Mátrixok és determinánsok

Méret: px

Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Mátrixok és determinánsok"

Nándor Faragó
8 évvel ezelőtt
Látták:

1 Informtik lpji Mátriok és erminánsok számok egyfjt tábláztát mátrink hívjuk. mátriok hsználhtóság igen sokrétő kezdve mtemtikávl, folyttv számítástechnikán és fizikán keresztül, egészen z elektrotechnikáig. Definíció. z m n típusú tábláztot L m m O n n, mn mátrink hívjuk, hol m,n R. mátri i, j helyén lévı számot mátri elemének hívjuk, jelölése ij, i,j R. mátriokt mind írásbn, mind nyomttásbn z C ngy betőivel jelöljük kétszer láhúzv, pl.. Tétel. Minden mátri sorokból és oszlopokból áll. mátri i-edik sor R i ( i i in ), i R, egy m típusú mátri (egyben z elızı felírás vektornk is értelmezhetı). mátri j-edik oszlop C j j j, M mj j R, egy n típusú mátri. z i, i R elemek mátri átlóját lkotják.

z m n típusú tábláztot L m m O n n, mn mátrink hívjuk, hol m,n R. mátri i, j helyén lévı számot mátri elemének hívjuk, jelölése ij, i,j R.

2 Informtik lpji. péld dott z mátri. Oldj meg következı feldtokt: ) Állpíts meg mátri típusát. b) Sorlj fel mátri elemeit. c) Sorolj fel mátri sorit és oszlopit. d) Mely elemek lkotják mátri átlóját? Megoldás ) mátri -es. b) mátri elemei:,,,-,,. c) mátri sori: (,,) és (-,, ). mátri oszlopi:,,. d) métri átlóját z és lkotj. Gykorlt Oldj meg önállón z. péld lpján: ) b),, c), Definíció. z n n típusú mátriot n-edfokú négyzetes mátrink hívjuk. Definíció. zt négyzetes mátriot, mely digonálisbn csk egyeseket trtlmz és zon kívül csk null lkotj, egységmátrink hívjuk. Jelölése E vgy I. E L O

c) mátri sori: (,,) és (-,, ). mátri oszlopi:,,. d) métri átlóját z és lkotj. Gykorlt Oldj meg önállón z. péld lpján: ) b),, c), Definíció.

3 Informtik lpji Definíció. Legyen dott és. két mátri között z egyenlıség kkor és csk kkor áll fenn, h elemenként egyenlıek. R j i b ij ij,, Tétel. Meg kell jegyezni, hogy z egyenlıség cskis zonos típúsú mátrioknál áll fenn.. péld Htározz meg, mely estekben lesz egyenlı két mátri. és Megoldás definíció lpján tudjuk, hogy két mátri csk kkor egyenlı, h elemenként megegyeznek. Ebbıl következik, hogy és -. Gykorlt Állpíts meg, hogy két mátri mikor lesz egyenlı, esetleg egyenlı-e, h nem egyenlı indokolj meg miért. ), f b c b) l j g k,

. péld Htározz meg, mely estekben lesz egyenlı két mátri.

4 Informtik lpji c), d) c b, E Definíció. zt m n típusú mátriot, hol csk z átlóbn és felette tlálhtók nullától különbözı elemek, felsıháromszögő mátrink hívjuk. zt m n típusú mátriot, hol csk z átlóbn és ltt tlálhtók nullától különbözı számok, lsóháromszögő mátrink hívjuk. Péld. és Definíció. z T mátriot, mely z oszlopok, és sorok kölcsönös felcserélésébıl jön létre, mátri trnszponáltjánk hívjuk. Péld. Legyen, kkor mátri trnszponáltj T. Tétel. z egységmátriokr érvényes T E E.

zt m n típusú mátriot, hol csk z átlóbn és ltt tlálhtók nullától különbözı számok, lsóháromszögő mátrink hívjuk. Péld.

5 Informtik lpji Gykorlt Milyen számokt kell behelyettesíteni betők helyére, hogy felsıh. és lsóh. mátriokt kpjunk? Trnszponálj mátriokt. ) d e b) f h g c) k n f b Definíció. H egy mátrir érvényes, hogy ij - ji, kkor mátri ntiszimetrikus. H egy mátrir érvényes, hogy ij ji, kkor szimmetrikus mátriról beszélünk. Péld. és Definíció. zt mátriot, melynek minden eleme null, nullmátrink hívjuk. Jelölése. Definíció. Digonális mátrink hívjuk zt m n típusú mátriot, melyre érvényes ii ; i,,,,n és ij ; i j. Péld.

H egy mátrir érvényes, hogy ij ji, kkor szimmetrikus mátriról beszélünk. Péld. és Definíció.

6 Informtik lpji Definíció. Mátriok összedás kommuttív és sszocitív is egyben. Végrehjtás elemenként történik, vgyis két mátri elemeit megfelelı helyen összedjuk. Péld. Tétel. z összedás cskis két zonos típusú mátri között lehetséges. Definíció. zt z m n típusú mátri és egy sklár λ R szorzt egy m n típusú mátri mn m n mn m n λ λ λ λ λ λ L M O M L L M O M L. Definíció. Legyen mn és np. szorztuk mn. np egy n p típusú mátri. Tétel. Mátriok szorzás nem komuttív, nem cserélhetı fel.. péld Legyen és ( ). izonyítsuk be, hogy szorzás nem komuttív. z mátri és. Szorozzuk össze kétféle képpen. ( ) ( ).... Láthtjuk, hogy két végeredmény nem ugynz.

zt z m n típusú mátri és egy sklár λ R szorzt egy m n típusú mátri mn m n mn m n λ λ λ λ λ λ L M O M L L M O M L. Definíció. Legyen mn és np. szorztuk mn.

7 Informtik lpji Gykorlt Végezze el mőveleteket. ) b) c) d) e) f) g) h) ( ). i) j) k) l).

8 Informtik lpji m). Mi lesz végeredménye következı szorztnk?.? Számolj ki mátri négyzetét és köbét. Ellenırzı kérdések:. Hogyn mgyrázná el mátri foglmát?. Mit jelent z, hogy mátri es típusú?. Mi szimmetrikus és ntiszimmetrikus mátri?. Mi mátri digonális?. Mikor mondjuk, hogy két mátri egyenlı?. Milyen mátri felsıhásromszög mátri?. Hogyn dunk össze két mátriot? Szemléltesse példávl.. Összedhtó-e két nem zonos típusú mátri? Minden n-edfokú mátrihoz egyértelmően hozzárendelhetı egy szám. Ezt számot hívjuk erminánsnk. Definíció. Egy mátri ermináns z szám, mit -vl jelölünk, mely következı képpen vn definiálv: ) n -re b) n esetén pedig ( ) n j j j j, mely sorbfejtést jelent j-edik oszlop lpján.

. Milyen mátri felsıhásromszög mátri?. Hogyn dunk össze két mátriot? Szemléltesse példávl.. Összedhtó-e két nem zonos típusú mátri?

9 Informtik lpji Tétel. Srrus szbály Szétírv: Szétírv: Tétel. H ermináns egy oszlopot vgy sort trtlmz, mely csk nullákból áll, végeredmény null lesz. H egy erminánsbn két egyform sor vn, kkor végeredmény null lesz. H egy ermináns felsıh. ermináns, kkor végeredmény z átlóbn lévı számok szorzt.

10 Informtik lpji TIPP!!! Hogyn számoljuk ki egy hrmdfokú mátri erminánsát sorbfejtés segítségével? Lássunk egy példát. Mivel z ember lust, ebbúl kiindulv keressünk mátriunkbn olyn sort vgy oszlopot, hol több null. Ezzel idıt és energiát spórolunk meg. Nézzük kkor példát. Válsszuk ki középsı sort, és képzeletben tkrjuk le. Most pedig írjuk szét:.... Ezt szétírást következıképpen kptuk: képzeletben letkrtuk z áltlunk kiválsztott sort és z elsı oszlopot. kiválsztott sorunkból nullát, mivel elsı szám pozitív elıjellel leírtuk és fennmrdó számok dt szuberminánst kiszámoljuk. követketı lépésben letkrtuk középsı oszlopot és számot sorunkból negtív elıjellel írtuk le. z elıjelek ciklikusn változnk. Most pedig fejezzük be számolást. ) (.)] ( [.)] ( [....

Válsszuk ki középsı sort, és képzeletben tkrjuk le. Most pedig írjuk szét:.... Ezt szétírást következıképpen kptuk: képzeletben letkrtuk z áltlunk kiválsztott sort és z elsı oszlopot.

11 Informtik lpji Gykorlt ) b) c) d) e) f) g) h) i) j) Ellenırzı kérdések:. Mi z ermináns?. Mit jelent z i-edik sor szerinti sorb fejtés?. Mi Srrus-szbály?

12 Informtik lpji Mátriok és erminánsok lklmzás z egyik leggykrbb terület, hol mátriokt lkmzunk, z egyenletrendszerek megoldás. legismertebb szbály Crmmer-szbály. Legyen egy egyenletrendszerünk hol. y koeficiensek mátri, megoldások vektor, y z egyenlet jobb oldl. kkor z egyenletrendszer megoldási következıek: hol i Di D D i z ermináns, hol z i-edik oszlopbn z egyenletek jobb oldl tlálhtó, D pedig fı ermináns. Péld dott következı egyenletrendszer: mjd írjuk át mátri formájáb Megoldás menete: iszámítjuk fıerminánst: D. (. )

y koeficiensek mátri, megoldások vektor, y z egyenlet jobb oldl.

13 Informtik lpji Most pedig z elsı oszlop helyére írjuk be z egyenletrendszer jobb oldlát: D. (.) mjd második oszlop helyére írjuk be z egyenlet jobb oldlát D.( ) [.( )] Ezen dtok ismeretében Crmmer-szbály lpjánki tudjuk számolni z egyenletrendszer megoldását. D D D D Gykorlt Oldj meg következı egyenletrendszereket. ) b) c) d) e) f)

( )] Ezen dtok ismeretében Crmmer-szbály lpjánki tudjuk számolni z

Hasonló dokumentumok

Juhász István Orosz Gyula Paróczay József Szászné Dr. Simon Judit MATEMATIKA 10. Az érthetõ matematika tankönyv feladatainak megoldásai

Juhász István Orosz Gyula Paróczay József Szászné Dr. Simon Judit MATEMATIKA 10. Az érthetõ matematika tankönyv feladatainak megoldásai Juhász István Orosz Gyul Próczy József Szászné Dr Simon Judit MATEMATIKA 0 Az érthetõ mtemtik tnkönyv feldtink megoldási A feldtokt nehézségük szerint szinteztük: K középszint, könnyebb; K középszint,