Gravitáció mint entropikus erő

Átírás

1 Gravitáció mint entropikus erő Takács Gábor MTA-BME Lendület Statisztikus Térelméleti Kutatócsoport ELFT Elméleti Fizikai Iskola Szeged, Fizikai Intézet augusztus 28.

2 Vázlat 1. Entropikus erő: elemi példák 2. Bekenstein és a fekete lyukak entrópiája 3. Geometria és hőmérséklet 4. Newtoni gravitáció mint entropikus erő 5. Einstein-féle áltrel mint a téridő termodinamikája 6. Diszkusszió 7. Kitekintés E. Verlinde: On the Origin of Gravity and the Laws of Newton, arxiv: T. Jacobson: Thermodinamics of Spacetime: The Einstein Equation of State Phys. Rev. Lett. 75 (1995) , arxiv:gr-qc/ T.Padmanabhan: Thermodynamical Aspects of Gravity: New Insights Rep. Prog. Phys. 73 (2010) , arxiv:

3 Mi fán terem az entropikus erő? Polimer: E conf 0 S(E,x) = k B logω(e,x) ˆ Z(T,F) = dedxω(e,x)e E+Fx k B T 1/T = E S F/T = x S µkanonikus: x S(E + Fx,x) = 0 F const k B T x Ozmózis: χ s < 1 oldószer aránya µ 0 s(l,p) = µ s (l,χ s,p +Π) = µ 0 s(l,p +Π)+RT logχ s Π 1,2 = M 1,2 RT Π = Π 1 Π 2 M 1,2 : molaritás, Π: ozmózis nyomás x F

4 Bekenstein gondolatkísérlete Engedjünk le egy részecskét a fekete lyukba egy fonálon és a horizonthoz nagyon közel beejtjük. Vöröseltolódás miatt: a fekete lyuk tömeg (és felszín) változása akármilyen kicsi lehet, klasszikusan! Megoldás: ha a részecske már a méreténél közelebb van a fekete lyukhoz, akkor annak a részének tekinthető. a lyuk tömege és felszíne nő egy egységnyit, ami egy bit információ a fekete lyuk entrópiája arányos a felszínnel.

5 Gyorsulás és hőmérséklet Ötlet: részecske mérete a Compton hullámhossz S S = 2πk B amikor x = mc = 2πk B mc x Unruh hőmérséklet: k B T = a 2πc Értelmezés: ez a hőmérséklet okoz a gyorsulást! Entropikus erő: F x = T S F = ma!!!

6 Hőmérséklet és geometria Gyorsulás esetén lokálisan: Rindler koordináták ds 2 = dt 2 + dx 2 ds 2 κt = 2κl sinhκt κx = ± 2κl coshκt = 2κldt 2 + dl2 2κl Euklidészi koordináták: t = it E és T = it E QFT t E t E + 2π κ : T = κ 2π

7 Gravitációs erő Bitek száma a gömb felszínén: Ekvipartíció: N = Ac3 G E = 1 2 Nk BT Másrészt E = Mc 2 A = 4πR 2 Teszttömeg eloszlás: m tömegű homogén gömbhéj R sugárnál F x F = T S S = 2πk B mc x = GmM R 2!!!

8 Alapvető feltevések 1. S a holografikus felületre merőleges (emergens) irányban 2. A mikroszkopikus szabadsági fokok az ernyőn lokalizáltak (S A) 3. Ekvipartíció Ez utóbbi nem is kell (eleve csak szabad kvadratikus Hamiltoni rendszerekre érvényes) Elég ha az elveszett bitek véletlenszerűen kerülnek ki a többek közül, ekkor S E A Próbáljuk meg ezt kevésbé heurisztikusan összerakni! Miért így csináljuk: S T x a hiszen S, T skalár viszont x, a vektor?! (Visser, arxiv: : ez elég barokkos felépítést eredményez)

9 A newtoni potenciál és a holográfia Tömegpont próbatest n bit a holografikus ernyőn Ha elmozdul mc 2 = 1 2 nk BT S = 2πk B mc x de ugyanakkor k BT = a 2πc S n = k B Newton: azaz a x 2c 2 S n = k Φ B c 2 a S x a = grad Φ!!! ez már vektor-vektor! Φ = entrópiacsökkenés/bit! Tehát a newtoni potenciál egy coarse-graining változó! ( AdS/CFT RG skála!!!)

10 Visser észrevétele T = a Φ de egyben és F = Φ S F x = T S Ebből: S Φ Φ Ez csak nagyon speciális esetekben működhet (gömb vagy henger szimmetria), különben nem! (Visser, arxiv: ) Vagy lehet egy nagyon barokkos felépítést adni, amiben éppen az intuitív szépség vész el...

11 Ellenvetések I Első ellenvetés: a termodinamika irreverzibilis (S nő), de a newtoni gravitáció konzervatív! Feloldás: egy entropikus erő lehet konzervatív! Pl. polimer esetén Hook törvény. Feltétel: hőtartály mérete végtelenhez kell tartson, de hiszen: E = Mc 2 nemrelativisztikus határesetben pont E! Relativisztikusan ne is legyen reverzibilis (gravitációs sugárzás!).

12 Ellenvetések IIa Második ellenvetés alapja: hideg neutronos kísérlet gravitációs térben (Nesvizhevsky et al.) Neutron állapotok lineáris potenciálban (alul tükör) Első átviteli lépcsőt itt látják z 1 = r 1 l r 1 = ( ) 2 l = 2m 2 5.9µm g

13 Ellenvetések IIb Ellenvetés lényege (A. Kobakhidze): ha a neutron z magasságban van, akkor az ernyő állapota z + dz-ben ρ S (z + dz) = ρ N (z + dz) ρ S/N (z) Mivel a horizont tologatásával tiszta állapotból kevert, ezért P z nem hermitikus: P z = i z + 2iβ z Mivel S S = 2πk B λ λ = m nc µm, ebből β = πm n c neutron hullámfüggvénye Ψ e z/λ Az ellenvetés kivédése: (i) helytelen a kiinduló feltevés, miszerint ρ S (z + dz) = ρ N (z + dz) ρ S/N (z) (ii) A S- z reláció csak klasszikusnak tekinthető testekre igaz (dekoherencia)!

14 Holografikus szcenárió Kiindulás: a világ hologram egy 2D ernyőn a maradék térdimenzió a coarse-graining foka entrópia=µdof ami láthatatlan makroszkopikusan anyag pozíciójától függő entrópia entropikus erő Newtoni potenciál: a coarse-graining könyvelési eszköze holografikus irány: Φ, az ernyők az ekvipotenciális felületek a coarse-graning mértéke 0 < Φ c 2 < 1 = 1: fekete lyuk horizonton itt van a fóliázás természetes határa!

15 Gravitációs téregyenlet Statikus ρ( r) anyageloszlás. Vegyünk egy ezt körbevevő S ernyőt (ekvipotenciális felület). Tesztrészecskék gyorsulásából az ernyőn a hőmérséklet (most helyfüggő!) Másrészt E k B T = 1 n Φ 2π c = Mc 2 = 1 2 k B ˆ S TdN dn = c3 G da Ebből M = 1 ˆ Φ d 4πG A Gauss törvénye!!! S Ez minden ernyőre igaz, ebből 2 Φ( r) = 4πGρ( r)

16 Gravitációs erőtörvény levezetése δs = k B δφ 2c 2dN 2 δφ( r) = 4πG i m i δ r i δ( r r i ) = 0 m F 2 2 r 1 F 1 m 1 F m 3 3 Entropikus erő: δw = i ˆ F i δ r i = S TδS T = δw = ugyanis 2πk B c nφ δs = k B δφ 2c 2dN c3 dn = G da ˆ 1 δφ n ΦdA = 1 ˆ (δφ n Φ Φ n δφ) da 4πG S 4πG ˆ S Φ n δφda = Φ 0ˆ n δφda = 0 (δφ forrásai kívül!) S S

17 A newtoni erőtörvény i F i δ r i = 1 ˆ (δφ n Φ Φ n δφ) da 4πG S Green 2. azonossága ˆ ˆ (f g g f) d A = (f g g f)dv előjel: a térfogati integrálás S külsejére megy. f = δφ g = Φ Kívül: Φ = 0 F i δ r i = 1 ˆ Φ δφda 4πG S i = i m i Φ( ri )δ r i ahonnan F i = m i Φ( ri )

18 Statikus relativisztikus téridő Tegyük fel, hogy a mikroszkopikus elméletnek a Poincaré csoport globális szimmetriája az emergens téridő lokálisan Poincaré szimmetrikus lesz. Statikus téridő: van időszerű Killing vektormező Newton potenciál általánosítása a ξ b + b ξ a = 0 Φ = 1 2 log( ξa ξ a ) Fizikai értelme: e Φ a vöröseltolódás faktor, végtelenben Φ = 0. Φ megad egy fóliázást, holografikus ernyők: konstans vöröseltolódás felületek

19 Gravitációs erő Erő definíciója: vegyük egy szabadon eső (pl. álló ) m tömegű kis test sebességmezőjét u a a b = e Φ ξ = u a a u b = e 2Φ ξ a a ξ b Killing egyenlet + Φ definíciója a b = b Φ Hőmérséklet (N b : felület normálisa) T = 2π eφ N b b Φ S x : a S = 2πm N a F a = T a S = me Φ a Φ (vöröseltolódás faktor: a távoli megfigyelő által kifejtett erő, ami a részecskét egyhelyben tartja). Ugyanezt adja az entrópia maximum elve: a S(E + e Φ(x) m,x) = 0

20 Einstein egyenlet levezetése I dn = da G ˆ M = 1 2 = S 1 8πG egy bit tömege: 1 2 T TdN = 1 ˆ e Φ n ΦdA 4πG ˆ S dx a dx b ε abcd c ξ d ez a Komar tömegformula. Killing egyenletből S a a ξ b = R b c ξc vegyük a holografikus ernyő határolta 3-térfogatot S = Σ ˆ 2 Θ ab n a ξ b dv = 1 ˆ R ab n a ξ b dv 4πG Σ ami lényegében az Einstein egyenlet (??). Σ

21 Einstein egyenlet levezetése II Mi kell? Lokálisan statikus közelítés: ez az egyenlet minden pont elég kis környezetében leszármaztatható. De: lyuk az érvelésben! Van jobb: Ted Jacobson, 1995: hasonló jellegű levezetés, de: fényszerű felületekkel + a null geodetikus kongruenciákra vonatkozó Raychaudhuri egyenlettel.

22 Jacobson: GR mint a téridő termodinamikája I Horizont: megfigyelőfüggő (igen, még BH esetén is!!!) Lokális κ Rindler megfigyelő horizontja: jobbra futó fényszerű vonal Mögé beeső anyag: hő ˆ δq = TδS = Θ ab χ a dσ b H χ a : lokális boost mező (közelítő Killing). A horizonton χ a = κλk a dσ a = kdλda T = κ 2π ahol λ a horizontot generáló geodetikusok affin paramétere. ˆ δq = κ Θ ab λk a k b dλda H χ a δq

23 Jacobson: GR mint a téridő termodinamikája II Másfelől δs = ηδa, ahol η egy állandó (mikroszkopikus elméletből kell számolni) és ˆ δa = H θdλda ahol θ a horizontot generáló fényszerű geodetikusok expanziója. Raychaudhuri egyenlet: amiből dθ dλ = 1 2 θ2 σ 2 R ab k a k b } {{ } P-től vett eltérésben másodrendű korrekció δq = TδS = κ 2π ηδa Θ abk a k b = κ 2π R abk a k b R ab 1 2 Rg ab +Λg ab G = = 8πGΘ ab 1 4 η

24 Kvantumgravitáció Einstein egyenlet: a lokális termodinamikai egyensúly feltevésével következő, hidrodinamikai mérlegegyenlet. Gravitációs hullámok a közegben terjedő hang analógjai. a klasszikus elméletet nincs értelme megkvantálni! Verlinde: A kvantum szabadsági fokok eggyel kisebb dimenzióban, a holografikus ernyőn élnek. ezen a szinten nem játszik szerepet, mindenből kiesik f(φ 0 ) : T Tf(Φ 0 ) S S/f(Φ 0 ) TdS invariáns! G,Λ: a mikroszkopikus elméletből számolandó anyagi állandók, amik a makroszkopikus közeget jellemzik.

25 Holografikus Világegyetem Ötlet: Hubble horizont = holografikus ernyő (G.F. Smoot et al.) Eredmény: az ebből adódó entropikus erő megmagyarázza a gyorsuló tágulást! (I) ä a (II) ä a = 4πG 3 = 4πG 3 ( ρ+ 3P ) c 2 + H 2 ( ρ+ 3P c 2 ) + 3 2π H πḢ (I): egyszerű dimenziós analízis (II): Einstein egyenlet felületi tagjából számolt korrekció Van javaslatuk entropikus erő hajtotta inflációs modellre is... (Update: most már megszorítások is vannak a lehetséges paraméterekre)

26 Módosított Friedmann egyenlet Húrelmélet/LQG: Vegyünk egy S(A) = k B Ac 3 G +...log A+...A 1 + s(a) A n korrekciót, ekkor a Newton törvény módosított alakja: GmM ( ) 1+4lPlanck 2 s R A és ebből a Friedmann egyenlet ( H 2 + k a 2 = 8πG 1+3ω i 1+σ 3 1+3ω i 2n i l 2 Planck És akkor rengeteg paraméterrel lehet játszadozni... ) n 1 1 ( H 2 + k ) ρ i a 2