Dinamika példatár. Szíki Gusztáv Áron

Átírás

1 Dinaika példatár Szíki Guztáv Áron

2 TTLOMJEGYZÉK 4 DINMIK NYGI PONT KINEMTIKÁJ Mozgá adott pályán Egyene vonalú pálya Körpálya Tetzőlege íkgörbe Szabad ozgáok 1 4. NYGI PONT KINETIKÁJ Szabad ozgáok Mozgá gravitáció erőtérben Mozgá rugerőtérben Kényzerozgáok Mozgá egyene vonalú kényzerpályán Mozgá görbe vonalú kényzerpályán Özetett feladatok MEEV TÁCS KINEMTIKÁJ Mozgáállapot vizgálat Egyetlen tárca Több, együtt ozgó tárca Vége ozgá vizgálata MEEV TÁCS KINETIKÁJ Tehetetlenégi nyoaték záítáa Álló tengely körüli forgá, lengé Gördülé 111 FELHSZNÁLT SZKIODLOM 14 1

3 LKLMZOTT JELÖLÉSEK JEGYZÉKE Általáno jelöléek x x x x x x x x x y x kalárennyiég vektorennyiég kalárennyiég nagyága (abzolút értéke) vektor nagyága (hoza) kalárennyiég idő zerinti deriváltja kalárennyiég idő zerinti kétzere deriváltja vektorennyiég idő zerinti deriváltja vektorennyiég idő zerinti kétzere deriváltja az x ennyiég értékegyége y az x ennyiég egváltozáa További jelöléek a a a e a n c N pálya enti gyorulá gyorulávektor aplitúdó (axiáli kitéré) érintő irányú gyorulá noráli irányú gyorulá rugóerevég (rugóállandó) d távolág (általában), átérő e érintő irányú egyégvektor f 1 rezgézá (frekvencia) f gördüléi ellenállái kar F n N kényzererő nyoó koponene F N kényzererő úrlódái koponene F t N kényzererő tapadái koponene F N erővektor F k N kényzererő g gravitáció gyorulá G gyorulápólu h agaág (általában) J O kg tehetetlenégi nyoaték az O pontra K N kötélerő l hozúág (általában) l red fizikai inga redukált hoza kg töeg N gördüléi ellenállái nyoaték M g M O M O N kalári forgatónyoaték az O pontra N forgatónyoaték vektor az O pontra

4 n 1 fordulatzá n noráli irányú egyégvektor P ebeégpólu r görbületi ugár r helyvektor ugár pályakoordináta (ívkoordináta) t idő T perióduidő v v w rad, pálya enti ebeég, vatagág ebeégvektor körfrekvencia W J echanikai unka γ N kg δ rad ε ε μ μ ρ rad rad kg kg 3 φ rad φ rad ω ω rad rad gravitáció állandó kezdőfázi zöggyorulá zöggyorulá vektor dinaiku vizkozitá cúzái úrlódái tényező tapadái úrlódái tényező töegűrűég zögkoordináta (zögelfordulá) kezdőfázi zögebeég, körfrekvencia zögebeég vektor 3

5 4. DINMIK 4.1 nyagi pont kineatikája Mozgá adott pályán Egyene vonalú pálya /M1 Egy egyene pályán ozgó anyagi pont a t függvényét egadtuk. Továbbá ierjük a t = időpillanatban a pálya enti ebeég é pályakoordináta értékét. datok:v = ; =. a(/ ) t() /M1 ábra ajzolja fel a ozgá v t é t függvényét! Megoldá: Kizáítjuk az egye zakazok végpontjaiban a pálya enti ebeég é pályakoordináta értékét, ajd ábrázoljuk a v t é t függvényeket. z egye zakazok időtartaát jelöljük t i -vel.. zakaz: a = 3 v t 1 = v t + at = = t 1 = t + v t t + a t = = 1. zakaz: a 1 = v t = v t 1 = t = t 1 + v t 1 t 1 = + = 4

6 . zakaz: a = 1 v t 3 = v t + a t = 1 = t 3 = t + v t t + a t = + 1 = 4 Ezt követően ár ábrázolhatjuk a v t é t függvényeket: a t 1 v h h h t a ( t ) h 3 8 h 1 a ( t ) h,5 8 t parabolaív zerkeztééhez tekintük a -e pályazakazt: 4 F F 1 P 3 h P F f h h a ( t 8 ), t 5

7 Előzör a pályazakaz P kezdő é P 3 végpontját egy egyene zakazal özekötjük, ajd az így kapott zakaz F felező pontján át párhuzaot húzunk az tengellyel (f egyene). z f egyeneen, az F felező pontból kiindulva, egyzer (F 1 pont), ajd ég egyzer (F pont) felérjük az a t előjele ennyiéget. z így kapott F pontot 8 özekötve a P é P 3 pontokkal egkapjuk a parabolaív P é P 3 pontbeli érintőit. Ezt követően az F 1 ponton át párhuzaot húzunk a P P 3 zakazal, így egkapjuk a parabolaív F 1 pontbeli érintőjét. Ezt követően a P, F 1, P 3 pontokon át egrajzoljuk a parabolaívet. Ha a pályagyorulá értéke pozitív, akkor a parabolaív az P P 3 zakaz alatt, ha negatív, akkor pedig fölötte fut /M Egy fából kézült golyó egy tó fenekéről nyugaloból indul, é a egadott pálya enti ebeég-idő függvény zerint eelkedik a felzín irányába. datok:v t = 1 1 e Bt ; v = g = 9,81 ; v ; = ; =,1 kg kg = 1 ; kg = 99 3 f ; = 4,5 ; B = g v f. 3 v f g v ; =,1 ; v /M ábra a, Határozzuk eg a golyó pálya enti gyorulá- é pályakoordináta-idő függvényeit! b, Száítuk ki a pálya enti gyorulá értékét valaint a golyó távolágát a tó fenekétől 3 -al az indulá után! c, Mekkora ebeégre gyorulhat fel axiálian a golyó? Megoldá: a,a t = v t = 1 1 e Bt = 1 e Bt B = Be Bt t 1 = t 1 + v t dt = 1 1 e Bt dt t 1 = 1 t + 1 B e Bt 1 t 1 = = 1 t B e Bt 1 1 t = 1 t + 1 B e Bt 1 b, 6

8 = 4,5 v f g = 4,5,1, ,81 =,4679, B = 9, =,981 a 3 =,981e,4679,9813 =,937 3 = 1, ,4679,981 e,4679, =,4 c, v ax 1 = li t v t = li 1 t e Bt = 1 =, /3 Egy egyene pályán ozgó anyagi pont a t függvényét egadtuk. Továbbá ierjük a t = időpillanatban a pálya enti ebeég é pályakoordináta értékét. datok:v = 4 ; =. a(/ ) t() -1, /3 ábra ajzolja fel a ozgá v t é t függvényét jelleghelyeen, a zükége adatok zázerű feltüntetéével! /4 Egy egyene pályán ozgó anyagi pont a t függvényét egadtuk. Továbbá ierjük a t = időpillanatban a pálya enti ebeég é pályakoordináta értékét. datok:v = 5 ; =. a(/ ) t() /4 ábra 7

9 ajzolja fel a ozgá v t é t függvényét jelleghelyeen, a zükége adatok zázerű feltüntetéével! /5 Egy egyene pályán ozgó anyagi pont v t függvényét egadtuk. Továbbá ierjük a t = időpillanatban a pályakoordináta értékét. datok: =. v(/) t() /5 ábra ajzolja fel a ozgá a t é t függvényét jelleghelyeen, a zükége adatok zázerű feltüntetéével! /6 Egy egyene pályán ozgó anyagi pont v t függvényét egadtuk. Továbbá ierjük a t = időpillanatban a pályakoordináta értékét. datok: =. v() t() /6 ábra ajzolja fel a ozgá a t é t függvényét jelleghelyeen, a zükége adatok zázerű feltüntetéével! /7 Egy egyene pályán ozgó ínkoci 5 kezdeti ebeégről indulva, 3 -ig 5 állandó pálya enti gyoruláal laít. Ezt követően -ig állandó nagyágú ebeéggel halad, ajd 5 -ig állandó pálya enti gyoruláal gyorít. 8

10 ajzolja fel a ozgá a t, v t é t függvényeit jelleghelyeen, a zükége adatok zázerű feltüntetéével! /8 Egy anyagi pont egyene vonalú pályán ozog. vizgálat kezdetén 5 -ig állandó értékű pálya enti ebeéggel ozog, ajd további 5 -ig egyenleteen lauló ozgáal halad úgy, hogy a lauló ozgá végén a pálya enti ebeége 8 lez. ozgá haradik zakazában egyenleteen gyoruló ozgáal 5 alatt 7 pálya enti ebeéget ér el. ajzolja fel a ozgá a t, v t é t függvényeit jelleghelyeen, a zükége adatok zázerű feltüntetéével! /9 Egyától 11 k távolágban lévő várook közötti egyene utat egy gépkoci 55 alatt tezi eg. Indulákor 45 -ig gyorít állandó gyoruláal, ajd állandó nagyágú ebeéggel halad, végül fékezékor 35 -ig laít, zintén állandó gyoruláal, ajd egáll. a, Mennyi a gépkoci pálya enti ebeége, aikor ozgáa egyenlete? b, Mennyi a pálya enti gyorulá értéke gyorítákor é laítákor? c, ajzoljuk fel a ozgá a t, v t é t függvényeit jelleghelyeen, a zükége adatok zázerű feltüntetéével! /1 Egy cótány éjzaka élelet kere a konyhaaztalon. Egyene vonalú pályán ozog, ebeége c. háziazony benyit, é felkapcolja a villanyt. cótány ekkor 6 c távolágra van a biztonágot nyújtó repedétől, é a fény érzékeléekor axiáli, 1,5 c gyoruláal enekülni kezd, íg el ne éri a 9 c axiáli ebeéget. enekülét ezt követően a axiáli ebeéggel folytatja. repedé elérée előtt 5 c -rel fékezni kezd, íg ebeége zérura ne cökken. a, Mennyi ideje van a háziazonynak a cótány elpuztítáára? b, ajzolja eg a cótány ozgáának a t, v t é t függvényeit jelleghelyeen, a zükége adatok zázerű feltüntetéével! /11 Két anyagi pont egyene vonalú ozgát végez. z egyik v 1 t = t 1 ebeég-idő függvény zerint a pálya kezdőpontjától 3 -re kezdi ozgáát, a áik pedig t = 6t + pályakoordináta-idő függvény zerint ozog. a, ajzolja fel az anyagi pontok ozgáának a t, v t é t függvényeit jelleghelyeen, a zükége adatok zázerű feltüntetéével! b, Határozza eg, hogy ikor találkoznak az anyagi pontok! 9

11 /1 Egy anyagi pont kezdetben v = 3 állandó pálya enti ebeéggel ozog, ajd eltelte után állandó pálya enti gyoruláal ozog tovább. a, ajzolja eg a ozgá a t, v t é t függvényeit jelleghelyeen, a zükége adatok zázerű feltüntetéével! b, Határozza eg a függvények alapján, hogy ekkora út egtétele után kezdtük el fékezni az anyagi pontot! c, Száíta ki, hogy ikor, é ekkora út egtétele után állt eg a anyagi pont! d, Határozza eg, hogy a anyagi pont ennyi idővel az induláa után ér viza a kiindulái helyére! /13 Két települé egyától k távolágra fekzik. Mindkét települéről egy időben elindul egy-egy gépkoci, 8 k illetve 1 k ebeéggel. a, Mennyi idővel az induláuk után találkoznak, ha a két gépkoci egyá felé indul el? b, Mennyi idővel az induláuk után találkoznak abban az eetben, ha ugyanabba az irányba indulnak, é a 1 k ebeégű gépkoci követi a 8 k ebeégűt? /14 Egy villao az pontból egyene vonalban, állandó v 1 nagyágú ebeéggel halad a D pont felé. Egy uta, akinek ninc jegye, az pontban ézrevezi a villaoon tartózkodó ellenőrt. Eldönti, hogy inél haarabb eljut a B jelű pontban elhelyezkedő, a bizto eltűnéét biztoító, aluljáróig. B 1 D v x C v /14 ábra Hol kell leugrania a villaoról (x =?), hogy állandó, v nagyágú ebeéggel egyene pályán futva a lehető legrövidebb idő alatt érjen el a B jelű pontba? ( kérdében zereplő időt az ponttól érjük, a feladatban zereplő éretek az ábrán láthatóak.) /15 Egy darunak egy terhet agara kell eelnie. teher az 1,5 nagyágú axiáli ebeégét 1 alatt éri el, fékútja pedig 5. 1

12 ajzolja eg a teher ozgáának a t, v t é t függvényeit jelleghelyeen, a zükége adatok zázerű feltüntetéével! /16 zoja cigának ég 1 ideje van a végő kizáradáig, tehát ozgáa ennyi ideig tarthat. Ekkor ézrevez egy vízceppet a ezőn, tehát egkezdi a egközelítét. egközelíté elő zakazában pálya enti gyoruláal ozog 3 -ig. Ekkor az így elért utazóebeéggel 33 -t tez eg, ajd a vízceppig állandó lauláal fékez. ajzolja eg a ciga ozgáának a t, v t é t függvényeit jelleghelyeen, a zükége adatok zázerű feltüntetéével! / k ézre az előtte 7 k ebeéggel haladó zeélygépkoci vezetője cak akkor vezi ebeéggel haladó tehergépkocit, ikor azt ár 8 -re egközelítette. Tekintve, hogy előzére ninc lehetőége lauláal azonnal fékezni kezd. fékezé egkezdée után t idővel a teherautó i ézleli a vezélyhelyzetet, é,6 gyoruláal gyorít. Legfeljebb ekkora lehet a t időtarta, hogy ne következzen be a baleet? /18 Halál étál a ivatagban 1 ebeéggel. Örül, ert ő a leggyorabb. Ennek ellenére a Lóhalál 15 ebeéggel egelőzi. Ez a halált felbozantja. Mekkora gyoruláal kell ozognia a Halálnak, ha utol akarja érni a Lóhalált a ivatag vége előtt, ha a ivatag vége 1 k -re van? /19 Egy vízzinte terepen álló helyzetből gyorító elektroo eghajtáú gépkoci pályakoordináta-idő függvényét ierjük. pályakoordinátát éterben, az időt áodpercben érjük. datok: t = 1 C ln ch D t + C 1, C = 6,494, D =,64 1. C t + C, ahol: C 1 = arth D D, C = 1 C C ch C1 ln, = /19 ábra 11

13 a, Határozzuk eg a gépkoci pálya enti ebeég-idő, é pálya enti gyorulá-idő függvényeit! b, Határozzuk eg a pályakoordináta, pálya enti ebeég é gyorulá értékét a gépkoci induláa után 1 -al. c, Határozzuk eg a gépkoci végebeégét! ( végebeéget a v ax = li t v t özefüggé zolgáltatja.) d, Milyen értékhez tart a gépkoci pálya enti gyoruláa, ha t? / Egy anyagi pont pálya enti gyorulá-idő függvényét, továbbá a pályakoordináta é pálya enti ebeég értékét a t = időpillanatban ierjük: datok:a t = t e t, =, v =. a, Határozzuk eg a golyó pálya enti ebeég- é pályakoordináta-idő függvényeit! b, Száítuk ki a pálya enti ebeég- é pályakoordináta értékét -al az indulá után! Körpálya /M1 z ugarú körpálya P kezdőpontjából v 1 é v kezdeti pálya enti ebeéggel, az órautató járáával egyező érteleben, két anyagi pont indul ozgának. z egyik egyenleteen gyoruló, a áik egyenleteen lauló ozgát végez. datok: v 1 = ; v = ; =, a 1 = ; a =. a, djuk eg, ajd rajzoljuk fel közö koordináta rendzerben a ozgáok ε t, ω t, é φ t függvényeit! b, z indulá után ennyi idővel lez a két pont zögebeége egyáal egyenlő? c, Mekkora a fenti időpillanatban a pontok noráli irányú, valaint telje gyoruláának nagyága? d, z indulától záítva ennyi idő telik el addig, aíg a -e záú pont előzör lekörözi az 1-e záút? Megoldá: a, Előzör áttérünk a egadott pálya enti ennyiégekről zögennyiégekre: ω 1 = v 1 = 1 rad ; ω = v = 1 rad ; ε 1 = a 1 = 1 rad ; ε = a rad = 1 ; z ε t, ω t, é φ t függvények az alábbiak: 1

14 ε 1 t = 1 rad = állandó, ε t = 1 rad = állandó ω 1 t = ω 1 + ε 1 t = 1 + t rad, ω t = ω + ε t = 1 t rad φ 1 t = φ 1 + ω 1 t + ε 1 t = + 1 t + 1 t rad = t + t rad φ t = φ + ω t + ε t = + 1 t 1 t rad = 1 t t rad Ábrázolva a függvényeket a ; 4 időtartaon: ( rad ( 1/ ) 1,5 1 1-e,5 -, ,5 -e - ( 1/ ) rad e e (rad) rad e e b, 13

15 Jelölje t azt az időpillanatot, aikor a két pont zögebeége egyáal egyenlő. Ekkor: ω 1 t = ω t 1 + t = 1 t t = 4,5 c, Előzör kizáítjuk a zögebeégek nagyágát a fenti időpillanatban: ω 1 t = ω t = ω 1 + ε 1 t = 1 + t = 5,5 rad Ezt követően a noráli irányú é telje gyoruláok nagyága: a n1 t = a n t = ω 1 t = ω t = 6,5 a 1 t = a t = a 1e t + a 1n t = a e t + a n t = + 6,5 = 6,53 d, Jelölje t az indulától a lekörözéig eltelt időt. z egye pontok által a t időtarta alatt befutott zögek: φ 1 t = t + t rad, φ t = 1 t t rad lekörözé pillanatában: φ t = φ 1 t + π Tehát: 1 t t = t + t + π Innen: t 9 t + π = t =, / Egy anyagi pont az ugarú körpálya P pontjából v kezdeti pálya enti ebeéggel indul, ajd állandó, zöggyoruláal halad t ideig. datok: = 5 ; v = 3 ; = 5 rad ; t = 3. v P P 14

16 4.1.1./ ábra a, djuk eg a zögebeég értékét a ozgá elején é végén! b, djuk eg a pont érintő é noráli irányú gyoruláának nagyágát a ozgá végén! c, Mekkora a pont gyoruláának nagyága a ozgá végén, é ekkora zöget zár be ekkor a gyorulávektor a körpálya ugarával? d, Mekkora zöget fut be a pont a ozgáa orán? e, ajzolja fel a ozgá ε t, ω t é φ t függvényeit! /3 Egy ugarú körpálya egy P pontjából közö v kezdeti pálya enti ebeéggel, valaint 1 é zöggyoruláokkal elindítunk két anyagi pontot. datok: v = 5 ; = ; 1 = rad ; = rad. a, Határozzuk eg, hogy ennyi idő úlva találkoznak újra a pontok, é a P ponttól érve ilyen zögnél? b, Mekkora zöget fut be az 1-e é a -e anyagi pont a találkozáig? c, Mennyi a pontok pálya enti é zögebeége a találkozá pillanatában? /4 z ugarú körpálya P kezdőpontjából azono v kezdeti pályaenti ebeéggel két anyagi pont indul ozgának. z egyik egyenleteen gyoruló, a áik egyenleteen lauló körozgát végez. datok: v = 1 ; = 5 ; a 1 = 1 ; a =. a, ajzolja fel közö koordináta rendzerben a ozgáok ε t, ω t é φ t függvényeit, é olvaa le róluk, hogy ennyi idő úlva, é a P ponttól érve ilyen φ zögnél találkoznak előzör a anyagi pontok! b, kapott eredényeket záítáal i ellenőrizze! /5 z ugarú körpályán, az ábrán látható P é pontokból, egyzerre indul el két anyagi pont v P é v nagyágú kezdőebeéggel, ajd állandó ε P é ε zöggyoruláal haladnak. datok: = 3 ; v P = 4 ; v = 1 ; ε P = 3 1 ; ε = 1. 15

17 v P v P P P, /5 ábra a, Határozzuk eg, hogy az indulá után ennyi idővel éri utol a P pontokból induló anyagi pont az pontokból indulót, é a P ponttól érve ilyen φ zögnél? b, Mennyi a pontok zögebeége a találkozá pillanatában? c, ajzoljuk fel közö koordinátarendzerbe a két ozgá ε t, ω t é φ t függvényeit! d, Mekkora a pontok noráli irányú gyoruláának nagyága a találkozá pillanatában? e, Mekkora a pontok (telje) gyoruláának nagyága ekkor? /6 vázolt vízzinte íkban fekvő D pályán ozog egy anyagi pont. pálya C íve zakazát állandó, v nagyágú ebeéggel tezi eg, ajd a CD zakazon laulva a D pontban egáll. datok: v = 6. B =5 C D /6 ábra a, ajzolja eg a ozgá a t, v t é t függvényeit jelleghelyeen, a zázerű adatok feltüntetéével! b, ajzolja eg a ozgájellezők irányát i egutató ebeéghodográfot! /7 z ábra egy induktív vezetéű, autoatiku ipari targonca vízzinte pályáját utatja az üzecarnokban. targonca az "" pontból a "B" felé indul. targonca az egyene zakazokat állandó gyoruláal, az íve zakazokat állandó nagyágú ebeéggel futja be. 16

18 d=1 datok: v = 1 ; v D = 15 ; v F = 1. B 1 =1 C G =5 D F E /7 ábra a, ajzolja eg jelleghelyeen a ozgá a t, v t, é t függvényeit a jellező adatok zázerű feltüntetéével! b, ajzolja eg a ozgá ebeéghodográfját! /8 z ugarú körpályán ozgó anyagi pont ebeége a t időpillanatban v. Ezután egyenleteen laulva egtez ég két fordulatot, é egáll. datok: v = ; = 5. a, ajzolja eg a ozgá ε t, ω t é φ t függvényeit! b, Olvauk le az ábrákról, hogy ennyi idő úlva áll eg az anyagi pont! kapott eredényt ellenőrizzük le záítáal! c, Határozza eg a anyagi pont pálya enti gyoruláát az elő fordulat egtétele után! /9 kutya ackát kerget az 1 ugarú hirdetőozlop körül. kergeté kezdetén a kutya é a acka a hirdetőozlop két átellene pontjáról indulnak, indketten az órautató járáával egegyező irányba. kutya kezdőebeége v k =,5 a ackáé v =. kutya,5 állandó nagyágú pályairányú gyoruláal ozog, a acka állandó ebeéggel enekül. a, Vázolja az állatok ozgáának foronóiai görbéit jelleghelyeen, a zázerű értékek feltüntetéével, valaint határozza eg a acka záára végzete találkozá helyét é idejét! b, Száíta ki a találkozá helyén indkét állat noráli irányú gyoruláát! feladat egoldáa orán az állatokat tekinte 1 ugarú körpályán ozgó anyagi pontoknak! 17

19 4.1.1./1 ugarú körpálya "" pontjából egyidejűleg két anyagi pont indul azono v = kezdőebeéggel. z egyik zöggyoruláa 1 =.9 rad, a áiké =.6 rad. a, ajzolja eg jelleghelyeen indkét ozgá foronóiai görbéit! b, Határozza eg, hogy a pálya ely pontjában találkoznak a anyagi pontok! /11 falu tréfá kedvű kováca töegű kalapácának forgatáával zórakoztatja egrendelőit. kalapác nyele hozúágú. forgatá az "" jelű pontból, nulla kezdőebeéggel indul, é állandó zöggyoruláal történik. kalapác feje a nyélről t idő úlva elzabadul. kalapác fejének norál irányú gyoruláának nagyága ekkor a n. datok: = 1 kg ; = 1 ; t = 3 ; a n = 36. P t=3 a n =1 O /11 ábra a, Határozza eg a kalapác fejének zöggyoruláát, valaint pálya enti ebeégét é gyorulá vektorának nagyágát az elzabadulá pillanatában! b, Írja fel a gyorulávektort az érintő é norálirányú egyégvektorok egítégével! /1 Egy gépkoci 1 k ugarú, vízzinte íkú körpályán halad 9 k h Ekkor ebeégét állandó, érintő irányú lauláal (fékezéel) 6 k h 3 alatt. ebeéggel. ra cökkenti a, Határozza eg a gépkoci gyorulávektorának nagyágát a fékezé egkezdéekor! b, Írja fel a gyorulávektort az érintő é noráli irányú egyégvektorokkal! /13 z ábrán látható P pontból egyzerre indul két anyagi pont. z egyik állandó, v 1 nagyágú ebeéggel halad, egyeneen a P 1 pont irányába, a áik nyugaloból indulva, az ugarú köríven ozog a P 1 pont felé, állandó a nagyágú pályaenti gyoruláal. 18

20 datok: = 1 ; a = ; φ = 1. P 1 a v 1 P /13 ábra Mekkorára kell válaztani v1 értékét, hogy a két anyagi pont egyzerre érkezzen a P 1 pontba? Tetzőlege íkgörbe /M1 z ábra egy hullávautat zeléltet. z ábrán vázolt koordinátarendzerben a pálya egyenlete y = a in(bx) alakú, továbbá az, B é C pontokban ierjük a koci ebeégének nagyágát. datok: v = ; v B = 18 ; v C =. y 15 1 v B x -1 C /M1 ábra a, Határozzuk eg az a é b paraéterek értékét a pálya egyenletében! b, Határozzuk eg a pálya görbületi (iuló) körének ugarát az, B é C pontokban! c, Száíta ki a koci noráli irányú gyoruláának nagyágát a fenti pontokban! Megoldá: 19

21 a, Írjuk fel az y = a in b x alakú egyenletet az é B pontokban: 1 = a in b 1 = a in b b = π b = π 1 = a in π 1 = a in π = a a = 1 Tehát a pálya egyenlete: y = 1 in π x b, y x = π 1 co π x = π co π x, y x = π 4 in π x pont: y 1 = π co π 1 =, y 1 = π 4 in π π 1 = 4 r = 1 + y 1 y 1 3 = 1 + π 4 3 = 4 π = 4,53 B pont: y = π co π = π, y = π 4 in π = r B = 1 + y y 3 = π = C pont: y 5 = π co π 5 = π 4, y 5 = π 4 in π π 5 = 8 r C = 1 + y 5 y 5 3 = 1 + π 4 π 8 3 = 19,13 c,

22 a n = v r =,987, a nb = v B r B =, a nc = v C = 5,3 r C / Egy gépkoci az ábrán látható parabola ívű hídon halad kereztül állandó v nagyágú ebeéggel. datok: h = 1 ; d = 8 ; v =. y v h a n x d / ábra a, Írjuk fel a parabolaív y = f(x) alakú egyenletét az ábrán vázolt koordinátarendzerben! b, Határozzuk eg a pálya görbületi (iuló) körének ugarát annak tetőpontjában! c, Száíta ki a gépkoci noráli irányú gyoruláának nagyágát a tetőpontban! 4.1. Szabad ozgáok 4.1./M1 Egy rakétát egy aga épület tetejéről indítunk. rakéta íkozgát végez, hely-idő függvénye az ábrán vázolt koordinátarendzerben r t = t4 + t 4,9 t alakú. z időt áodpercben érjük. y x 4.1./M1 ábra a, dja eg a rakéta v t ebeég-idő függvényét, é ebeégének nagyágát az indítát követően 4 -al! 1

23 b, dja eg a rakéta a t gyorulá-idő függvényét, é gyoruláanak nagyágát az indítát követően 4 -al! c, dja eg a rakéta pályájának y = f x alakú egyenletét! Megoldá: a, ebeég-idő függvényt a hely-idő függvény idő zerinti deriváltja. deriválát koordinátánként végezzük el: v t = r t = x t y t = 4 t3 + 4 t 9,8 t ebeégvektor az indítá után 4 -al: v 4 = ,8 4 = 7 39, ebeég nagyága: v 4 = , = 74,8 b, gyorulá-idő függvényt a ebeég-idő függvény idő zerinti deriváltja: a t = v t = v x t v y t = 1 t + 4 9,8 gyorulávektor az indítá után 4 -al: a 4 = ,8 = 196 9,8 gyorulá nagyága: a 4 = ,8 = 196, c, x = t 4 + t y = 4,9 t t = y 4,9 x = y 4,9 + y 4,9 = y + 1 4,9 1

24 y + 1 = ± x + 1 y = ±4,9 x + 1 4,9 y = ±4,9 x ,9 4,9 rakéta ténylege ozgáát figyelebe véve a fenti két egoldá közül az alábbi a való: y = 4,9 x ,9 4.1./M Egy anyagi pont gyorulá-idő függvénye az alábbi: a t = t 9,8 Ierjük továbbá a pont t = időpillanatban vett r hely- é v ebeégvektorát. datok: r = 1 5, v = 5 3. a, djuk eg a pont v t ebeég-idő függvényét, valaint ebeégnagyágát a t = 4 időpillanatban! b, djuk eg a pont r t hely-idő függvényét, valaint kiinduló ponttól ért távolágát a t = 4 időpillanatban! Megoldá: a, t 1 v t 1 = v + a t dt = t t 9,8 dt = t t 1 5 = 9,8 t 3 + t 1 = 5 + t 1 9,8 t 1 3 9,8 t 1 Tehát a pont ebeég-idő függvénye az alábbi: v t = 5 + t 3 9,8 t ebeégnagyág a t = 4 időpillanatban: v 4 = ,8 4 = 41,88 b, t 1 r t 1 = r + v t dt = = t 1 + t t 1 4,9 t 1 t t 3 9,8 t dt = = t 1 + t t 1 4,9 t t + t3 3 3 t 4,9 t t 1 = Tehát a pont hely-idő függvénye az alábbi: 3

25 r t = t + t t 4,9 t pont kiinduló ponttól ért távolága a t = 4 időpillanatban: r 4 r = ,9 4 5 = ,9 4 = 41, ,4 = 78,1 4.1./3 Egy cavarrugó egyik végét egy vízzinte, tökéleteen ia íklap O pontjához rögzítjük, áik végéhez egy pontzerű tetet erőítünk. rugót egnyújtva a tetet a P pontból v nagyágú, a íkba eő é a rugó hoztengelyére erőlege irányú kezdőebeéggel elindítjuk. tet az ábrán vázolt koordinátarendzerben az alábbi hely-idő függvény zerint periodiku íkozgát végez. ( rugó terheletlen hoza nullának tekinthető.) r t = x co (ωt) v ω in (ωt) datok: x =,5 ; v = rad ; ω = 1. y vv P v v x P x 4.1./3 ábra a, dja eg a tet v(t) ebeég-idő é a(t) gyorulá-idő függvényét! b, dja eg a tet ebeégének é gyorulá nagyágát, az indítát követően 3 -al! c, dja eg a tet pályájának y = f(x) egyenletét! Milyen alakzat a pálya? 4.1./4 Egy anyagi pont a(t) = t 9,81 4 gyorulá-idő függvény zerint zabad ozgát végez. pont kezdeti r helyvektora é v ebeégvektora iert.

26 datok: r = 1 5 ; v = 5 3. a, djuk eg a pont gyorulávektorát é gyoruláának nagyágát az indulát követően 3 -al! b, dja eg a pont v(t) ebeég-idő é r(t) hely-idő függvényét! c, dja eg a pont ebeégének nagyágát, valaint kiinduló ponttól ért távolágát az indulát követően 3 -al! 4.1./5 P pontból, a vízzinteel α zöget bezáró v nagyágú kezdőebeéggel elhajítunk egy ködarabot, aely anyagi ponttal odellezhető. Elhanyagolható közegellenállá eetén a kő állandó nagyágú, függőlege irányú g gyoruláal ozog az ábra zerint. datok: r = 5 7 ; g = 9,81 ; v = 15 ; α = 3. y v y r P g g g x x 4.1./5 ábra a, Írjuk fel a kő v kezdőebeég vektorát az ábrán adott koordinátarendzerben! b, djuk eg a kő v(t) ebeég-idő é r(t) hely-idő függvényét! c, Száítuk ki a kő ebeégének nagyágát é P ponttól ért távolágát az elhajítát követően -al! d, Határozzuk eg a kő pályájának y = f(x) alakú egyenletét! Milyen értani alakzat a pálya? 4.1./6 z " " jelű pontból indulva egy harckoci v állandó ebeéggel halad. z " " ponttól y távolágra lévő tüzelőállából ("B " jelű pont) a harckocit induláának pillanatában lézer-rávezetéű páncéltörő rakétával táadják. rakéta állandó, v B nagyágú ebeéggel halad, a ebeégvektor iránya indig a harckoci felé utat. datok: y = 1 ; v = ; v B = 85. 5

27 y B v B v x 4.1./6 ábra a, dja eg a rakéta r(t) hely-idő függvényét az ábrán adott koordinátarendzerben! b, Írja fel a rakéta pályájának y = f(x) alakú egyenletét! 4.1./7 z "" pontból induló pontzerű tet kezdőebeége v, a "B" pontból indulóé v B. z "" é "B" pontok helyvektorait r é r B jelöli. datok: r = 1 3 ; r B = 4 1 ; v = 5 ; v B = a, Melyik tetnek, é ennyivel kell korábban indulnia, hogy pályájuk közö pontjába egy időben érkezzenek, ha 3. i, a = ; a B =? ii,a = ; a B =? iii,a = ;a B =? b, dja eg az egye tetek pályáinak y = f(x) alakú egyenletét, é a pályák közö pontjának koordinátáit a fenti eetekben! 4.1./8 Egy tollalabdát az ábra O pontjából függőlegeen felfelé, v nagyágú kezdőebeéggel elindítunk. Vízzinte irányú zél fúj, elynek hatáára a tollalabda a függőlege irányú nehézégi gyoruláon kívül vízzinte irányú, állandó a x gyoruláal i rendelkezik. tollalabda közegellenállából adódó, függőlege irányú ebeégveztéétől eltekintünk. datok: v = 4 ; a x = ; g = 9,81. 6

28 y v 1 a x v O x 1 x 4.1./8 ábra a, dja eg a tollalabda v(t) ebeég-idő, é r(t) helyvektor-idő függvényét a vázolt koordináta-rendzerben! b, Mennyi idő alatt odródik el a labda x irányban x 1 távolágra? Mekkora y koordinátájának értéke ekkor? c, írja fel a tollalabda pályájának y = f(x) alakú egyenletét! 4.1./9 Egy pontzerű tet álladó v nagyágú ebeéggel állandó h eneteelkedéű, d átérőjű cavarvonal entén halad. tet ozgáának leíráához koordinátarendzert rögzítünk úgy, hogy a z tengely egybeeen a cavarvonal zietriatengelyével, az x tengely pedig etze a cavarvonalat (P pont). Tegyük fel, hogy a t = időpillanatban a tet a P ponton halad kereztül. datok: d = 3 ; h = 3 ; v = 5. d z x h P1 P v y 4.1./9 ábra a, írja fel a tet v(t) ebeég-idő függvényét az ábrán kijelölt koordinátarendzerben! b, z a, pont eredényének ieretében adja eg a pont r(t) hely-idő függvényét! Milyen eze van a pont az origótól a t = 3 időpillanatban? c, z a, pont eredényének ieretében adja eg a pont a(t) gyorulá-idő függvényét! Mekkora a pont gyoruláa a t = időpillanatban? 7

29 d, dja eg a pálya x = f z, y = f z egyenletrendzerét! 4. nyagi pont kinetikája 4..1 Szabad ozgáok Mozgá gravitáció erőtérben /1M Egy vízzinteel β zöget bezáró eelkedő tetejéről egy aknavetővel tüzelünk. z aknavető cövének a lejtő íkjával bezárt zöge cöve γ, a célpont az aknavetőtől l távolágban álloáozó tank. datok: l = 1 ; β = 3 ; γ = 45 ; g = 9,81. a, Mekkora legyen az aknagránát kezdőebeége, hogy eltaláljuk a tankot? ( közegellenállát hanyagoljuk el!) b, Mekkora az aknagránát ebeége becapódákor? c, Mekkora axiáli agaágot ér el az aknagránát? y v y γ α v v x r l r t β x /M1 ábra Megoldá: a, Mivel a közegellenállát elhanyagoljuk, az aknagránátra cak a gravitáció erő hat. Tehát az aknagránát ozgáegyenlete: i F i = g = a a = g zaz az aknagránát állandó g gyoruláal ozog. Jelölje t az aknagránát kilövéétől a becapódááig eltelt időt. 8

30 z aknagránát ebeég- é hely-idő függvénye: t t v t = v + gdt = v + g dt = v + g t t r t = r + v + g t dt = r + v t + g t Mot írjuk fel az ábra alapján az r, v, r t é g vektorokat: r = g = l inβ = 5, v = v x v y 9,81 = v co15 v in15, r t = l coβ = 86,6, hely-idő függvényből az alábbi egyenlet adódik: r t = r + v t + g t 86,6 = 5 + v co15 v in15 t + 4,95 t 86,6 = v co15 t t = = v in15 t 4,95 t 86,6 = 3,86 v co15 86,6 = v in15 v co15 4,95 86,6 v co15 = tan15 86,6 4,95 86,6 co v = 73, 1 v v = 3, b, ebeég-idő függvényt felhaználva: v t = v + g t = 3, co15 3, in15 + 9,81 3,86 =,41 31,86 Tehát az aknagránát ebeégének nagyága becapódákor: v 3,86 =, ,86 = 38,93 9

31 c, axiáli agaágban a gránát ebeégének függőlege irányú koponene zéru. Ezt felhaználva: = 3, in15 9,81 t ax t ax =,611 Tehát a axiáli agaág: y ax = y + v inα t ax g t ax = 5 + 3,,611 4,95,611 = 6, /M Milyen agara jut fel a Föld felzínéről függőlegeen fellőtt töegű, 4 kezdőebeégű lövedék? közegellenállától eltekintünk. Hány zázaléko hibát okoz az előbbi záítában, ha a gravitáció teret hoogén erőtérnek feltételezzük, aelyben az erő nagyága a Föld felzínén ért értékkel egyenlő? ( feladat egoldáához célzerű a unkatételt felhaználni.) datok: Föld = 6371 k ; M Föld = 5, N kg ; = 6, kg Megoldá: Jelölje h ax a Földfelzíntől ért axiáli agaágot, ait a lövedék elér. Mivel a légellenállát elhanyagoljuk, a lövedékre ozgáa orán cak a gravitáció erő hat. gravitáció erő által a lövedéken végzett unka, ialatt az a Földfelzínről a h ax agaágba ér: Föld +h ax Föld +h ax W Föld Föld +h ax Fg = F g r dr = γ M Föld r dr = γ M Föld Föld Föld Föld +h ax 1 r dr = Föld = γ M Föld 1 r Föld Föld +h ax 1 = γ M Föld 1 = Föld + h ax Föld = γ M Föld 1 1 Föld Föld + h ax lövedék ozgáára vonatkozó unkatétel: W Föld Föld +h ax Fg = γ M Föld 1 1 = 1 Föld Föld + h ax 1 v γ M Föld 1 1 = 1 Föld Föld + h ax v 1 1 v = Föld Föld + h ax γ M Föld 3

32 h ax Föld Föld + h = v ax γ M Föld v γ M Föld h ax = Föld v = 933,98 k 1 γ M Föld Föld Ha a gravitáció erőteret olyan hoogén erőtérnek feltételezzük, aelyben az erő nagyága a Földfelzínen ért értékkel egyenlő: h ax h ax W Fg h ax = F g Föld dr = F g Föld dr = F g Föld h ax = γ M Föld Föld h ax = g = γ M Föld Föld h ax = g h ax lövedék ozgáára vonatkozó unkatétel ekkor: W Fg h ax = g h ax = 1 1 v h ax = v = 815,494 k g z állandó gravitáció erő feltételezéével okozott zázaléko hiba: δ = 933,98 815,494 1 = 1,7% 933, /3 Föld felzínétől 5 agaágban 1 elhajítunk egy tetet. kezdőebeéggel lefelé a, Milyen agaan lenne a Föld felzínétől 4 úlva, ha ne lenne közegellenállá? (g = 9,81 ) b, Mennyi a 4 alatt a tet által egtett út? c, Mennyi idő alatt ér földet a tet, é ekkora ekkor ebeégének nagyága? /4 Egy követ 5 kezdőebeéggel függőlegeen felfelé elhajítunk. a, Milyen agara repülne fel a kő, ha ne lenne közegellenállá? tetagaágunkat hanyagoljuk el! (g = 9,81 ) b, z eldobá után ennyi idővel kellene legkéőbb arrébb lépnünk, hogy ne een a fejünkre? 31

33 4..1.1/5 Föld felzínétől 3 agaágban 6 elhajítunk egy pontzerű tetet. -o kezdőebeéggel fölfelé a, Milyen agaan lenne 3 úlva, ha ne lenne közegellenállá? (g = 9,81 ) b, Mennyi a tet által 3 alatt egtett út? c, Mennyi idő úlva ér földet a tet? Mekkora földet érékor ebeégének nagyága? /6 Egy kődarabot 3 agaról lelejtünk, vele egyidejűleg v nagyágú kezdőebeéggel a földfelzínről feldobunk egy áikat. a, Ha v = 15, akkor ilyen agaan fog a két kő találkozni? (g = 9,81 ) b, Mekkora legyen v, hogy a találkozá éppen a földfelzínen történjék, aikor a fölfelé eldobott kő i éppen vizaér a földre? c, Mekkora legyen v, hogy a találkozá éppen a lentről feldobott kő pályájának felő holtpontján következzen be? /7 Egy földön nyugvó g = 1 N úlyú töegpontra rövid t = ideig F = 5 N nagyágú, függőlege irányú erő hat. Határozza eg, hogy ilyen agara eelkedik a töegpont, é ennyi idő úlva érkezik viza a földre! /8 Hányzor olyan agara ugrik egy kétzer akkora bolha? ( feladat előzör érteletlennek tűnik, de ha alapoabban elezi a helyzetet, végiggondolja a kérdé rézleteit, valaint a egválazolához zükége fizikai özefüggéeket, a egoldá néhány lépében, vizonylag egyzerűen egtalálható.) /9 Egy 13 k ebeéggel haladó zeélyautóban ülve, az ablakon kinyújtott h kézzel, a talajtól érve 75 c agaágban tartunk egy követ, ajd elengedjük. a, Ha a közegellenállától eltekintünk, az elengedétől záítva, ekkora vízzinte távolágra ér a kő a talajra? (g = 9,81 ) /1 Egy pontzerű tetet a földfelzínről, a vízzinteel 4 -o zöget bezáró, 1 nagyágú kezdőebeéggel elhajítunk. a, Vegyen fel célzerű koordinátarendzert a ozgá leíráához, ajd adja eg benne a tet helyvektorát az elhajítá után -al! (g = 9,81 ) b, Milyen távol van ekkor a tet az elhajítá helyétől? c, Mekkora ekkor ebeégének nagyága? d, Milyen távol ér földet a tet az elhajítá helyétől? 3

34 4..1.1/11 Egy pontzerű tetet a földfelzínről, a vízzinteel zöget bezáró, v nagyágú kezdőebeéggel elhajítunk. ozgá leíráához egy koordinátarendzert rögzítünk az alábbi ábra zerint. datok: x 1 = 1 ; y 1 = 5 ; =4 ; g = 9,81. y P(x 1,y 1 ) v x /11 ábra Mekkora legyen a v kezdőebeég nagyága, hogy a tet áthaladjon a koordinátarendzer P(x 1, y 1 ) pontján? közegellenállától eltekintünk /1 talajzintről egy pontzerű tetet, v nagyágú kezdőebeéggel elhajítunk a talajba fúrt, d távolágban lévő lyuk irányába. datok: d = 15 ; v = 5 ; g = 9,81. v P d /1 ábra Mekkora zöget zárjon be a kezdőebeég a vízzinteel (=? ), hogy a tet a lyukba pottyanjon? közegellenállától eltekintünk /13 z Egyeült Állaok haderegének terrorelhárító koandója capát ér a terroritákra. koandó aknavetőt haznál. z aknagránát kezdőebeége koandó a cél agaágához képet egy 5 -e agalaton helyezkedik el, a cél tüzelőállától való vízzinte távolága 5. (g = 9,81 ) a, Ha eltekintünk a közegellenállától, a vízzintehez képet ilyen zögbe kell állítani az aknavető cövét, hogy a terroritáknak roz napja legyen? ( egoldá orán célzerű 1 felhaználni a = co tan + 1 trigonoetriku özefüggét) b, lövé orán ilyen axiáli agaágot ér el az aknagránát? c, Mekkora lez a gránát ebeégének abzolút értéke (nagyága) a becapódákor?. 33

35 4..1.1/14 vízzintehez képet ilyen zögben kell elhajítani egy pontzerű tetet, hogy ugyanolyan agara eelkedjék, int ailyen távol ér viza az elhajítá zintjére? közegellenállától eltekintünk. datok: g = 9, /15 Sík terepen a vízzintehez képet ilyen zögben kell elhajítani egy pontzerű tetet, hogy az a lehető legezebbre repüljön?(g = 9,81 ) /16 z ábrán látható P é pontokból egyzerre indítunk el két pontzerű tetet. z egyiket h agaágból, vízzinte irányú, v p nagyágú kezdőebeéggel, a áikat a vízzinte, tökéleteen ia (úrlódáente) talajon v nagyágú kezdőebeéggel az ábra zerint. datok: d = 1 ; h = 5 ; v = 4. P v P h v d /16 ábra Mekkora legyen v p értéke, hogy a két tet találkozzon? /17 z ábrán látható P pontból, a függőlege, d távolágban lévő fal irányába elhajítunk egy pontzerű tetet. datok: d = 1 ; h = 5 ; g = 9,81. v v P h d 34

36 4..1.1/17 ábra Mekkorára kell válaztani a v kezdőebeég nagyágát, é az ábrán látható zög értékét ahhoz, hogy a tet berepüljön a falon h agaágban elhelyezkedő nyílába? (Ehhez a nyílá zájánál a tet ebeégének vízzinte irányúnak kell lennie!) /18 z ábrán vázolt lejtőn v nagyágú kezdőebeéggel ozgába hozunk egy pontzerű tetet. datok: v = 5 ; g = 9,81. v /18 ábra a, feladat egoldáához válazon egfelelő koordináta-rendzert! b, válaztott koordináta-rendzerben írja fel a lejtő, valaint a tet pályájának y = f(x) alakú egyenletét! c, Határozza eg a két alakzat etzépontjaként előálló "B" pont koordinátáit, é távolágát az "" ponttól! d, Száíta ki a becapódá pillanatában a tet ebeégének nagyágát! /19 Egy 3 foko hajlázögű lejtőn, felfelé eldobunk egy követ. a, Mekkora kezdőebeéggel, é a lejtőhöz képet ilyen zögben kell a követ eldobni, hogy a lejtőn érve, az eldobához képet 3 éterre, é a lejtőre erőlege zögben capódjon be a kő? közegellenállától eltekintünk. (g = 9,81 ) ( feladat egyzerű egoldáa érdekében célzerű egfogalazni a talajra érkezé feltételét.) / Prérifarka 1 -e agalaton áll. völgyben a Kengyelfutó Gyalogkakukk fogyaztja a caliként kihelyezett eleéget. Prérifarka vízzinte irányú, 8 nagyágú kezdőebeéggel indítja a ziklát a Gyalogkakukk ellen. 35

37 a, Milyen eze helyezte ki a calit a Prérifarka, ha jól tudott záolni? b, ajzolja eg az így kialakuló vízzinte hajítá ebeég hodográfját, ajd adja eg a zikla ebeégvektorát a hajítá néhány jellező pontjában! /1 Legalább ekkora kezdőebeéggel kell a Föld felzínéről függőlegeen fellőnünk egy lövedéket, hogy az eltalálhaa a 494 k agaágban keringő űholdat? közegellenállától eltekintünk. ( feladat egoldáához célzerű a unkatételt felhaználni.) datok: Föld = 6371 k ; M Föld = 5, N kg ; = 6,67 1. kg / Föld felzínén állva legalább ekkora kezdőebeéggel kell vízzinte irányba kilőnünk egy lövedéket, hogy az oha többé ne een le (elő koziku ebeég)? közegellenállától é a Föld forgáától eltekintünk. datok: Föld = 6371 k ; M Föld = 5, N kg ; = 6,67 1. kg /3 Föld felzínéről függőlege irányba fellövünk egy lövedéket. Legalább ekkora legyen a kezdőebeég nagyága, hogy a lövedék oha többé ne een viza a Földre (áodik koziku ebeég)? közegellenállától eltekintünk. ( feladat egoldáához célzerű a unkatételt felhaználni.) datok: Föld = 6371 k ; M Föld = 5, N kg ; = 6,67 1. kg Mozgá rugóerőtérben 4..1./M1 Egy vízzinte helyzetű, egyik végénél rögzített cavarrugó zabad végéhez töegű, pontzerű tetet erőítünk. tet a tökéleteen ia (úrlódáente) íkon fekzik. Nyújtuk eg a rugót, ajd indítuk el a tetet rugó irányú, a egnyúláal ellentéte értelű v kezdőebeéggel. ( ozgá leíráához rögzítük az x koordinátatengelyt a rugó hoztengelyében. rugó terheletlen állapotában a tet az origóban van, a ozgá az x koordinátájú pontból indul. légellenállát hanyagoljuk el!) datok: c = N ; = kg ; x =,1 ; v = 1. v x x 4..1./M1 ábra a, Írjuk fel a tet ozgáának differenciálegyenletét, ajd adjuk eg annak általáno x t egoldáfüggvényét! 36

38 b, z x t függvény differenciálegyenletbe történő helyetteítéével határozzuk eg a létrejövő lengé körfrekvenciáját, ajd adjuk eg a frekvencia é lengéidő értékét! c, Határozzuk eg a kezdőfázit é aplitúdót a kezdeti ozgájellezőkből! d, Írjuk fel a ozgá x t kitéré-idő függvényét é határozzuk eg a kitéré értékét a t = 5 időpillanatban! e, Határozzuk eg a ozgá v t pálya enti ebeég-idő függvényét, é a pályaebeég értékét a t = 5 időpillanatban! f, Határozzuk eg a ozgá a t pálya enti gyorulá-idő függvényét, é a pálya enti gyorulá értékét a t = 5 időpillanatban! Megoldá: a, Mivel a ík, aelyen a tet ozog, tökéleteen ia, továbbá a légellenállát elhanyagoljuk, a tetre x irányban cak a rugó erő hat. tet ozgáegyenlete: i F i = c l = a Felhaználva, hogy a rugó l egnyúláa é a tet helyét jellező x koordináta inden pillanatban egyenlő egyáal, valaint azt, hogy a = x, az alábbi differenciál egyenletet kapjuk: c x = x x t + c x t = fenti differenciálegyenlet általáno egoldáa az alábbi alakban írható: x t = in ω t + φ fenti függvényben az aplitúdó (axiáli kitéré), φ a kezdőfázi. b, kitéré-idő függvényből a pálya enti ebeég- é gyorulá-idő függvények deriváláal eghatározhatók: v t = x t = ω co ω t + φ a t = v t = x t = ω in ω t + φ z x t é x t függvényeket behelyetteítve a differenciálegyenletbe: ω in ω t + φ + c in ω t + φ = ω + c = ω = c = 1 rad frekvencia é a lengéidő értéke: 37

39 f = c, ω π = 15,9 1, T = 1 f =,68 Írjuk fel a kitéré- é pálya enti ebeég-idő függvényeket a t = időpillanatban: x = x = in ω + φ = in φ v = v = ω co ω + φ = ω co φ Tehát az alábbi egyenletrendzert kapjuk: x = in φ x = in φ in φ = x v = ω co φ v = ω co φ co φ = két egyenletet özeadva: v ω x + v ω = in φ + co φ = 1 = x + v ω =,1414 in φ = x =,77 φ 1 =,7855, φ =,434 II. egyenletet cak a φ =,434 érték elégíti ki, így az a egoldá. d, x t =,1414 in 1 t +,434 x 5 =,1414 in 1 5 +,434 =,31 e, v t = ω co ω t + φ = 14,14 co 1 t +,434 v 5 = 14,14 co 1 5 +,434 = 13,8 f, a t = ω in ω t + φ = 1414 in 1 t +,434 a 5 = 1414 in 1 t +,434 = 39, / Egy,5 kg töegű, pontzerű tetet N rugóerevégű cavarrugóhoz erőítünk. tetet egyenúlyi helyzetéből,1 -el kitérítjük, ajd elengedjük (v = 38

40 ). ozgá leíráához rögzítük az x koordinátatengelyt ugyanúgy, int a 4..1./M1 feladat eetében! a, Száítuk ki a pont kitéréét, pálya enti ebeégét é gyoruláát a egfigyelé kezdete után 1 é elteltével! b, ajzoljuk fel a ozgá foronóiai függvényeit! 4..1./3 Egy rugalaan felfüggeztett, pontzerű gépalkatréz y t =,6 in (7t) kitéré-idő függvény zerint haroniku rezgőozgát végez. z időt áodpercben érjük. a, Határozza eg a tet pálya enti ebeég-idő, é a pálya enti gyorulá-idő függvényét! b, Száíta ki a pálya enti ebeég é a gyorulá értékét a t = 1 időpillanatban. c, Száíta ki, ely t időpontokban változtatja eg a tet ozgáának irányát! 4..1./4 Egy extré portokat kedvelő fiatalebert, bokájához erőített, 5 hozú guikötéllel, egy 5 aga daruból függőlegeen kilógatnak. Ezután lehúzzák egézen a földig, elengedik, é agára hagyják. fiataleber haroniku lengőozgát végez, legnagyobb ebeége a lengé orán 14. a, Határozza eg a fiataleber lengéének körfrekvenciáját, valaint adja eg a lengéidőt! b, Száíta ki a fiataleber gyoruláának axiáli értékét, é adja eg a axiáli gyorulá helyét i! 4..1./5 Egy anyagi pont T =,156 perióduidővel haroniku rezgőozgát végez. axiáli, é a t = időpillanatban vett kitéré értéke, é,173. t = időpillanatban a tet egyenúlyi helyzete felé közeledik. a, Mennyi a kezdőfázi értéke? Írja fel a tet kitéré-idő függvényét! b, Mennyi a pont kitéréének, pálya enti ebeégének é gyoruláának értéke a t = 5 időpillanatban? ajzoljuk fel a ozgá foronóiai függvényeit! 4..1./6 Egy anyagi pont haroniku rezgőozgát végez, kitéré-idő függvénye y =, in (ω t + φ ) alakú. t = időpillanatban a tet az egyenúlyi helyzettől távolodik, kitérée ekkor,1, pályagyoruláa 36. Határozza eg a kezdőfázi értékét, a körfrekvenciát, valaint a axiáli ebeéget! 4..1./7 Egy cavarrugó egyik végét egy vízzinte, tökéleteen ia íklap O pontjához rögzítjük, áik végéhez egy pontzerű, töegű tetet erőítünk. rugót egnyújtva, a tetet az r helyvektorú P pontból v nagyágú, a íkba eő, é a rugó hoztengelyére erőlege irányú ebeéggel elindítjuk. rugó által kifejtett erő nagyága egyeneen 39

41 arányo a rugó egnyúláával, a rugó terheletlen hoza a ozgá inden pillanatában elhanyagolható a rugó egnyúláa ellett. datok: c = N ; = kg ; r =, ; φ = 45 ; v = 1. y v. r P x 4..1./7 ábra a, Írja fel a tet ozgáának differenciálegyenletét x é y irányban! b, Határozza eg a létrejövő lengé körfrekvenciájának é frekvenciájának értékét! c, Határozza eg az x é y irányú aplitúdó é kezdőfázi értékét! d, Írja fel a ozgá x(t) é y(t) kitéré-idő függvényeit, ajd adja eg a tet r(t) hely-idő függvényét! dja eg a tet origótól ért távolágát a t = 5 időpillanatban! e, Határozza eg a ozgá v x (t) é v y (t) ebeégkoordináta-idő függvényeit, ajd írja fel a tet v t ebeég-idő függvényét! dja eg a tet ebeégének nagyágát a t = 5 időpillanatban! f, Határozza eg a ozgá a x (t) é a y (t) gyorulákoordináta-idő függvényeit, ajd írja fel a tet a(t) gyorulá-idő függvényét! dja eg a tet gyorulávektorának nagyágát a t = 5 időpillanatban! g, Mekkora a tet echanikai energiája a lengé orán? 4..1./8 Egy cavarrugó egyik végét egy vízzinte, tökéleteen ia íklap O pontjához rögzítjük, áik végéhez egy pontzerű, töegű tetet erőítünk. rugót egnyújtva, a tetet az r helyvektorú P pontból v nagyágú, a íkba eő, é a rugó hoztengelyére erőlege irányú ebeéggel elindítjuk. rugó által kifejtett erő nagyága egyeneen arányo a rugó egnyúláával, a rugó terheletlen hoza a ozgá inden pillanatában elhanyagolható a rugó egnyúláa ellett. datok: c = N ; = kg ; r =, ; v = 1. 4

42 y r. v P x 4..1./8 ábra a, Írja fel a tet ozgáának differenciálegyenletét x é y irányban! b, Határozza eg a létrejövő lengé körfrekvenciájának é frekvenciájának értékét! c, Határozza eg az x é y irányú aplitúdó é kezdőfázi értékét! d, Írja fel a ozgá x t é y t kitéré-idő függvényeit, ajd adja eg a tet r(t) hely-idő függvényét! dja eg a tet origótól ért távolágát a t = 5 időpillanatban! e, Határozza eg a tet pályájának y = f x alakú egyenletét! Milyen alakzat a pálya? f, Határozza eg a tet ebeégének nagyágát, aikor a rugó y irányú! egoldához alkalazza a unkatételt! g, Mekkorának kell válaztani a v kezdőebeég nagyágát, hogy a tet körpályán haladjon? 4..1./9 Egy h űrűégű, b agaágú, négyzet alapú haáb f űrűégű folyadék felzínén lebeg. haábot függőlege irányban,,5 -el lejjebb nyojuk, ajd agára hagyjuk. haáb ezt követően függőlege irányban lengőozgát végez. kitérét a nyugvó haáb aló lapjától érjük, a kitéré pozitív értele az ábrán adott. datok: h = 979,38 kg ; kg = f ; b =,5 ; g = 9,81. 3 b x(t) 4..1./9 ábra a, rchiede törvényének felhaználáával írjuk fel a haáb ozgáának differenciálegyenletét! b, Bizonyíta be, hogy a differenciálegyenlet általáno egoldáa x t = in(ω t + φ ) alakú. Határozza eg ω értékét, valaint a haáb lengéidejét! c, Száíta ki az é φ kontanok értékét! 41

43 4.. Kényzerozgáok Mozgá egyene vonalú kényzerpályán 4...1/M1 z ábrán látható elrendezében agára hagyjuk az özekötött 1 é töegű pontzerű teteket. z töegű tet é a talaj közti cúzái é tapadái úrlódái tényező é. z 1 töegű tet é a lejtő közti úrlódá elhanyagolható. teteket egyához kapcoló kötél, é a dob ideáliak (a kötél nyújthatatlan, elhanyagolhat töegű é tökéleteen hajlékony, a dob ellenálláenteen forog, elhanyagolható töegű, továbbá a kötél a dobon ne cúzhat eg). datok: = 1 kg ; 1 = ; 1 = ; =,5; =,; = 6 ; h = ; g = 9,81. 1, h 4...1/M1 ábra a, Mekkora lehet axiálian az 1 töeg, ha azt akarjuk, hogy a tetek ne ozduljanak el? b, Mekkora a két tetből álló echanikai rendzer gyoruláa, ha 1 = 7 kg? c, gyorulá ieretében záítuk ki, hogy ennyi idő alatt cúzik le az 1 töegű tet a lejtő tetejéről annak aljára! ( rendzer nyugaloból indul.) Mekkora a ebeége a lejtő alján? d, Írjuk fel az 1 töegű tet ozgáára vonatkozó unkatételt, ajd ellenőrizzük le az előző pontban kapott ebeégértéket! Megoldá: ajzoljuk be a tetekre hat erőket, valaint vegyünk fel koordinátarendzert külön az egyik, é külön a áik tet echanikai vizgálatához. 4

44 n n 1 FK1 K1 e K FK e 1 1 g 1, g h Mivel a két tet öze van kapcolva fonto, hogy az e 1 é e koordinátatengelyeket azonoan irányítuk. (Például utathat indkettő a valódi ozgáirányába, vagy akár azzal ellentéteen.) teteket özekötő kötél é a dob ideáliak, ebből adódóan a két tetre ható kötélerő, valaint a tetek gyoruláának nagyága egyáal egyenlő: K 1 = K = K, a 1 = a 1 = a Írjuk fel az egyenúlyi egyenletet külön az 1 é külön az é töegű tetre: i F i = 1 g + F k1 + K 1 = i F i = g + F k + K = z ábrán adott koordinátarendzerekben a fenti egyenletek az alábbi alakot öltik: 1 g inα 1 g coα + F n1 + K = g + F t F n + K = Innen az alábbi egyenletrendzer adódik: 1 g inα K = K = 1 g inα 1 g coα + F n1 = F t + K = F t = K = 1 g inα g + F n = F n = g z töegű tet akkor é caki akkor arad nyugaloban, ha: F t F n Tehát: 43

45 1 g inα g g 1 g inα g inα 1 inα 8,87 kg 1 8,87 kg Tehát az 1 töeg axiálian 8,87 kg lehet. b, feladat a, rézének egoldáából adódóan, ha 1 = 7 kg akkor a rendzer elozdul. Írjuk fel a két tet ozgáegyenletét: i F i = 1 g + F k1 + K 1 = 1 a 1 i F i = g + F k + K = a 1 g inα 1 g coα + F n1 + K = 1 a e1 a n1 = 1 a g + F t F n + K = a e a n = a Megjegyzé: Egyene pálya eetén a görbületi ugár inden pontban végtelen, ebből adódóan a noráli irányú gyorulá zéru: r = a n1 = a n = v r = Innen az alábbi egyenletrendzer adódik: 1 g inα K = 1 a K = 1 g inα 1 a 1 g coα + F n1 = F + K = a F = K a g + F n = F n = g F = F n = g g = 1 g inα 1 a a 1 + a = 1 g inα g 44

46 a = 1 g inα g 1 + c, =,34 Jelölje t a lecúzá időtartaát. ozgá egyenleteen változó, tehát: v 1 t = v 1 + a t t = v 1 t v 1 a 1 = 1 t 1 = v 1 t + a t II. 1 = a t t = 1 a = h in α a = 4,44 v 1 t = v 1 + a t = 1,39 d, unkát az erő érintő irányú koponene végzi, a noráli irányú koponen unkavégzée zéru. gravitáció, a kényzer- é a kötélerő által az 1 töegű teten végzett unka: 1 t = 1 g inαd = 1 g inα d = 1 g inα 1 = 1 g h = J W g W Fk1 1 t 1 t 1 t = d = J 1 t 1 t 1 t W 1 t K = Kd = K unkatétel: d = K 1 = 1 g inα 1 a 1 = 9951 J i W 1 t Fi = W 1 t g + W 1 t Fk 1 + W 1 t K = 1 1 v 1 t = 1 7 v 1 t v = 1,39 Tehát a c, é d, pontban kapott eredény egegyezik egyáal / Egy érde, vízzinte íkon nyugvó töegű, pontzerű tetet állandó F erővel hatunk az alábbi ábra zerint. datok: F = 5 kn ; = 1 kg ; v = 5 ; t = 1 ; =,3; =,1; = 15 ; g = 9,81. 45

47 F, 4...1/ ábra a, Elegendő-e a egadott erő nagyága a tet egozdítáához? b, Ha igen, akkor ekkora a tet gyoruláa, é a talaj által kifejtett kényzererő nagyága a ozgá orán? c, Mekkora lez a tet pálya enti ebeége t idő elteltével? ( feladatot oldja eg a gyorulá ieretében, valaint annak hiányában, az ipulzutétel felhaználáával!). d, Mekkora pályazakazt fut be a tet a egadott t idő alatt? e, Mennyi unkát végez az F erő, a gravitáció erő, a talaj által kifejtett kényzererő külön-külön, é együtteen, a fenti pályazakazon? f, c, kérdére adott válazát ellenőrizze a unkatétel felhaználáával! 4...1/3 Egy töegű, pontzerű tetre aely a vízzinteel zöget bezáró, egyene vonalú, érde kényzerpálya aló pontjában nyugzik állandó F erővel hatunk az alábbi ábra zerint. datok: F = 5 kn ; = 5 kg ; =,4; =,1; = ; = 1 ; h = 1 ; g = 9,81. F F, h 4...1/3 ábra a, Elegendő-e a egadott erő nagyága a tet egozdítáához? b, Ha igen, akkor ekkora a tet gyoruláa, é a talaj által kifejtett kényzererő nagyága a ozgá orán? c, Mekkora lez a tet pálya enti ebeége a kiinduló ponttól ért h agaágban? ( feladatot oldja eg a gyorulá ieretében, valaint a unkatétel felhaználáával i!) d, Mennyi idő alatt ér fel a tet a h agaágba? ( feladatot oldja eg a gyorulá ieretében, valaint annak hiányában, az ipulzutétel felhaználáával!). 46

48 4...1/4 z alábbi ábrán az é B pontok távolága d, a négy kötéldarab indegyikének hoza l. C é D pontokban egy-egy, íg az E pontban egy M töegű teher függ. z E pont h élyégben van az B egyene alatt. z M töegű tetet laan, állandó nagyágú ebeéggel eeljük függőlege irányban, aíg az E pont egy agaágba ne kerül a C é D pontokkal. datok: d = 14 ; l = 5 ; = 7 kg ; h = 7. d B l C l E l l D h M 4...1/4 ábra a, Mekkora az M töeg? b, Mennyi unkát végeztünk az eelé orán? 4...1/5 Egy 1 töegű, pontzerű tetet aely egyene vonalú, vízzinte, érde kényzerpályán nyugzik állandó F erővel eghúzunk az ábra zerint. tethez egy ideáli (lád 4...1/M1 feladat) dobon átvetett, ideáli (tökéleteen hajlékony, nyújthatatlan, elhanyagolható töegű) kötéllel egy töegű tet catlakozik. datok: F = 5 N ; 1 = 1 kg ; = 5 kg ; = 1 ; =,3; =,; h = 5 ; g = 9,81. F 1 hh 4...1/5 ábra a, Elozdul-e a rendzer? b, Ha elozdul, akkor ekkora gyoruláal ozog é ekkorák a kötélágakat fezítő erők? c, Határozzuk eg, ajd ábrázoljuk az 1 töegű tet foronóiai függvényeit (a t, v t, (t))! 47