert ilyen x racionális szám nincs. Tehát f +g nem veszi fel a 0-t.
Ászpóke csapat Kalló Beát, Nagy Baló Adás Nagy Jáos, éges Máto Fazekas tábo 008. Igaz-e, hogy ha az f, g: Q Q függvéyek szigoúa ooto őek és étékkészletük a teljes Q, akko az f g függvéy étékkészlete is
Részletesebben1. A KOMPLEX SZÁMTEST A természetes, az egész, a racionális és a valós számok ismeretét feltételezzük:
1. A KOMPLEX SZÁMTEST A természetes, az egész, a raioális és a valós számok ismeretét feltételezzük: N = f1 ::: :::g Z = f::: 3 0 1 3 :::g p Q = j p q Z és q 6= 0 : q A valós szám értelmezése végtele tizedestörtkét
Részletesebben(anyagmérnök nappali BSc + felsőf. szakk.) Oktatók: Dr. Varga Péter ETF (előtan. feltétel): ---
A ttárgy eve: Mtemtik I Heti órszám: 3+3 (6 kredit) Ttárgy kódj: GEMAN0B (ygmérök ppli BSc + felsőf szkk) A tárgy lezárás: láírás + kollokvium Okttók: Dr Vrg Péter ETF (előt feltétel): --- Algebr, lieáris
RészletesebbenA logaritmus függvény bevezetése és alkalmazásai
Eötvös Loád Tudomáyegyetem Temészettudomáyi Ka A logaitmus függvéy bevezetése és alkalmazásai Szakdolgozat Készítette: Témavezető: Lebaov Dóa Mezei Istvá Adjuktus Matematika Bs Alkalmazott Aalízis és Matematikai
Részletesebbenn akkor az n elem összes ismétléses ... k l k 3 k 1! k 2!... k l!
KOMBINATORIKAI ALAPFOGALMAK A ombiatoria általába a véges halmazora voatozó redezési és leszámlálási feladatoal foglalozi. Az elemi ombiatoria legtöbb esetbe a övetező ét érdés egyiére eresi a választ:
RészletesebbenPályázat címe: Pályázati azonosító: Kedvezményezett: Szegedi Tudományegyetem Cím: 6720 Szeged, Dugonics tér 13. www.u-szeged.hu www.palyazat.gov.
Pályázat címe: Új geerációs sorttudomáyi kézés és tartalomfejlesztés, hazai és emzetközi hálózatfejlesztés és társadalmasítás a Szegedi Tudomáyegyeteme Pályázati azoosító: TÁMOP-4...E-5//KONV-05-000 Sortstatisztika
RészletesebbenTartalomjegyzék. Pemutáció 5 Ismétléses permutáció 8 Variáció 9 Ismétléses variáció 11 Kombináció 12 Ismétléses kombináció 13
Tartalomjegyzék I Kombiatorika Pemutáció Ismétléses permutáció 8 Variáció 9 Ismétléses variáció Kombiáció Ismétléses kombiáció II Valószíségszámítás M/veletek eseméyek között 6 A valószí/ség fogalma 8
Részletesebben1.1 Példa. Polinomok és egyenletek. Jaroslav Zhouf. Első rész. Lineáris egyenletek. 1 A lineáris egyenlet definíciója
Poliomok és egyeletek Jaroslav Zhouf Első rész Lieáris egyeletek A lieáris egyelet defiíciója A következő formájú egyeleteket: ahol a, b valós számok és a + b 0, a 0, lieáris egyeletek hívjuk, az ismeretle
RészletesebbenAz iparosodás és az infrastrukturális fejlődés típusai
Az iparosodás és az ifrastrukturális fejlődés típusai Az iparosodás és az ifrastrukturális fejlődés kapcsolatába törtéelmileg három fejlődési típus vázolható fel: megelőző, lácszerűe együtt haladó, utólagosa
RészletesebbenHosszmérés finomtapintóval 2.
Mechatroika, Optika és Gépészeti Iformatika Taszék kiadva: 0.0.. Hosszmérés fiomtapitóval. A mérések helyszíe: D. épület 53-as terem. Az aktuális mérési segédletek a MOGI Taszék holapjá érhetők el, a www.mogi.bme.hu
RészletesebbenA statisztika részei. Példa:
STATISZTIKA Miért tauljuk statisztikát? Mire haszálhatjuk? Szakirodalom értő és kritikus olvasásához Mit állít egyáltalá a cikk? Korrektek-e a megállaítások? Vizsgálatok (kísérletek és felmérések) tervezéséhez,
RészletesebbenDiszkrét matematika 1. estis képzés
Diszkrét matematika 1. estis képzés 2019. tavasz 1. Diszkrét matematika 1. estis képzés 5. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján
Részletesebben2. AZ INFORMÁCIÓS TÁRSADALOM ÉRTELMEZÉSI DIFFERENCIÁINAK TERÜLETI KÖVETKEZMÉNYEI
2. AZ INFORMÁCIÓS TÁRSADALOM ÉRTELMEZÉSI DIFFERENCIÁINAK TERÜLETI KÖVETKEZMÉNYEI 2.1. Az iformációs társadalom és gazdaság fogalmáak külöbözô értelmezései 2.1.1. Az iformációs társadalom Bármely iformációs
RészletesebbenA HŐMÉRSÉKLETI SUGÁRZÁS
A HŐMÉRSÉKLETI SUGÁRZÁS 1. Törtéeti összefoglaló A tizekilecedik század végé a fizikát lezárt tudomáyak tartották. A sikeres Newto-i mechaika és gravitációs elmélet alapjá a Napredszer bolygóiak mozgása
RészletesebbenMATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA)
O k t a t á s i H i v a t a l A 5/6 taévi Országos Középiskolai Taulmáyi Versey első forduló MATEMATIKA I KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató A 5 olya égyjegyű szám, amelyek számjegyei
Részletesebben1. Gyökvonás komplex számból
1. Gyökvoás komplex számból Gyökvoás komplex számból. Ismétlés: Ha r, s > 0 valós, akkor rcos α + i siα) = scos β + i siβ) potosa akkor, ha r = s, és α β a 360 egész számszorosa. Moivre képlete scos β+i
RészletesebbenPRÓBAÉRETTSÉGI MATEMATIKA. 2003. május-június SZÓBELI EMELT SZINT. Tanulói példány. Vizsgafejlesztő Központ
PRÓBAÉRETTSÉGI 2003. május-június MATEMATIKA SZÓBELI EMELT SZINT Tanulói példány Vizsgafejlesztő Központ 1. Halmazok, halmazműveletek Alapfogalmak, halmazműveletek, számosság, számhalmazok, nevezetes ponthalmazok
RészletesebbenMatematikai statisztika
Matematikai statisztika PROGRAMTERVEZŐ INFORMATIKUS alapszak, A szakiráy Arató Miklós Valószíűségelméleti és Statisztika Taszék Természettudomáyi Kar 2019. február 18. Arató Miklós (ELTE) Matematikai statisztika
RészletesebbenKoordinátageometria összefoglalás. d x x y y
Koordiátageometria összefoglalás Vektorok A helyvektor hossza Két pot távolsága r x y d x x y y AB A két potot összekötő vektort megkapjuk, ha a végpot koordiátáiból kivojuk a kezdőpot koordiátáit. Vektor
RészletesebbenARITMETIKA ÉS ALGEBRA I. TERMÉSZETES SZÁMOK
ARITMETIKA ÉS ALGEBRA I. TERMÉSZETES SZÁMOK 1. MŐVELETEK TERMÉSZETES SZÁMOKKAL ) Összedás: + = c és - összeddók, c - összeg A feldtok yivl gyo (tö). Az összedás tuljdosági: 1) kommuttív (felcserélhetı):
Részletesebben1. Az absztrakt adattípus
. Az asztrakt adattípus Az iformatikáa az adat alapvető szerepet játszik. A számítógép, mit automata, adatokat gyűjt, tárol, dolgoz fel (alakít át) és továít. Mi adatak foguk tekitei mide olya iformációt,
RészletesebbenTranziens káosz nyitott biliárdasztalokon
Eötvös Lorád Tudomáyegyetem Természettudomáyi kar Vicze Gergely Trazies káosz yitott biliárdasztaloko Msc szakdolgozat Témavezető: Tél Tamás, egyetemi taár Elméleti Fizikai Taszék Budapest, 2012 1 Tartalom
RészletesebbenMatematika emelt szint a 11-12.évfolyam számára
Német Nemzetiségi Gimnázium és Kollégium Budapest Helyi tanterv Matematika emelt szint a 11-12.évfolyam számára 1 Emelt szintű matematika 11 12. évfolyam Ez a szakasz az érettségire felkészítés időszaka
RészletesebbenNevezetes sorozat-határértékek
Nevezetes sorozat-határértékek. Mide pozitív racioális r szám eseté! / r 0 és! r +. Bizoyítás. Jelöljük p-vel, illetve q-val egy-egy olya pozitív egészt, melyekre p/q r, továbbá legye ε tetszőleges pozitív
RészletesebbenGEOMETRIAI OPTIKA - ÓRAI JEGYZET
ε ε hullámegelet: Mérökizikus szak, Optika modul, III. évolam /. élév, Optika I. tárg GEOMETRIAI OPTIKA - ÓRAI JEGYZET (Erdei Gábor, Ph.D., 6. AJÁNLOTT SZAKIRODALOM: ELMÉLETI ALAPOK Maxwell egeletek E(
RészletesebbenAnalízis elo adások. Vajda István. 2012. szeptember 10. Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem. Vajda István (Óbudai Egyetem)
Vajda István Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem 1 / 36 Bevezetés A komplex számok értelmezése Definíció: Tekintsük a valós számpárok R2 halmazát és értelmezzük ezen a halmazon a következo két
RészletesebbenA PÉNZ IDİÉRTÉKE. Egy jövıbeni pénzösszeg jelenértéke:
A PÉNZ IDİÉRTÉKE A péz értéke többek között az idı függvéye. Ha idıbe késıbb jutuk hozzá egy jövedelemhez, akkor elveszítjük aak lehetıségét, hogy az eltelt idıbe azt befektessük, azaz elesük aak hozamától,
RészletesebbenBevezetés az algebrába komplex számok
Bevezetés az algebrába komplex számok Wettl Ferec Algebra Taszék B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M 2015. december 6.
RészletesebbenA kurzus teljesítésének feltételei. Az I404 kódú kurzus teljesítéséhez meg kell oldani egy otthoni feladatot, határidő április 30.
Évközi teljesítés A kurzus teljesítéséek feltételei Két gyakorlato egírt ZH, az elérhető 00 potból 50 potot kell eléri. Aki e teljesíti a feltételt a vizsgaidőszak első hetébe a vizsgára egedésért írhat
RészletesebbenBaran Ágnes. Gyakorlat Komplex számok. Baran Ágnes Matematika Mérnököknek Gyakorlat 1 / 16
Matematika Mérnököknek 1. Baran Ágnes Gyakorlat Komplex számok Baran Ágnes Matematika Mérnököknek 1. 1.-2. Gyakorlat 1 / 16 1. Oldja meg az alábbi egyenleteket a komplex számok halmazán! Ábrázolja a megoldásokat
RészletesebbenANALÓG-DIGITÁLIS ÉS DIGITÁLIS-ANALÓG ÁTALAKÍTÓK
F3 Bev. az elektroikába E, Kísérleti Fizika Taszék ANALÓG-IGITÁLIS ÉS IGITÁLIS-ANALÓG ÁTALAKÍTÓK Az A és A átalakítók feladata az aalóg és digitális áramkörök közötti kapcsolat megvalósítása. A folytoos
Részletesebben10. évfolyam, harmadik epochafüzet
0. évfolyam, harmadik epochafüzet (Sorozatok, statisztika, valószíűség) Tulajdoos: MÁSODIK EPOCHAFÜZET TARTALOM I. Sorozatok... 4 I.. Sorozatok megadása, defiíciója... 4 I.. A számtai sorozat... 0 I...
RészletesebbenKAOTIKUS VAGY CSAK ÖSSZETETT? Labdák pattogása lépcsôn
A FIZIKA TANÍTÁSA KAOTIKUS VAGY CSAK ÖSSZETETT? Labdák pattogása lépcsô Griz Márto ELTE Elméleti Fizikai Taszék Meszéa Tamás Ciszterci Red Nagy Lajos Gimázima Pécs, a Fizika taítása PhD program hallgatója
RészletesebbenA pályázat címe: Rugalmas-képlékeny tartószerkezetek topológiai optimalizálásának néhány különleges feladata
6. év OTKA zárójeletés: Vezető kutató:kalszky Sádor OTKA ylvátartás szám T 4993 A pályázat címe: Rugalmas-képlékey tartószerkezetek topológa optmalzálásáak éháy külöleges feladata (Részletes jeletés) Az
RészletesebbenV. GYAKORLATOK ÉS FELADATOK ALGEBRÁBÓL
86 Összefoglaló gyaorlato és feladato V GYAKORLATOK ÉS FELADATOK ALGEBRÁBÓL 5 Halmazo, relácó, függvéye Bzoyítsd be, hogy ha A és B ét tetszőleges halmaz, aor a) P( A) P( B) P( A B) ; b) P( A) P ( B )
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 1. estis képzés 2017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. estis képzés 2. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján
RészletesebbenA települési hősziget-intenzitás Kárpátalja alföldi részén 1
A települési hősziget-itezitás Kárpátalja alföldi részé Molár József, Kakas Móika, Marguca Viola A települési hőszigetek kifejlődéséek vizsgálata az urbaizáció folyamatáak előrehaladásával párhuzamosa
Részletesebben9. ÉVFOLYAM. Tájékozottság a racionális számkörben. Az azonosságok ismerete és alkalmazásuk. Számok abszolútértéke, normál alakja.
9. ÉVFOLYAM Gondolkodási módszerek A szemléletes fogalmak definiálása, tudatosítása. Módszer keresése az összes eset áttekintéséhez. A szükséges és elégséges feltétel megkülönböztetése. A megismert számhalmazok
Részletesebben10.M ALGEBRA < <
0.M ALGEBRA GYÖKÖS KIFEJEZÉSEK. Mutassuk meg, hogy < + +... + < + + 008 009 + 009 008 5. Mutassuk meg, hogy va olya pozitív egész szám, amelyre 99 < + + +... + < 995. Igazoljuk, hogy bármely pozitív egész
RészletesebbenTENYÉSZTÉSES MIKROBIOLÓGIAI VIZSGÁLATOK II. 1. Mikroorganizmusok számának meghatározása telepszámlálásos módszerrel
TENYÉSZTÉSES MIKROBIOLÓGIAI VIZSGÁLATOK II. 1. Mikroorgaizmusok számáak meghatározása telepszámlálásos módszerrel A telepszámlálásos módszerek esetébe a teyésztést szilárd táptalajo végezzük, így - szembe
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 1. középszint 016. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 1. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra
Részletesebben(d) x 6 3x 2 2 = 0, (e) x + x 2 = 1 x, (f) 2x x 1 = 8, 2(x 1) a 1
. Bevezető. Oldja meg az alábbi egyeleteket: (a cos x + si x + cos x si x = (b π si x = x π 4 x 3π 4 cos x (c cos x + si x = si x (d x 6 3x = 0 (e x + x = x (f x + 5 + x = 8 (g x + + x + + x + x + =..
RészletesebbenAzonos névleges értékű, hitelesített súlyokból alkotott csoportok együttes mérési bizonytalansága
Azoos évleges értékű, htelesített súlyokból alkotott csoportok együttes mérés bzoytalasága Zeleka Zoltá* Több mérés feladatál alkalmazak súlyokat. Sokszor ezek em egyekét, haem külöböző társításba kombácókba
RészletesebbenV. Deriválható függvények
Deriválható függvéyek V Deriválható függvéyek 5 A derivált fogalmához vezető feladatok A sebesség értelmezése Legye az M egy egyees voalú egyeletes mozgást végző pot Ez azt jeleti, hogy a mozgás pályája
RészletesebbenPÉLDATÁR A SZÁMÍTÓGÉPES TESZTHEZ. Írta Dr. Huzsvai László
PÉLDATÁR A SZÁMÍTÓGÉPES TESZTHEZ Írta Dr. Huzsvai László Debrece 2012 Tartalomjegyzék Bevezetés...1 Viszoyszámok...1 Középértékek (átlagok)...2 Szóródási mutatók...4 Idexek...7 Furfagos kérdések...8 Bevezetés
RészletesebbenFüggetlen komponens analízis
Elektroiku verzió. Az eredeti cikk az ElektroNET (ISSN: 9-705X) 00 évf. 3 zám, 0 oldalá jelet meg. Függetle kompoe aalízi A függetle kompoe aalízi (Idepedet Compoet Aalyi, ICA) egy vizoylag új jelfeldolgozái
RészletesebbenKomplex számok. 2014. szeptember 4. 1. Feladat: Legyen z 1 = 2 3i és z 2 = 4i 1. Határozza meg az alábbi kifejezés értékét!
Komplex számok 014. szeptember 4. 1. Feladat: Legyen z 1 i és z 4i 1. (z 1 z ) (z 1 z ) (( i) (4i 1)) (6 9i 8i + ) 8 17i 8 + 17i. Feladat: Legyen z 1 i és z 4i 1. Határozza meg az alábbi kifejezés értékét!
RészletesebbenSzámsorozatok. 1. Alapfeladatok december 22. sorozat határértékét, ha. 1. Feladat: Határozzuk meg az a n = 3n2 + 7n 5n létezik.
Számsorozatok 2015. december 22. 1. Alapfeladatok 1. Feladat: Határozzuk meg az a 2 + 7 5 2 + 4 létezik. sorozat határértékét, ha Megoldás: Mivel egy tört határértéke a kérdés, ezért vizsgáljuk meg el
RészletesebbenANDRÁS SZILÁRD, CSAPÓ HAJNALKA, NAGY ÖRS SIPOS KINGA, SOÓS ANNA, SZILÁGYI JUDIT
ANDRÁS SZILÁRD, CSAPÓ HAJNALKA, NAGY ÖRS SIPOS KINGA, SOÓS ANNA, SZILÁGYI JUDIT KÍVÁNCSISÁGVEZÉRELT MATEMATIKA TANÍTÁS STÁTUS KIADÓ CSÍKSZEREDA, 010 c PRIMAS projekt c Adrás Szilárd Descrierea CIP a Bibliotecii
RészletesebbenFüggvényhatárérték-számítás
Függvéyhatárérték-számítás I Függvéyek véges helye vett véges határértéke I itervallumo, ha va olya k valós szám, melyre az I itervallumo, ha va olya K valós szám, melyre I itervallumo, ha alulról és felülről
RészletesebbenVÉLETLENÍTETT ALGORITMUSOK. 1.ea.
VÉLETLENÍTETT ALGORITMUSOK 1.ea. 1. Bevezetés - (Mire jók a véletleített algoritmusok, alap techikák) 1.1. Gyorsredezés Vegyük egy ismert példát, a redezések témaköréből, méghozzá a gyorsredezés algoritmusát.
RészletesebbenSZÁMELMÉLET. Vasile Berinde, Filippo Spagnolo
SZÁMELMÉLET Vasile Beride, Filippo Spagolo A számelmélet a matematika egyik legrégibb ága, és az egyik legagyobb is egybe Eek a fejezetek az a célja, hogy egy elemi bevezetést yújtso az első szite lévő
Részletesebben3. SOROZATOK. ( n N) a n+1 < a n. Egy sorozatot (szigorúan) monotonnak mondunk, ha (szigorúan) monoton növekvő vagy csökkenő.
3. SOROZATOK 3. Sorozatok korlátossága, mootoitása, kovergeciája Defiíció. Egy f : N R függvéyt valós szám)sorozatak evezük. Ha A egy adott halmaz és f : N A, akkor f-et A-beli értékű) sorozatak evezzük.
RészletesebbenVegyészmérnöki, Biomérnöki, Környezetmérnöki szakok, 2017/18 ősz. 2 dx = 1, cos nx dx = 2 π. sin nx dx = 2 π
Matematika Ac gyakorlat Vegyzméröki, Bioméröki, Köryezetméröki szakok, 7/8 ősz 4. feladatsor: Fourier-sorok megoldás. Legye fx = ha x, ], fx = ha x, π]. Írjuk fel f Fourier-sorát. Mely potokba állítja
RészletesebbenInnen. 2. Az. s n = 1 + q + q 2 + + q n 1 = 1 qn. és q n 0 akkor és csak akkor, ha q < 1. a a n végtelen sor konvergenciáján nem változtat az, ha
. Végtele sorok. Bevezetés és defiíciók Bevezetéskét próbáljuk meg az 4... végtele összegek értelmet adi. Mivel végtele sokszor em tuduk összeadi, emiatt csak az első tagot adjuk össze: legye s = 4 8 =,
Részletesebben6. MÉRÉS ASZINKRON GÉPEK
6. MÉRÉS ASZINKRON GÉPEK A techikai fejlettég mai zívoalá az azikro motor a legelterjedtebb villamo gép, amely a villamo eergiából mechaikai eergiát (forgó mozgát) állít elő. Térhódítáát a háromfáziú váltakozó
RészletesebbenTartalomjegyzék. 4.3 Alkalmazás: sorozatgyártású tűgörgő átmérőjének jellemzése
3 4 Tartalomegyzék. BEVEZETÉS 5. A MÉRÉS 8. A mérés mt folyamat, fogalmak 8. Fotosabb mérés- és műszertechka fogalmak 4.3 Mérés hbák 8.3. Mérés hbák csoportosítása eredetük szert 8.3. A hbák megeleítés
RészletesebbenAlgebra gyakorlat, 3. feladatsor, megoldásvázlatok
Algebra gyakorlat, 3. feladatsor, megoldásvázlatok 1. a) Z(G), mert az egységelem yilvá felcserélhet mide G-beli elemmel. Továbbá Z(G) zárt a szorzásra, mert ha a, b Z(G), akkor tetsz leges g G-re (ab)g
RészletesebbenÁltalánosítás. Többdimenziós normális eloszlás. Matematikai statisztika elıadás III. éves elemzı szakosoknak
Matematikai statisztika elıadás. éves elemzı szakosokak 0. elıadás Többdimeziós ormális eloszlás Kétdimeziós ormális eloszlás sőrőségfüggvéye ( ( x µ ) ρ ( y ν ) f x, y) ex + ( x µ )( y ν ) ) πσς ρ σ σς
Részletesebben(arcsin x) (arccos x) ( x
ALAPDERIVÁLTAK ( c ) (si ) cos ( ) (cos ) si ( ) ( ) ( tg) cos ( e ) e ( ctg ) si ( a ) a l a ( sh) ch (l ) ( ch) sh (log a ) ( th) l a ch (arcsi ) (arccos ) ( arctg ) DERIVÁLÁSI SZABÁLYOK. ( c ) c. c
RészletesebbenINTERFERENCIA - ÓRAI JEGYZET
FZKA BSc,. évfolya /. félév, Optika tárgy TERFERECA - ÓRA JEGYZET (Erdei Gábor, Ph.D., 8. AJÁLOTT SZAKRODALOM: ALAPFOGALMAK Klei-Furtak, Optics Richter, Bevezetés a oder optikába Bor-Wolf, Priciples of
Részletesebben1. A radioaktivitás statisztikus jellege
A radioaktivitás időfüggése 1. A radioaktivitás statisztikus jellege Va N darab azoos radioaktív atomuk, melyekek az atommagja spotá átalakulásra képes. tegyük fel, hogy ezek em bomlaak tovább. Ekkor a
Részletesebbena legjobb kezekben K&H Csoport
a legjobb kezekbe A K&H Biztosító 1992 óta működik Magyarországo, és közel félmillió ügyfelet szolgál ki. A K&H Biztosító a magyar piac sajátosságait figyelembe véve alakította ki szolgáltatási palettáját,
Részletesebben1. Gyökvonás komplex számból
1. Gyökvoás komplex számból Gyökvoás komplex számból Ismétlés: Ha r,s > 0 valós, akkor r(cosα+isiα) = s(cosβ+isiβ) potosa akkor, ha r = s, és α β a 360 egész számszorosa. Moivre képlete: ( s(cosβ+isiβ)
RészletesebbenCsapágyak üzem közbeni vizsgálata a csavarhúzótól a REBAM 1 -ig 2
ÜZEMFENNTARTÁSI TEVÉKENYSÉGEK 3.9 Csapágyak üzem közbei vizsgálata a csavarhúzótól a REBAM 1 -ig 2 Gergely Mihály okl. gépészmérök, Acceleratio Bt. Budapest Tóbis Zsolt doktoradusz, Miskolci Egyetem Gépelemek
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 1. középszint 017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra
Részletesebben(A TÁMOP /2/A/KMR számú projekt keretében írt egyetemi jegyzetrészlet):
A umerikus sorozatok fogalma, határértéke (A TÁMOP-4-8//A/KMR-9-8 számú projekt keretébe írt egyetemi jegyzetrészlet): Koverges és diverges sorozatok Defiíció: A természetes számoko értelmezett N R sorozatokak
RészletesebbenMérési adatok feldolgozása. 2008.04.08. Méréselmélet PE_MIK MI_BSc, VI_BSc 1
Mérés adatok feldolgozása 2008.04.08. Méréselmélet PE_MIK MI_BSc, VI_BSc Bevezetés A mérés adatok külöböző formába, általába ömlesztve jeleek meg Ezeket az adatokat külöböző szempotok szert redez kértékel
RészletesebbenBaran Ágnes. Gyakorlat Komplex számok. Baran Ágnes Matematika Mérnököknek Gyakorlat 1 / 33
Matematika Mérnököknek 1. Baran Ágnes Gyakorlat Komplex számok Baran Ágnes Matematika Mérnököknek 1. 2.-4. Gyakorlat 1 / 33 Feladatok 1. Oldja meg az alábbi egyenleteket a komplex számok halmazán! Ábrázolja
Részletesebben2. Az együttműködő villamosenergia-rendszer teljesítmény-egyensúlya
II RÉZ 2 EJEZE 2 Az együttműködő vllamoseerga-redszer teljesítméy-egyesúlya 2 A frekveca és a hatásos teljesítméy között összefüggés A fogyasztó alredszerbe a fogyasztók hatásos wattos teljesítméyt lletve
RészletesebbenN - edik gyökvonás. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)
Brósch Zoltá (Debrecei Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimáziuma) N - edik gyökvoás DEFINÍCIÓ: (Négyzetgyökvoás) Egy em egatív x valós szám égyzetgyöké azt a em egatív valós számot értjük, amelyek égyzete
RészletesebbenMatematikai játékok. Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova
Első rész Matematikai tréfák Matematikai játékok Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova A következő matematikai játékokba matematikai tréfákba a végső eredméy a játék kiidulási feltételeitől függ, és em a
RészletesebbenKevei Péter. 2013. november 22.
Valószíűségelmélet feladatok Kevei Péter 2013. ovember 22. 1 Tartalomjegyzék 1. Mérhetőség 4 2. 0 1 törvéyek 12 3. Vektorváltozók 18 4. Véletle változók traszformáltjai 28 5. Várható érték 33 6. Karakterisztikus
Részletesebben