14. Vektorok. I. Elméleti összefoglaló. Vektor. Az irányított szakaszokat vektoroknak nevezzük:
|
|
- Zalán Németh
- 9 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 14. Vektorok I. Elméleti összefoglaló Vektor Az irányított szakaszokat vektoroknak nevezzük: Jelölés: a kezdő és a végpont megadásával: AB ; egy kisbetűvel: v, írásban aláhúzás is szokásos: a; nyomtatásban félkövér betűt használhatunk: b. Két vektor egyenlő, ha hosszuk és irányuk megegyezik. A vektor hosszát a vektor abszolútértékének is nevezzük: a. Nullvektornak nevezzük azt a vektort, amelynek abszolútértéke 0. A nullvektor iránya tetszőleges. Bármilyen meglepő, minden vektorral párhuzamosnak, minden vektorra merőlegesnek tekinthetjük. Két vektor egymás ellentettje, ha abszolútértékük egyenlő, irányuk ellentétes. Jelölés: az a vektor ellentettje a. Két vektor összegét az ábra szerint háromszög-szabállyal vagy paralelogramma módszerrel szerkeszthetjük meg. 1
2 Ha a háromszög-szabályt használjuk, akkor egyszerre több vektort is összeadhatunk egymás után felmérve őket az összegvektor az első vektor kezdőpontjából az utolsó vektor végpontjába mutat. A paralelogramma módszert például fizikában, az erők összegzése során alkalmazzuk. Két vektor különbségét az ábra szerint szerkesztjük meg. Az a és b vektor különbségét úgy is megkaphatjuk, ha az a vektorhoz hozzáadjuk a b vektort. Vektor szorzása számmal: λ R ha λ = 0, akkor λ a = 0; ha λ > 0, akkor a λ a vektor iránya megegyezik az a vektor irányával és λ a = λ a ; ha λ < 0, akkor a λ a vektor iránya ellentétes az a vektor irányával és λ a = λ a. Vektorok skaláris szorzata: Ha az a és b vektorok szöge φ (0 φ π), akkor az a és b vektorok skaláris szorzata: a b = a b cos φ. Tétel (vektorműveletek tulajdonságai): A vektorok összeadása kommutatív és asszociatív: a + b = b + a; (a + b) + c = a + (b + c). 2
3 A vektorok számmal való szorzására teljesülnek az alábbi összefüggések: α (a + b) = α a + α b; α (β a) = (α β) a; (α + β) a = α a + β a. A skaláris szorzat tulajdonságai: a b = b a; (a + b) c = a c + b c; α (a b) = (α a) b = a (α b); a = a. Két vektor akkor és csak akkor merőleges egymásra, ha a skaláris szorzatuk 0. Tétel: Ha a és b a sík két nem párhuzamos vektora, akkor a sík tetszőleges v vektora egyértelműen felbontható az a és b vektorokkal párhuzamos összetevőkre: v = α a + β b ; α; β R. Ezt az előállítást az a és b vektorok lineáris kombinációjának is nevezzük. Ha a, b és c a tér három nem egysíkú vektora, akkor a tér tetszőleges v vektora egyértelműen felbontható az a, b és c vektorokkal párhuzamos összetevőkre: v = α a + β b + γ c ; α; β; γ R. Síkban az a; b, térben az a; b; c vektorokat bázisvektoroknak, az α; β illetve α; β; γ számokat a v vektor koordinátáinak nevezzük. A vektorok koordinátáival és a vektorműveletek koordinátákkal való kifejezésével a 15. témakörben foglalkozunk részletesen. Ha a síkban (térben) egy O pontot rögzítünk, akkor az O pontból a sík(tér) tetszőleges P pontjához vezető OP vektort a P pont helyvektorának, az O pontot vonatkoztatási pontnak nevezzük A helyvektort szokás a megfelelő kisbetűvel jelölni: OP = p. 3
4 Tétel: Ha az AB szakasz végpontjaiba mutató helyvektorok a és b, akkor AB = b a. az AB szakasz F felezőpontjába mutató helyvektor: a + b f = 2. az AB szakasz A-hoz közelebbi H harmadolópontjába mutató helyvektor: 2a + b h =. 3 az AB szakaszt m: n arányban osztó P pontba mutató helyvektor: na + mb p = m + n. Tétel: Ha az ABC háromszög csúcspontjaiba mutató helyvektorok a, b, c, akkor a háromszög S súlypontjába mutató helyvektor: a + b + c s =. 3 Ha az ABCD tetraéder csúcspontjaiba mutató helyvektorok a, b, c, d, akkor a tetraéder S súlypontjába mutató helyvektor: a + b + c + d s =. 4 II. Kidolgozott feladatok 1. Adott az a; b; c vektor. Szerkesszük meg az alábbi vektorokat! a) a + 2b b) a c c) a + b c 4
5 a) b) c) 2. Bontsuk fel a v vektort az a és b vektorokkal párhuzamos összetevőkre! a) b) 5
6 a) A v vektor végpontján keresztül párhuzamost húzunk az a illetve b vektorokkal. Így a v vektort egy paralelogrammába foglaljuk. v = a + b a vektorok összeadásának szabálya szerint. a = 1,5 a, b = 2,5 b, így v = 1,5 a + 2,5 b. b) Hasonlóan szerkesztünk, mint az előző esetben. Most az összetevők az a és b vektorokkal ellentétes irányúak, ezért negatív számokat használunk az összetevők kifejezésére: v = a + b = a 1,5 b. 3. Az ABC háromszög S súlypontjából a csúcsokhoz mutató vektorok: a, b, c. Határozzuk meg az a, b, c vektorok összegét! I. 6
7 Az F pont az AB oldal felezőpontja, ezért SF = ab. A súlypont a súlyvonalnak a csúcstól távolabbi harmadoló pontja, ezért c = 2 SF = (a + b). Innen átrendezés után kapjuk: a + b + c = 0. II. A fenti bizonyítás a súlyvonal és a súlypont geometriai tulajdonságára épít. Érdemes azonban vektorosan is gondolkozni. Legyen a vonatkoztatási pont S. Ekkor a, b, c a csúcsok helyvektorai. A súlypont helyvektorára fel tudjuk írni: 0 = SS = Innen is megkapjuk az a + b + c = 0 összefüggést. a + b + c Az ABCD paralelogramma síkjának egy tetszőleges pontja O. Bizonyítsuk be, hogy OA + OC = OB + OD! I. AB = OB OA és DC = OC OD. A paralelogramma szemben lévő oldalai párhuzamosak és egyenlő hosszúak, ezért AB = DC OB OA = OC OD. Ezt az összefüggést átrendezve megkapjuk az OA + OC = OB + OD bizonyítandó állítást. II. A paralelogramma átlói felezve metszik egymást, ezért az M pont az AC és BD szakasznak is felezőpontja, vektorokkal kifejezve: 7
8 OM = OA + OC = OB + OD 2 2 ezzel megkaptuk a bizonyítandó állítást. OA + OC = OB + OD, 5. Az ABCD négyszög szemközti oldalaira vektorokat illesztünk:ab = a; DC = b. Az AD oldal Ahoz közelebbi negyedelő pontja E, a BC oldal B-hez közelebbi negyedelő pontja F. Határozzuk meg az EF vektort az a és b vektorok segítségével! I. Az ábra szerint az AD = 4 x; BC = 4 y. Az EF vektort kifejezzük kétféle módon: EF = x + a + y EF = 3 x + b 3 y. Az első egyenlet háromszorosához hozzáadjuk a második egyenletet: 4 EF = 3a + b II. EF = 3a + b 4. Húzzuk be a BD átlót és osszuk fel négy egyenlő részre. A párhuzamos szelők tételének megfordítása miatt EG AB, a párhuzamos szelőszakaszok tétele miatt EG = AB, tehát EG = a. Hasonlóan kapjuk, hogy GF = b. A vektorösszeadás szabálya szerint EF = a + ab b =. 8
9 6. Az ABC háromszög köré írható körének középpontja O. Ebből a pontból a csúcsokhoz mutató vektorok: a, b, c. Bizonyítsuk be, hogy az O pontból felmért a + b + c vektor a háromszög magasságpontjába mutat! Bizonyítsuk be, hogy a háromszög magasságpontja, súlypontja és a köré írható körének a középpontja egy egyenesen van (Euler-egyenes)! Az ábra szerint legyen OM = a + b + c. CM = OM OC = a + b. BA = a b. a = b, mert az O pont a háromszög körülírható körének a középpontja, így (a + b)(a b) = a b = a b = 0. A két vektor skaláris szorzata 0, így merőlegesek egymásra. Ezzel bizonyítottuk, hogy CM AB, tehát az M pont rajta van a C csúcsból induló magasságvonalon. Hasonlóan bizonyíthatjuk, hogy a másik két magasságvonalon is rajta van M, tehát M a háromszög magasságpontja. A háromszög S súlypontjába mutató vektor OS = = OM. Ezzel beláttuk, hogy az M, S, O pontok egy egyenesen vannak, az S pont az O-hoz közelebbi harmadoló pontja az MO szakasznak. Ezt az egyenest Euler-egyenesnek nevezzük. 7. A ABC háromszög oldalainak a hossza a, b, c; a szemközti csúcsok helyvektorai a, b, c. Határozzuk meg a háromszögbe írt kör középpontjának helyvektorát! Az ábrán a helyvekorokat az áttekinthetőség miatt nem jelöltük. A szokásnak megfelelően az adott pontba a megfelelő kisbetűvel adjuk meg a helyvektort. A háromszög beírt körének középpontja a 9
10 szögfelezők metszéspontja, az ábrán a K pont. A szögfelező a szemközti oldalt a szomszédos oldalak arányában osztja, ezért: p = ab és az AP szakasz hossza háromszögben AK szögfelező, erre is alkalmazzuk az előbb említett tételt: bp + k = bc a + b c = bc a + b + b aa + bb b a + b + bc a + b c = bc a + b + b aa + bb + cc b a + b b a + b + c a + b = c =. Az APC aa + bb + cc a + b + c. A beírt kör középpontjának helyvektora ezek szerint a csúcsok helyvektorainak az oldalak hosszával súlyozott közepe. 8. Határozzuk meg az a és b vektorok szögét, ha a = 7; b = 12 és ab = 60! ab = a b cos φ, ahol φ a két vektor szöge. Innen cos φ = = φ = 135, Az ABCDEF szabályos hatszög oldalainak a hossza 10, a hatszög középpontja O. Számítsuk ki az AB AO ; AB AC ; BC EF ; FC BD ; FC EF skaláris szorzatok értékét! AB AO = cos 60 = 100 0,5 = 50; AB AC = cos 30 = = 150; BC EF = cos 180 = 100; FC BD = cos 90 = 0 ; FC EF = cos 120 = 200 ( 0,5) = Bizonyítsuk be, hogy egy paralelogramma átlóinak négyzetösszege egyenlő az oldalainak négyzetösszegével! 10
11 A paralelogramma oldalaira és az átlókra az ábra szerint vektorokat illesztünk. A szakaszok hosszát kisbetűvel, a vektorokat félkövér betűkkel jelöljük. A megoldás során kihasználjuk, hogy egy vektor négyzete egyenlő a hosszának a négyzetével: e + f = e + f = (a + b) + (a b) = 2 a + 2 b = 2a + 2b. 11. Szerkesszük meg az ABC háromszög AC és BC oldalára kifelé az ACPQ és CBRS négyzeteket. Bizonyítsuk be, hogy a PS szakasz kétszer akkora, mint a háromszög C-hez tartozó súlyvonala! Az AB oldal felezőpontja O, a CB oldal felezőpontja E, az AC oldal felezőpontja F. A háromszög középvonala párhuzamos a háromszög egyik oldalával és fele olyan hosszú. Ezt felhasználva jelölünk vektorokat az ábrán: OE = FC = a; OF = EC = b. 11
12 Az a 1 vektor az a vektornak, a b 1 vektor az b vektornak a 90 -os (az óramutató járásával azonos irányú) elforgatottja. Így CS = 2a ; PC = 2b. A vektorösszeadás szabálya szerint a háromszög súlyvonalára illesztett vektor: s = a + b; a PS szakaszra illesztett vektor: v = 2a + 2b = 2(a + b ). Ez az eredmény azt mutatja, hogy a v vektor az s vektor 90 -os elforgatottjának a 2- szerese. Tehát beláttuk, hogy a PS szakasz kétszer olyan hosszú, mint a súlyvonal, továbbá azt is, hogy merőleges rá. III. Ajánlott feladatok 1. Adott az a; b; c vektor. Szerkessze meg az alábbi vektorokat! a) a + 2b b) a c c) a + b c 2. Az ABCDEFGH kocka A csúcsából kiinduló élvektorok a, b, c. A HG él felezőpontja P, a BCGF lap középpontja O. Fejezzük ki az AH, BD, AP, AO vektorokat az a, b, c vektorok segítségével! 3. Az OBMA paralelogramma OA és BM oldalát osszuk három egyenlő részre, így kapjuk az ábra szerint a C és D pontokat. Osszuk fel a CD szakaszt is három egyenlő részre, a P pont a CD szakasz D-hez közelebbi harmadoló pontja. Írja fel az OP vektort az OA = a és az OB = b vektorok segítségével! (Nemzetközi Előkészítő Intézet felvételi feladata, 1985) 12
13 4. Az ABCDEFGH paralelepipedon éleire az ábra szerint vektorokat illesztünk. A DBE háromszög súlypontja S, a CFH háromszög súlypontja S. Fejezzük ki az AG, AS, AS vektorokat az a, b, c vektorok segítségével! Határozzuk meg, hogy a paralelepipedon testátlóját milyen arányban osztja a két háromszög síkja! 5. Az ABC háromszög A csúcsát tükrözzük a B csúcsra, így az A pontot kapjuk. Hasonlóan a B csúcsnak a C-re vonatkozó tükörképe B, C-nek az A-ra vonatkozó tükörképe C. Bizonyítsuk be, hogy az ABC háromszög és az A B C háromszög súlypontja azonos! 6. Bizonyítsuk be, hogy ha a háromszög magasságpontját az oldalfelező pontokra tükrözzük, akkor a háromszög köré írható körének pontjait kapjuk! 7. Legyen P és Q az ABC háromszög AB, illetve AC oldalán lévő két belső pont úgy, hogy BP = CQ. Jelölje a BC oldal felezőpontját E, a PQ szakasz felezőpontját F. Igazolja, hogy az EF egyenes párhuzamos az ABC háromszög A csúcsából induló belső szögfelezőjével! (Felvételi feladat, 1992) 8. Egy szánkót 30 N erővel húzunk, az erő 40 -os szöget zár be az elmozdulással. Mekkora munkát végzünk, ha 50 m úton húzzuk a szánkót? 9. Mekkora az a és b egységvektorok szöge, ha (2a b)(3a + 4b) = 0,5? 10. Bizonyítsuk be, hogy ha egy egyenes merőleges egy sík két nem párhuzamos egyenesére, akkor merőleges a sík minden egyenesére! 11. Az OABC tetraéder OA, OB, OC élei páronként merőlegesek egymásra. Bizonyítsuk be, hogy az ABC háromszög hegyesszögű! 12. Adott egy ABCD paralelogramma és egy O pont. Bizonyítsuk be, hogy : OA + OC OB + OD = 2AB AD! 13. Az ABC háromszög BC és CA oldalára kifelé szerkesszük meg a BCD, illetve a CAG szabályos háromszögeket. Az AC, BC, GD szakaszok felezőpontjai E, F, H. Bizonyítsuk be, hogy az EFH háromszög is szabályos! 13
14 Az ajánlott feladatok megoldásai 1. Adott az a; b; c vektor. Szerkessze meg az alábbi vektorokat! d) a + 2b e) a c f) a + b c 14
15 2. Az ABCDEFGH kocka A csúcsából kiinduló élvektorok a, b, c. A HG él felezőpontja P, a BCGF lap középpontja O. Fejezzük ki az AH, BD, AP, AO vektorokat az a, b, c vektorok segítségével! AH = b + c; BD = b a; AP = b + c + 0,5a; AO = a + 0,5b + 0,5c. 3. Az OBMA paralelogramma OA és BM oldalát osszuk három egyenlő részre, így kapjuk a C és D pontokat. Osszuk fel a CD szakaszt is három egyenlő részre, így kapjuk a P pontot. Az ábrának megfelelően rajzolt OP vektort írja fel az OA = a és az OB = b vektorok segítségével! (Nemzetközi Előkészítő Intézet felvételi feladata, 1985) OD = b + a; OC = a. A P pont a CD szakasz D-hez közelebbi harmadoló pontja, ezért OP = b a a = a + b. 4. Az ABCDEFGH paralelepipedon éleire az ábra szerint vektorokat illesztünk. A DBE háromszög súlypontja S, a CFH háromszög súlypontja S. Fejezzük ki az AG, AS, AS vektorokat az a, b, c vektorok segítségével! Határozzuk meg, hogy a paralelepipedon testátlóját milyen arányban osztja a két háromszög síkja! 15
16 AG = a + b + c. S pont a DBE háromszög súlypontja, ezért AS = abc. AC = a + b; AH = b + c; AF = a + c és S a CFH háromszög súlypontja, ezért AS = abbcac = (a + b + c). Ebből látható, hogy az A, S, S, G pntok egy egyenesre esnek és a két háromszög síkja harmadolja a paralelepipedon átlóját. 5. Az ABC háromszög A csúcsát tükrözzük a B csúcsra, így az A pontot kapjuk. Hasonlóan a B csúcsnak a C-re vonatkozó tükörképe B, C-nek az A-ra vonatkozó tükörképe C. Bizonyítsuk be, hogy az ABC háromszög és az A B C háromszög súlypontja azonos! Az adott pontokba mutató helyvektorokat a megfelelő kisbetűvel jelöljük. A B pont az AA szakasz felezőpontja, ezért b = aa. Innen átrendezve azt kapjuk, hogy a = 2b a. Hasonlóan 16
17 b = 2c b; c = 2a c. Az ABC háromszög súlypontjába mutató helyvektor s = abc. Az A B C háromszög S súlypontjába mutató helyvektor s = bacbac beláttuk, hogy a két háromszög súlypontja azonos. = abc = s. Ezzel 6. Bizonyítsuk be, hogy ha a háromszög magasságpontját az oldalfelező pontokra tükrözzük, akkor a háromszög köré írható körének pontjait kapjuk! Most is válasszuk vonatkoztatási pontnak a körülírható kör O középpontját. A 6. kidolgozott feladatban bizonyítottuk, hogy ha a körülírható kör középpontjából a csúcsokba mutató helyvektorok a, b, c, akkor a magasságpontba mutató helyvektor a + b + c. Jelöljük az AB oldal felezőpontját F-el, ekkor f = ab. A tükrözés miatt F az MM szakasz felezőpontja is. Ebből az M pont helyvektora kiszámítható: f = a + b 2 = m + m 2 a + b = a + b + c + m. Tehát m = c. Ez azt jelenti, hogy az M pont a C pontnak az O körközéppontra vonatkozó tükörképe, tehát rajta van a körülírható körön. 7. Legyen P és Q az ABC háromszög AB, illetve AC oldalán lévő két belső pont úgy, hogy BP = CQ. Jelölje a BC oldal felezőpontját E, a PQ szakasz felezőpontját F. Igazolja, hogy az EF egyenes párhuzamos az ABC háromszög A csúcsából induló belső szögfelezőjével! (Felvételi feladat, 1992) 17
18 I. Az ábra szerint bevezetjük a következő jelöléseket: AB = c; AC = b; a b vektorral párhuzamos egységvektor b ; a c vektorral párhuzamos egységvektor c. Alkalmas k valós számmal felírható: PB = kc ; QC = kb. Ezeket használva kifejezhető: AE = bc ; AF = bb cc. Majd meghatározzuk: FE = AE AF = b + c b + kb c + kc 2 = k(b + c ). 2 b és c egyenlő hosszú vektorok, ezért az összegük a szögfelező irányába mutat, mert egy rombusz átlója. Ebből látható, hogy (b c ) párhuzamos a b c vektorral, így a szögfelezővel. AB = AC esetén EF a szögfelezőre esik, ezt a párhuzamosság speciális esetének tekintjük. Ezzel beláttuk a feladat állítását. II. Az első megoldás szerint bevezetjük az AB = c; AC = b vektorokat; az ezekkel párhuzamos b és c egységvektorokat, a k valós számot, amellyel felírható: PB = kc ; QC = kb. A PQ szakasz felezőpontja F, a BCszakasz felezőpontja E. A PC és BC szakaszokra az ábra szerint vektorokat illesztünk: FP = x; FQ = x; BE = y; CE = y, ezekkel az FE vektort kétféle módon kifejezzük: 18
19 FE = x + kc + y FE = x + kb y A két egyenletet összeadjuk és az eredményt megfelezzük: FE = kb + kc = k(b + c ) 2 2 Innen az első megoldásnak megfelelően fejezzük be a megoldást. 8. Egy szánkót 30 N erővel húzunk, az erő 40 -os szöget zár be az elmozdulással. Mekkora munkát végzünk, ha 50 m úton húzzuk a szánkót? Ha F erőt fejtünk ki és eközben az elmozdulást az s vektor adja meg, akkor a fizikai munkavégzést az erő és az elmozdulás skaláris szorzatával számoljuk ki: W = F s = 30N 50m cos 40 = 1149 J. 9. Mekkora az a és b egységvektorok szöge, ha (2a b)(3a + 4b) = 0,5? A skaláris szorzat tulajdonságai alapján felbontjuk a zárójelet és felhasználjuk, hogy a és b vektorok hossza egységnyi: (2a b)(3a + 4b) = 6a 3ab + 8ab 4b = 6 + 5ab 4 = 2 + 5ab = 0,5. Ebből ab = 0,5 adódik. Ha a két vektor szöge φ, akkor cos φ = 0,5, tehát φ = Bizonyítsuk be, hogy ha egy egyenes merőleges egy sík két nem párhuzamos egyenesére, akkor merőleges a sík minden egyenesére! Tegyük fel, hogy az e egyenes merőleges a sík f és h egyenesére, amelyek nem párhuzamosak. Legyen g a sík tetszőleges egyenese. Az e, f, h, g egyenesek egy-egy irányvektora n, b, a, v. A v 19
20 vektor felírható az a és b vektorok lineáris kombinációjaként; v = αa + βb alakban, ahol α, β valós számok. Két vektor akkor és csak akkor merőleges egymásra, ha a skaláris szorzatuk 0. Így n a = 0; n b = 0. Ekkor: n v = n (αa + βb) = α(n a) + β(n b) = 0 is teljesül, amiből következik, hogy n v, tehát az e egyenes merőleges a g egyenesre is. A fenti ábra közös ponton átmenő egyenesekre mutatja a bizonyítást a jobb áttekinthetőség miatt, de meggondolható, hogy a bizonyítás általános esetben ugyanígy igaz, az egyenesek szöge nem változik, ha közös pontba toljuk el őket. 11. Az OABC tetraéder OA, OB, OC élei páronként merőlegesek egymásra. Bizonyítsuk be, hogy az ABC háromszög hegyesszögű! A tetraéder éleire vektorokat illesztünk: OA = a, OB = b, OC = c. ab = ac = bc = 0 az élek merőlegessége miatt. AB AC = (b a)(c a) = bc ba ac + a = a > 0. Ha két vektor skaláris szorzata pozitív, akkor a két vektor hegyesszöget zár be, tehát az ABC háromszögben az A csúcsnál hegyesszög van. Ugyanígy bizonyítható, hogy a másik két szög is hegyesszög, így a háromszög hegyesszögű. 12. Adott egy ABCD paralelogramma és egy O pont. Bizonyítsuk be, hogy OA + OC OB + OD = 2AB AD! 20
21 OA + OC OB + OD = OA OB + OC OD = = OA OB OA + OB + OC OD OC + OD = = BA OA + OB + DC OC + OD = AB OA OB + AB OC + OD = = AB OC OB + OD OA = AB BC + AD = AB AD + AD = 2AB AD. Az átalakítások során felhasználtuk, hogy a paralelogramma szemben lévő oldalai párhuzamosak és egyenlőek, továbbá alkalmaztuk a vektorműveletek tulajdonságait. Megjegyzés: Ha ABCD téglalap, akkor AB AD = 0, mert a téglalap oldalai merőlegesek egymásra. Ezért igaz a következő állítás: A téglalap alapú gúla két-két szemben lévő oldalélének négyzetösszege egyenlő. 13. Az ABC háromszög BC és CA oldalára kifelé szerkesszük meg a BCD, illetve a CAG szabályos háromszögeket. Az AC, BC, GD szakaszok felezőpontjai E, F, H. Bizonyítsuk be, hogy az EFH háromszög is szabályos! Az AB oldal felezőpontja O. A háromszög középvonala párhuzamos a háromszög egyik oldalával és fele olyan hosszú. Ezt felhasználva jelölünk vektorokat az ábrán: OE = FC = a; OF = EC = b. Az a 1 vektor az a vektornak, a b 1 vektor az b vektornak a 60 -os (az óramutató járásával azonos irányú) elforgatottja, így GC = 2b ; FI = a. A GCD háromszögben HI középvonal, ezért IH = b.vektorműveleteket használva FE = a b; FH = a b. Ez az eredmény azt mutatja, hogy ha az FE szakaszt az F pont körül 60 -al elforgatjuk, akkor az FH szakaszt kapjuk, tehát az EFH háromszög szabályos. Megjegyzés: Ha az ABC háromszög γ szögét határesetként 180 -nak választjuk, akkor is igaz a feladat állítása: Legyen az AB szakasz belső pontja a C pont. Az AC és CB szakaszra szerkesszük meg az ACG, illetve a CBD szabályos háromszögeket. Az AC, BC, GD szakaszok felezőpontjai E, F, H. Bizonyítsuk be, hogy az EFH háromszög is szabályos! 21
22 A bizonyítás erre az esetre is a fent leírt módon alkalmazható.. IV. Ellenőrző feladatok 1. Adottak az a, b, c egysíkú vektorok. Szerkessze meg az alábbi vektorokat! a) a 2(b + c) b) ab + c c) a bc 2. Az a és b vektorok nem párhuzamosak, egyik sem nullvektor. Milyen α és β valós számokra teljesül az alábbi egyenlőség? (α + β)a + (β 2)b = (2α β)(a b) 3. Határozza meg az a + b és az a b vektorok hosszát, ha a = 12, b = 10 és a két vektor szöge 80! 4. Az ABCD négyszög oldalvektorai: AB = a; BC = b; CD = c. Fejezze ki ezeknek a vektoroknak a segítségével az átlók felezőpontjait összekötő vektort! 5. Bizonyítsa be, hogy a tetraéder súlypontja felezi a szemközti élek felezőpontjait összekötő szakaszt! 6. Az ABCD húrnégyszög BCD, ACD, ABD, ABC részháromszögeinek magasságpontjai P, R, S. Q. Bizonyítsa be, hogy a PQRS négyszög egybevágó az ABCD négyszöggel! 7. Mekkora az a és b vektor szöge, ha a = 10; b = 8; ab = 60? 8. Egy tetraéder szemközti éleinek négyzetösszege egyenlő. Bizonyítsa be, hogy a kitérő élek merőlegesek egymásra! Az ellenőrző feladatok megoldásai 1. Adottak az a, b, c egysíkú vektorok. Szerkessze meg az alábbi vektorokat! a) a 2(b + c) b) ab Alkalmazzuk a vektorműveletek szabályait! 22 + c c) a bc
23 2. Az a és b vektorok nem párhuzamosak, egyik sem nullvektor. Milyen α és β valós számokra teljesül az alábbi egyenlőség? (α + β)a + (β 2)b = (2α β)(a b) Bármely vektor egyértelműen bontható fel a és b vektorokkal párhuzamos összetevőkre, ezért az egyenlet két oldalán az a és b vektorok együtthatói egyenlőek: α + β = 2α β β 2 = β 2α Ennek az egyenletrendszernek a megoldása: α = 1; β = 0,5. 3. Határozza meg az a + b és az a b vektorok hosszát, ha a = 12, b = 10 és a két vektor szöge 80! A paralelogramma szomszédos szögei 180 -ra egészítik ki egymás, ezért β = 100. Az ABD háromszögre a koszinusztételt felírva megkapjuk az a + b vektor hosszát. AD = cos 100 = 285,68 a + b = 285,68 = 16,9 Az ABC háromszögre felírva a koszinusztételt megkapjuk az a b vektor hosszát. BC = cos 80 = 202,32 a b = 202,32 = 14,2 4. Az ABCD négyszög oldalvektorai: AB = a; BC = b; CD = c. Fejezze ki ezeknek a vektoroknak a segítségével az átlók felezőpontjait összekötő vektort! I. 23
24 Az AC átló felezőpontja E, a BD átló felezőpontja F. Ezt felhasználva: AC = a + b AE = AD = a + b + c AF = EF = a + b 2 a + b + c + a. 2 a + b + c + a a + b a + c = Megjegyzés: Az eredményből látható, hogy az EF vektort a BC = b vektor nélkül ki tudjuk fejezni. Arra is tudunk következtetni, hogy ha az ABCD négyszög trapéz (AB CD), akkor EF párhuzamos a trapéz AB és CD alapjával. II., Az AC átló felezőpontja E, a BD átló felezőpontja F. Az ábra szerint bevezetjük az EA = x és BF = y vektorokat, így EC = x és DF = y. Az EF vektort kétféle módon kifejezzük: EF = x + a + y EF = x + c y 2 EF = a + c a + c EF = 2 Ebből a levezetésből az is érthetővé válik, hogy miért nincs szükségünk a b vektorra az EF vektor kifejezéséhez. 5. Bizonyítsa be, hogy a tetraéder súlypontja felezi a szemközti élek felezőpontjait összekötő szakaszt! Egy rögzített O pontból a pontokba mutató helyvektorokat a megfelelő kisbetűvel jelöljük. E és F oldalfelező pontok, ezért e = ab ab cd ; f =. az EF szakasz felezőpontja K: k = cd = abcd. Ez éppen a tetraéder súlypontjának helyvektora, tehát beláttuk a feladat állítását. 24
25 6. Az ABCD húrnégyszög BCD; ACD; ABD; ABC részháromszögeinek magasságpontjai P; Q; R; S. Bizonyítsuk be, hogy a PQRS négyszög egybevágó az ABCD négyszöggel! A körülírható kör középpontját választjuk vonatkoztatási pontnak, az ebből a pontból induló helyvektorokat a megfelelő kisbetűvel jelöljük. A 6. kidolgozott feladat eredménye alapján megadjuk a magasságpontokba mutató helyvektorokat: p = b + c + d; q = a + c + d; r = a + b + d; s = a + b + c. Ez alapján: AB = b a; QP = p q = b + c + d (a + c + d) = b a. Tehát az AB oldal párhuzamos és egyenlő a QP oldallal. Hasonlóan tudjuk belátni a többi oldalról is, hogy az ABCD négyszög megfelelő oldalával párhuzamos és egyenlő. Így a PQRS négyszög valóban egybevágó az ABCD négyszöggel. 7. Mekkora az a és b vektor szöge, ha a = 10; b = 8; ab = 60? cos(a, b) = ab a b = = 0,75 (a, b) = 41,41 a két vektor szöge. 25
26 8. Egy tetraéder szemközti éleinek négyzetösszege egyenlő. Bizonyítsa be, hogy a kitérő élek merőlegesek egymásra! A tetraéder O csúcsából induló éleire illesztjük az a, b, c vektorokat. Egy vektor négyzete megegyezik a hosszának a négyzetével. A feladat feltételét vektorokkal így írhatjuk le: OA + BC = OB + AC a + (c b) = b + (a c) a + c 2cb + b = b + a 2ac + c 0 = 2cb 2ac 0 = 2c(b a) A skaláris szorzat csak akkor lehet nulla, ha a két vektor merőleges egymásra, tehát a tetraéder OC és AB kitérő élei merőlegesek egymásra. A másik két élpárra a bizonyítás ugyanilyen módon történik. 26
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások
Megoldások 1. Tekintsük az alábbi szabályos hatszögben a következő vektorokat: a = AB és b = AF. Add meg az FO, DC, AO, AC, BE, FB, CE, DF vektorok koordinátáit az (a ; b ) koordinátarendszerben! Alkalmazzuk
RészletesebbenBrósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások
Megoldások 1. Határozd meg a szakasz hosszát, ha a végpontok koordinátái: A ( 1; ) és B (5; )! A szakasz hosszához számítsuk ki a két pont távolságát: d AB = AB = (5 ( 1)) + ( ) = 6 + 1 = 7 6,08.. Határozd
RészletesebbenMegoldások. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)
Megoldások 1. Határozd meg az a és b vektor skaláris szorzatát, ha a = 5, b = 4 és a közbezárt szög φ = 55! Alkalmazzuk a megfelelő képletet: a b = a b cos φ = 5 4 cos 55 11,47. 2. Határozd meg a következő
RészletesebbenBrósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Vektorok I.
Vektorok I. DEFINÍCIÓ: (Vektor) Az egyenlő hosszúságú és egyirányú irányított (kezdő és végponttal rendelkező) szakaszoknak a halmazát vektornak nevezzük. Jele: v ; v; AB (ahol A a vektor kezdőpontja,
RészletesebbenVektorgeometria (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Vektorgeometria (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. A térbeli irányított szakaszokat vektoroknak hívjuk. Két vektort egyenlőnek tekintünk, ha párhuzamos eltolással fedésbe hozhatók.
Részletesebben4. Vektorok. I. Feladatok. vektor, ha a b, c vektorok által bezárt szög 60? 1. Milyen hosszú a v = a+
4 Vektorok I Feladatok Milyen hosszú a v a b c vektor, ha a b, c vektorok által bezárt szög 60? c b, a, b, c és az a és Mit állíthatunk az BCD konvex négyszögről, ha B D B BC CB CD DC D 0? Igaz-e, hogy
RészletesebbenBrósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Vektorok II.
Vektorok II. DEFINÍCIÓ: (Vektorok hajlásszöge) Két vektor hajlásszögének azt a φ (0 φ 180 ) szöget nevezzük, amelyet a vektorok egy közös pontból felmért reprezentánsai által meghatározott félegyenesek
Részletesebben5. előadás. Skaláris szorzás
5. előadás Skaláris szorzás Bevezetés Két vektor hajlásszöge: a vektorokkal párhuzamos és egyirányú, egy pontból induló félegyenesek konvex szöge. φ Bevezetés Definíció: Két vektor skaláris szorzata abszolút
RészletesebbenEGYBEVÁGÓSÁGI TRANSZFORMÁCIÓK TENGELYES TÜKRÖZÉS
GEOMETRIA 1. Az A, B, C egy egyenes pontjai (ebben a sorrendben), AB szakasz 5 cm, BC szakasz 17 cm. F 1 az AB szakasz, F 2 a BC szakasz felezőpontja. Mekkora az F 1 F 2 szakasz? 2. Az AB és CD szakaszok
Részletesebbenλ 1 u 1 + λ 2 v 1 + λ 3 w 1 = 0 λ 1 u 2 + λ 2 v 2 + λ 3 w 2 = 0 λ 1 u 3 + λ 2 v 3 + λ 3 w 3 = 0
Vektorok a térben Egy (v 1,v 2,v 3 ) valós számokból álló hármast vektornak nevezzünk a térben (R 3 -ban). Használni fogjuk a v = (v 1,v 2,v 3 ) jelölést. A v 1,v 2,v 3 -at a v vektor komponenseinek nevezzük.
RészletesebbenVektorok és koordinátageometria
Vektorok és koordinátageometria Vektorral kapcsolatos alapfogalmak http://zanza.tv/matematika/geometria/vektorok-bevezetese Definíció: Ha egy szakasz két végpontját megkülönböztetjük egymástól oly módon,
RészletesebbenVEKTOROK. 1. B Legyen a( 3; 2; 4), b( 2; 1; 2), c(3; 4; 5), d(8; 5; 7). (a) 2a 4c + 6d [(30; 10; 30)]
Bodó Beáta 1 VEKTOROK 1. B Legyen a( ; 2; 4), b( 2; 1; 2), c(; 4; 5), d(8; 5; 7). (a) 2a 4c + 6d [(0; 10; 0)] (b) c + b 7a [(18; 15; 29)] (c) 2d c + b [ (5; ; ) = 6, 56] (d) 4a + 8b 7c [ ( 49; 44; 5) =
RészletesebbenKoordináta - geometria I.
Koordináta - geometria I A koordináta geometria témaköre geometriai problémákat old meg algebrai módszerekkel úgy, hogy a geometriai fogalmaknak algebrai fogalmakat feleltet meg: a pontokat, vektorokat
RészletesebbenKoordináta-geometria feladatok (középszint)
Koordináta-geometria feladatok (középszint) 1. (KSZÉV Minta (1) 2004.05/I/4) Adott az A(2; 5) és B(1; 3) pont. Adja meg az AB szakasz felezőpontjának koordinátáit! 2. (KSZÉV Minta (2) 2004.05/I/7) Egy
RészletesebbenVektorok összeadása, kivonása, szorzás számmal, koordináták
Vektorok összeadása, kivonása, szorzás számmal, koordináták 1. Mik lesznek a P (3, 4, 8) pont C (3, 7, 2) pontra vonatkozó tükörképének a koordinátái? 2. Egy szabályos hatszög középpontja K (4, 1, 4),
RészletesebbenKoordinátageometria Megoldások
005-0XX Középszint Koordinátageometria Megoldások 1) Adott két pont: A 4; 1 felezőpontjának koordinátáit! AB felezőpontja legyen F. és B 3 1; Írja fel az AB szakasz 1 3 + 4 + 1 3 F ; = F ;1 ) Egy kör sugarának
RészletesebbenKoordinátageometria. M veletek vektorokkal grakusan. Szent István Egyetem Gépészmérnöki Kar Matematika Tanszék 1
Szent István Egyetem Gépészmérnöki Kar Matematika Tanszék 1 Koordinátageometria M veletek vektorokkal grakusan 1. Az ABCD négyzet oldalvektorai közül a = AB és b = BC. Adja meg az AC és BD vektorokat a
RészletesebbenSíkgeometria 12. évfolyam. Szögek, szögpárok és fajtáik
Szögek, szögpárok és fajtáik Szögfajták: Jelölés: Mindkét esetben: α + β = 180 Pótszögek: Olyan szögek, amelyeknek összege 90. Oldalak szerint csoportosítva A háromszögek Általános háromszög: Minden oldala
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Koordináta-geometria
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Koordináta-geometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett
RészletesebbenVektoralgebra. 4. fejezet. Vektorok összeadása, kivonása és számmal szorzása. Feladatok
4. fejezet Vektoralgebra Vektorok összeadása, kivonása és számmal szorzása T 4.1 (Háromszögegyenl tlenség) Minden a, b vektorpárra a + b a + b. T 4.2 (Paralelogrammaszabály) Ha az a és b vektor különböz
RészletesebbenKoordináta-geometria feladatok (emelt szint)
Koordináta-geometria feladatok (emelt szint) 1. (ESZÉV Minta (2) 2004.05/7) Egy ABC háromszögben CAB = 30, az ACB = 45. A háromszög két csúcsának koordinátái: A(2; 2) és C(4; 2). Határozza meg a harmadik
RészletesebbenHASONLÓSÁGGAL KAPCSOLATOS FELADATOK. 5 cm 3 cm. 2,4 cm
HASONLÓSÁGGAL KAPCSOLATOS FELADATOK Egyszerű, hasonlósággal kapcsolatos feladatok 1. Határozd meg az x, y és z szakaszok hosszát! y cm cm z x 2, cm 2. Határozd meg az x, y, z és u szakaszok hosszát! x
RészletesebbenAz Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny tanévi második fordulójának feladatmegoldásai. x 2 sin x cos (2x) < 1 x.
Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2005-2006. tanévi második fordulójának feladatmegoldásai matematikából, a II. kategória számára 1. Oldja meg a következő egyenlőtlenséget, ha x > 0: x 2 sin
RészletesebbenSkaláris szorzat: a b cos, ahol α a két vektor által bezárt szög.
1 Összeadás: Legyen a (7; 3) és b (- 2; 4), akkor az összegük a + b (7 + (-2); 3 + 4) = (5; 7) Kivonás: Legyen a (7; 3) és b (- 2; 4), akkor a különbségük a b (7 - (-2); 3-4)=(9; - 1) Valós számmal való
RészletesebbenANALITIKUS MÉRTAN I. VEKTORALGEBRA. 1. Adott egy ABCD tetraéder. Határozzuk meg az alábbi összegeket: a) AD + BC = BD + AC.
ANALITIKUS MÉRTAN INFORMATIKA CSOPORT I. VEKTORALGEBRA 1. Feladatlap Műveletek vektorokkal 1. Adott egy ABCD tetraéder. Határozzuk meg az alábbi összegeket: a) AB + BD + DC; b) AD + CB + DC; c) AB + BC
RészletesebbenAz 1. forduló feladatainak megoldása
Az 1. forduló feladatainak megoldása 1. Bizonyítsa be, hogy a kocka éléből, lapátlójából és testátlójából háromszög szerkeszthető, és ennek a háromszögnek van két egymásra merőleges súlyvonala! Megoldás:
RészletesebbenVektoralgebra feladatlap 2018 január 20.
1. Adott az ABCD tetraéder, határozzuk meg: a) AB + BD + DC b) AD + CB + DC c) AB + BC + DA + CD Vektoralgebra feladatlap 018 január 0.. Adott az ABCD tetraéder. Igazoljuk, hogy AD + BC = BD + AC, majd
RészletesebbenOrszágos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2011/2012 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) 2. forduló - megoldások. 1 pont Ekkor
Okta tási Hivatal Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 0/0 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA). forduló - megoldások. Az valós számra teljesül a 3 sin sin cos sin egyenlőség. Milyen értékeket
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT. Koordináta-geometria
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT 1) Adott két pont: A 4; 1 felezőpontjának koordinátáit! AB felezőpontja legyen F. Koordináta-geometria és B 3 1; Írja fel az AB szakasz 1 3 4
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett
RészletesebbenA 2014/2015. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny második forduló MATEMATIKA I. KATEGÓRIA ( SZAKKÖZÉPISKOLA ) Javítási-értékelési útmutató
OktatásiHivatal A 014/01. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny második forduló MATEMATIKA I. KATEGÓRIA ( SZAKKÖZÉPISKOLA ) Javítási-értékelési útmutató 1. feladat: Adja meg az összes olyan (x,
Részletesebben10. Koordinátageometria
I. Nulladik ZH-ban láttuk: 0. Koordinátageometria. Melyek azok a P x; y pontok, amelyek koordinátái kielégítik az Ábrázolja a megoldáshalmazt a koordináta-síkon! x y x 0 egyenlőtlenséget? ELTE 00. szeptember
RészletesebbenExponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek
Eponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek. Hatványozási azonosságok. Számítsd ki a következő hatványok pontos értékét! a) 8 b) 4 c) d) 7 e) f) 9 0, g) 0, 9 h) 6 0, 7,, i) 8 j) 6 k) 4 l) 49,.
RészletesebbenKoordináta-geometria feladatgyűjtemény (A feladatok megoldásai a dokumentum végén találhatók)
Koordináta-geometria feladatgyűjtemény (A feladatok megoldásai a dokumentum végén találhatók) Vektorok 1. Egy négyzet két szemközti csúcsának koordinátái: A( ; 7) és C(4 ; 1). Határozd meg a másik két
Részletesebben15. Koordinátageometria
I. Elméleti összefoglaló Koordinátákkal adott vektorok 15. Koordinátageometria Ha a(a ; a ) és b(b ; b ) a sík két vektora, λ valós szám, akkor az a vektor hossza: a = a + a a két vektor összege : a +
RészletesebbenAdd meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit!
1. 2. 3. 4. Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit! Add meg a kivonásban szereplő számok elnevezéseit! Add meg a szorzásban szereplő számok elnevezéseit! Add meg az osztásban szereplő számok
Részletesebben15. Koordinátageometria
I. Elméleti összefoglaló Koordinátákkal adott vektorok 15. Koordinátageometria Ha a(a ; a ) és b(b ; b ) a sík két vektora, λ valós szám, akkor az a vektor hossza: a = a + a a két vektor összege : a +
RészletesebbenHelyvektorok, műveletek, vektorok a koordináta-rendszerben
Helyvektorok, műveletek, vektorok a koordináta-rendszerben. Rajzold meg az alábbi helyvektorokat a derékszögű koordináta-rendszerben, majd számítsd ki a hosszúságukat! a) (4 ) b) ( 5 ) c) ( 6 ) d) (4 )
Részletesebben9. Írjuk fel annak a síknak az egyenletét, amely átmegy az M 0(1, 2, 3) ponton és. egyenessel;
Síkok és egyenesek FELADATLAP Írjuk fel annak az egyenesnek az egyenletét, amely átmegy az M 0(,, ) ponton és a) az M(,, 0) ponton; b) párhuzamos a d(,, 5) vektorral; c) merőleges a x y + z 0 = 0 síkra;
RészletesebbenKoordináta-geometria feladatgyűjtemény
Koordináta-geometria feladatgyűjtemény A feladatok megoldásai a dokumentum végén találhatók Vektorok 1. Egy négyzet két szemközti csúcsának koordinátái: A( ; 7) és C(4 ; 1). Határozd meg a másik két csúcs
RészletesebbenA vektor fogalma (egyszer
Vektorműveletek a koordináta-rendszerben Vektorműveletek a koordináta-rendszerben Elméleti anyag: A vektor fogalma (egyszerű meghatározás): az irányított szakaszokat nevezzük vektoroknak. Egy vektornak
RészletesebbenMatematika 11. osztály
ELTE Apáczai Csere János Gyakorló Gimnázium és Kollégium Humán tagozat Matematika 11. osztály II. rész: Trigonometria Készítette: Balázs Ádám Budapest, 018 . Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék II. rész: Trigonometria...........................
RészletesebbenGeometria. a. Alapfogalmak: pont, egyenes, vonal, sík, tér (Az alapfogalamakat nem definiáljuk)
1. Térelemek Geometria a. Alapfogalmak: pont, egyenes, vonal, sík, tér (Az alapfogalamakat nem definiáljuk) b. Def: félegyenes, szakasz, félsík, féltér. c. Kölcsönös helyzetük: i. pont és (egyenes vagy
Részletesebben5 1 6 (2x3 + 4) 7. 4 ( ctg(4x + 2)) + c = 3 4 ctg(4x + 2) + c ] 12 (2x6 + 9) 20 ln(5x4 + 17) + c ch(8x) 20 ln 5x c = 11
Bodó Beáta ISMÉTLÉS. ch(6 d.. 4.. 6. 7. 8. 9..... 4.. e (8 d ch (9 + 7 d ( + 4 6 d 7 8 + d sin (4 + d cos sin d 7 ( 6 + 9 4 d INTEGRÁLSZÁMÍTÁS 7 6 sh(6 + c 8 e(8 + c 9 th(9 + 7 + c 6 ( + 4 7 + c = 7 4
Részletesebben4 = 0 egyenlet csak. 4 = 0 egyenletből behelyettesítés és egyszerűsítés után. adódik, ennek az egyenletnek két valós megoldása van, mégpedig
Oktatási Hivatal Az forduló feladatainak megoldása (Szakközépiskola) Melyek azok az m Z számok, amelyekre az ( m ) x mx = 0 egyenletnek legfeljebb egy, az m x + 3mx 4 = 0 egyenletnek legalább egy valós
RészletesebbenA 2013/2014. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny MATEMATIKA II. KATEGÓRIA (GIMNÁZIUM)
A 2013/2014. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első forduló MATEMATIKA II. KATEGÓRIA (GIMNÁZIUM) Javítási értékelési útmutató 1. Melyek azok a pozitív p és q prímek, amelyekre a számok mindegyike
RészletesebbenI. Vektor fogalma, tulajdonságai
6 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM Tanári útmutató I. Vektor fogalma, tulajdonságai Módszertani megjegyzés: Az 1. és. fejezet az eddig tanultak rendszerezett és kibővített átismétlése. Bevezetőként kereshetünk
RészletesebbenSíkbeli egyenesek. 2. Egy egyenes az x = 1 4t, y = 2 + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg
Analitikus mértan 3. FELADATLAP Síkbeli egyenesek 1. Írjuk fel annak az egyenesnek a paraméteres egyenleteit, amely (i) áthalad az M 0 (1, 2) ponton és párhuzamos a a(3, 1) vektorral; (ii) áthalad az origón
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.
KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 8 VIII VEkTOROk 1 VEkTOR Vektoron irányított szakaszt értünk Jelölése: stb Vektorok hossza A vektor abszolút értéke az irányított szakasz hossza Ha a vektor hossza egységnyi akkor
RészletesebbenA kör. A kör egyenlete
A kör egyenlete A kör A kör egyenlete 8 a) x + y 6 b) x + y c) 6x + 6y d) x + y 9 8 a) x + y 6 + 9 b) x + y c) x + y a + b 8 a) (x - ) + (y - ) 9, rendezve x + y - 8x - y + b) x + y - 6x - 6y + c) x +
RészletesebbenBrósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások
Megoldások 1. Írd fel a K (0; 2) középpontú 7 sugarú kör egyenletét! A keresett kör egyenletét felírhatjuk a képletbe való behelyettesítéssel: x 2 + (y + 2) 2 = 49. 2. Írd fel annak a körnek az egyenletét,
Részletesebben1. Legyen egy háromszög három oldalának a hossza a, b, c. Bizonyítsuk be, hogy Mikor állhat fenn egyenlőség? Kántor Sándorné, Debrecen
10. osztály 1. Legyen egy háromszög három oldalának a hossza a, b, c. Bizonyítsuk be, hogy ( a + b + c) 3 4 ab + bc + ca Mikor állhat fenn egyenlőség? Kántor Sándorné, Debrecen A feladatban szereplő kettős
Részletesebben4. Vektoralgebra (megoldások)
(megoldások).. a) m n = (a + b) (a b) = 6b b) 4m + 4n = 8a ; c) m n = a + 5 b ; d) m + n = 9+ a + 9 b.. a) a 4b= 0 m n ; b) 5a + b= 8 m n ; c) a + b= 7 m + n ; d) a b = 4+ m + n. 0 0 5 4. A szabályos hatszög
Részletesebben4) Az ABCD négyzet oldalvektorai körül a=ab és b=bc. Adja meg az AC és BD vektorokat a és b vektorral kifejezve!
(9/1) Vektorok, Koordináta Geometria 1) Szerkessze meg az a + b és az a b vektort, ha a és b egy szabályos háromszögnek a mellékelt ábra szerinti oldalvektorai! 2) Az ABC háromszög két oldalának vektora
Részletesebben, D(-1; 1). A B csúcs koordinátáit az y = + -. A trapéz BD
Kör és egyenes kölcsönös helyzete Kör érintôje 7 9 A húr hossza: egység 9 A ( ) ponton átmenô legrövidebb húr merôleges a K szakaszra, ahol K az adott kör középpontja, feltéve, hogy a kör belsejében van
Részletesebben= 7, a 3. = 7; x - 4y =-8; x + 2y = 10; x + y = 7. C-bôl induló szögfelezô: (-2; 3). PA + PB = PA 1. (8; -7), n(7; 8), 7x + 8y = 10, x = 0 & P 0;
98 Az egyenes egyenletei. a) A( 0) B(0 6) AB_ - 6i& n( ) x + y = b) x - y =- c) 6x - y = 0 d) 6x + y = e) x + y = f) x + y = a g) x - y = a.. A(a 0) B(0 b) AB_ -a bi n (b a) bx + ay = ab osszuk el a $
Részletesebben10. Tétel Háromszög. Elnevezések: Háromszög Kerülete: a + b + c Területe: (a * m a )/2; (b * m b )/2; (c * m c )/2
10. Tétel Háromszög Tulajdonságok: - Háromszögnek nevezzük a sokszöget, ha 3 oldala, 3 csúcsa és 3 szöge van - A háromszög belső szögeinek összege 180 o - A háromszög külső szögeinek összege 360 o - A
RészletesebbenXX. Nemzetközi Magyar Matematika Verseny
XX. Nemzetközi Magyar Matematika Verseny Bonyhád, 011. március 11 15. 10. osztály 1. feladat: Legyen egy háromszög három oldalának a hossza a, b és c. Bizonyítsuk be, hogy 3 (a+b+c) ab+bc+ca 4 Mikor állhat
RészletesebbenI. Vektorok. Adott A (2; 5) és B ( - 3; 4) pontok. (ld. ábra) A két pont által meghatározott vektor:
I. Vektorok 1. Vektorok összege Általánosan: Az ábra alapján Adott: a(4; 1) és b(; 3) a + b (4 + ; 1 + 3) = (6; ) a(a 1 ; a ) és b(b 1 ; b ) a + b(a 1 + b 1 ; a + b ). Vektorok különbsége Általánosan:
Részletesebben54. Mit nevezünk rombusznak? A rombusz olyan négyszög,
52. Sorold fel a deltoid tulajdonságait! 53. Hogy számoljuk ki a deltoid területét? A deltoid egyik átlója a deltoid Átlói. A szimmetriaátló a másik átlót és a deltoid szögét. A szimmetriatengely két ellentétes
Részletesebben1. megold s: A keresett háromjegyű szám egyik számjegye a 3-as, a két ismeretlen számjegyet jelölje a és b. A feltétel szerint
A 004{005. tan vi matematika OKTV I. kateg ria els (iskolai) fordul ja feladatainak megold sai 1. feladat Melyek azok a 10-es számrendszerbeli háromjegyű pozitív egész számok, amelyeknek számjegyei közül
Részletesebben2004_02/10 Egy derékszögű trapéz alapjainak hossza a, illetve 2a. A rövidebb szára szintén a, a hosszabb b hosszúságú.
Geometria háromszögek, négyszögek 2004_01/10 Az ABC háromszög C csúcsánál derékszög van. A derékszöget a CT és CD szakaszok három egyenlő részre osztják. A CT szakasz a háromszög egyik magassága is egyben.
RészletesebbenI. feladatsor. 9x x x 2 6x x 9x. 12x 9x2 3. 9x 2 + x. x(x + 3) 50 (d) f(x) = 8x + 4 x(x 2 25)
I. feladatsor () Határozza meg az alábbi függvények határozatlan integrálját: (a) f(x) = (b) f(x) = x + 4 9x + (c) f(x) = (d) f(x) = 6x + 5 5x + f(x) = (f) f(x) = x + x + 5 x 6x + (g) f(x) = (h) f(x) =
RészletesebbenEgybevágóság szerkesztések
Egybevágóság szerkesztések 1. Adott az ABCD trapéz, alapjai AB és CD. Szerkesszük meg a vele tengelyesen szimmetrikus trapézt, ha az A csúcs tükörképe a BC oldal középpontja. Nyilvánvaló, hogy a tengelyes
RészletesebbenKözéppontos hasonlóság szerkesztések
Középpontos hasonlóság szerkesztések 1. Adott az AV B konvex szög és a belsejében egy P pont. Húzzunk a P ponton át egy egyenest úgy, hogy a szög száraiból kimetszett szeletek aránya 3 : 4 legyen. Legyen
RészletesebbenSíkbeli egyenesek Egy egyenes az x = 1 4t, y = 2 + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg
Analitikus mértan 5. FELADATLAP Síkbeli egyenesek 5.1. Írjuk fel annak az egyenesnek a paraméteres egyenleteit, amely (i) áthalad az M 0 (1, 2) ponton és párhuzamos a a(3, 1) vektorral; (ii) áthalad az
RészletesebbenFeladatok a májusi emelt szintű matematika érettségi példáihoz Hraskó András
Feladatok a 2010. májusi emelt szintű matematika érettségi példáihoz Hraskó András 1. Halmazok, halmazműveletek, halmazok számossága, halmazműveletek és logikai műveletek kapcsolata. HA.1.1. Adott a síkon
RészletesebbenKoordinátageometriai gyakorló feladatok I ( vektorok )
Koordinátageometriai gyakorló feladatok I ( vektorok./ Határozd meg az AB szakasznak azt a pontját, amely a szakaszt : ha A ( ; és a B ( ; 8!./ Adott az A ( 3 ; 5 és a ( ; 6 B pont. Számítsd ki az AB vektor
Részletesebben3 függvény. Számítsd ki az f 4 f 3 f 3 f 4. egyenlet valós megoldásait! 3 1, 3 és 5 3 1
Érettségi, M, I-es feladatsor, természettudomány.. Számítsd ki a C! összeget! log 4. Határozd meg a. Számítsd ki az egyenlet valós megoldásait! összeg értékét, ha és az 4. Adott az f : 0,, f. Adottak az
Részletesebben1. Középpontos tükrözés, középpontos szimmetria 146/1. a) 0; 3; 8; A;B;C; D; E;H; I; M; O; T; U; V; W; X; Y;Z. b) 0; H; I; N; O; S; X; Z
146/1 147/2 1. Középpontos tükrözés, középpontos szimmetria a) 0; 3; 8; A;B;C; D; E;H; I; M; O; T; U; V; W; X; Y;Z b) 0; H; I; N; O; S; X; Z c) 0; O; H; I; X; Z a) kőr dáma b) pikk jumbo; kőr dáma.; káró
RészletesebbenAnalitikus geometria c. gyakorlat (2018/19-es tanév, 1. félév) 1. feladatsor (Síkbeli koordinátageometria vektorok alkalmazása nélkül)
1. feladatsor (Síkbeli koordinátageometria vektorok alkalmazása nélkül) A tér egy σ síkjában vegyünk két egymásra mer leges egyenest, melyeket jelöljön x és y, a metszéspontjukat pedig jelölje O. A két
RészletesebbenVektoralgebra. 1.) Mekkora a pillanatnyi sebesség 3 s elteltével, ha a kezdősebesség (15;9;7) m/s, a gravitációs gyorsulás pedig (0;0;-10) m/s 2?
Vektoralgebra Elmélet: http://digitus.itk.ppke.hu/~b_novak/dmat/vektorfolcop.pdf Mikor érdemes más, nem ortonormált bázist alkalmazni? Fizikában a ferde hajításoknál megéri úgynevezett ferdeszögű koordináta-rendszert
Részletesebben5. házi feladat. AB, CD kitér élpárra történ tükrözések: Az ered transzformáció: mivel az origó xpont, így nincs szükség homogénkoordinátás
5. házi feladat 1.feladat A csúcsok: A = (0, 1, 1) T, B = (0, 1, 1) T, C = (1, 0, 0) T, D = ( 1, 0, 0) T AB, CD kitér élpárra történ tükrözések: 1 0 0 T AB = 0 1 0, elotlási rész:(i T AB )A = (0, 0, )
RészletesebbenMinimum követelmények matematika tantárgyból 11. évfolyamon
Minimum követelmények matematika tantárgyból. évfolyamon A hatványozás általánosítása pozitív alap esetén racionális kitevőre. Műveletek hatványokkal. A, a 0 függvény. Az eponenciális függvény. Vizsgálata
RészletesebbenRacionális számok: Azok a számok, amelyek felírhatók két egész szám hányadosaként ( p q
Szóbeli tételek matematikából 1. tétel 1/a Számhalmazok definíciója, jele (természetes számok, egész számok, racionális számok, valós számok) Természetes számok: A pozitív egész számok és a 0. Jele: N
Részletesebben3. előadás. Elemi geometria Terület, térfogat
3. előadás Elemi geometria Terület, térfogat Tetraéder Négy, nem egy síkban lévő pont által meghatározott test. 4 csúcs, 6 él, 4 lap Tetraéder Minden tetraédernek egyértelműen létezik körülírt- és beírt
RészletesebbenAnalitikus geometria c. gyakorlat
matematikatanári szak (2016/2017-es tanév, 1. félév) 1. feladatsor (M veletek vektorokkal) 1) Az a vektor hossza kétszerese a b vektor hosszának. Mekkora a két vektor szöge, ha az a b vektor mer leges
RészletesebbenTémák: geometria, kombinatorika és valósuínűségszámítás
Matematika BSc Elemi matematika 3 Témák: geometria, kombinatorika és valósuínűségszámítás Kitűzött feladatok Geometria 1. Egy ABD háromszög szögei rendre α, β, γ. Mekkora szöget zár be egymással a) az
RészletesebbenBudapesti Műszaki Főiskola, Neumann János Informatikai Kar. Vektorok. Fodor János
Budapesti Műszaki Főiskola, Neumann János Informatikai Kar Lineáris algebra 1. témakör Vektorok Fodor János Copyright c Fodor@bmf.hu Last Revision Date: 2006. szeptember 11. Version 1.1 Table of Contents
RészletesebbenKoordináta-geometria II.
Koordináta-geometria II. DEFINÍCIÓ: (Alakzat egyenlete) A síkon adott egy derékszögű koordináta rendszer. A síkban levő alakzat egyenlete olyan f (x, y) = 0 egyenlet, amelyet azoknak és csak azoknak a
Részletesebbenegyenletrendszert. Az egyenlő együtthatók módszerét alkalmazhatjuk. sin 2 x = 1 és cosy = 0.
Magyar Ifjúság. X. TRIGONOMETRIKUS FÜGGVÉNYEK A trigonometrikus egyenletrendszerek megoldása során kísérletezhetünk új változók bevezetésével, azonosságok alkalmazásával, helyettesítő módszerrel vagy más,
RészletesebbenIsmételjük a geometriát egy feladaton keresztül!
Laczkó László Készült a Fazekas ihály Oktatási Kulturális és Sport lapítvány támogatásával z árák elektronikus változatát Véges árton (009c) diák készítette feladat z hegyesszögű háromszög -nél levő szöge.
RészletesebbenFeladatok a szinusz- és koszinusztétel témaköréhez 11. osztály, középszint
TÁMOP-3.1.4-08/-009-0011 A kompetencia alapú oktatás feltételeinek megteremtése Vas megye közoktatási intézményeiben Feladatok a szinusz- és koszinusztétel témaköréhez 11. osztály, középszint Vasvár, 010.
RészletesebbenHasonlósági transzformációk II. (Befogó -, magasság tétel; hasonló alakzatok)
Hasonlósági transzformációk II. (Befogó -, magasság tétel; hasonló alakzatok) DEFINÍCIÓ: (Hasonló alakzatok) Két alakzat hasonló, ha van olyan hasonlósági transzformáció, amely az egyik alakzatot a másikba
RészletesebbenGeometria 1 összefoglalás o konvex szögek
Geometria 1 összefoglalás Alapfogalmak: a pont, az egyenes és a sík Axiómák: 1. Bármely 2 pontra illeszkedik egy és csak egy egyenes. 2. Három nem egy egyenesre eső pontra illeszkedik egy és csak egy sík.
RészletesebbenÉrettségi feladatok: Síkgeometria 1/6
Érettségi feladatok: Síkgeometria 1/6 2005. május 10. 4. Döntse el, hogy a következő állítások közül melyik igaz és melyik hamis! A: A háromszög köré írható kör középpontja mindig valamelyik súlyvonalra
Részletesebben1. Feladatlap - VEKTORALGEBRA. Műveletek vektorokkal. AD + BC = BD + AC. Igaz ez az összefüggés
1 Feladatlap - VEKTORALGEBRA Műveletek vektorokkal 1 Adott egy ABCD tetraéder Határozzuk meg az alábbi összegeket: a) AB + BD + DC; b) AD + CB + DC; c) AB + BC + DA + CD 2 Adott az ABCD tetraéder Igazoljuk,
RészletesebbenNémeth László Matematikaverseny április 16. A osztályosok feladatainak javítókulcsa
Németh László Matematikaverseny 007. április 16. A 9-10. osztályosok feladatainak javítókulcsa Feladatok csak 9. osztályosoknak 1. feladat a) Vegyük észre, hogy 7 + 5 felírható 1 + 3 + 6 + alakban, így
Részletesebben11. osztály. 1. Oldja meg az egyenletrendszert a valós számok halmazán! (10 pont) Megoldás: A három egyenlet összege: 2 ( + yz + zx) = 22.
osztály Oldja meg az egyenletrendszert a valós számok halmazán! y + yz = 8 yz + z = 9 z + y = 5 (0 pont) Megoldás: A három egyenlet összege: ( + yz + z) = Ebből kivonva az egyenleteket: y =, yz = 6, z
Részletesebben8. Geometria = =
8. Geometria I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Egy négyzet átlójának hossza 4 + 2. Mennyi a négyzet oldalhossza? (A) 1 + 2 2 (B) 4 + 2 (C) 2 2 + 2 (D) 2 + 2 (E) 2 2 + 1 Egy a oldalú négyzet átlója a 2. Ezt
RészletesebbenFizika 1i, 2018 őszi félév, 1. gyakorlat
Fizika i, 08 őszi félév,. gyakorlat Szükséges előismeretek: vektorok, műveletek vektorokkal (összeadás, kivonás, skalárral való szorzás, skaláris szorzat és vektoriális szorzat, abszolút érték), vektorok
RészletesebbenMatematika A1a Analízis
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Matematika A1a Analízis BMETE90AX00 Vektorok StKis, EIC 2019-02-12 Wettl Ferenc ALGEBRA
RészletesebbenFeladatok az 1. Geometria gyakorlathoz Geometria 1 haladó szint (2011/2012 es tanév, 2. félév)
Feladatok az 1. Geometria gyakorlathoz 1) Az euklideszi síkon adva van két egyenlő sugarú kör k 1 és k 2, amelyek az M, N pontokban metszik egymást. Jelölje r a két kör sugarát. Az M ponttal, mint centrummal,
RészletesebbenÉrettségi feladatok: Koordináta-geometria 1/5
Érettségi feladatok: Koordináta-geometria 1/5 2003. Próba/ 13. Adott egy háromszög három csúcspontja a koordinátáival: A( 4; 4), B(4; 4) és C( 4; 8). Számítsa ki a C csúcsból induló súlyvonal és az A csúcsból
RészletesebbenFeladatok. 1. a) Mekkora egy 5 cm oldalú négyzet átlója?
Feladatok 1. a) Mekkora egy 5 cm oldalú négyzet átlója? A háromszög derékszögű, ezért írjuk fel a Pitagorasz-tételt! e 5 5 50 e 50 7,07 cm b) Mekkora egy a oldalú négyzet átlója? e a a a e a. Egy négyzet
RészletesebbenA 2013/2014. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny második forduló MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató
Oktatási Hivatal A 0/04 tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi erseny második forduló MATEMATIKA I KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató A 57 olyan háromjegyű szám, amelynek számjegyei
RészletesebbenNem mindig az a bonyolult, ami annak látszik azaz geometria feladatok megoldása egy ritkán használt eszköz segítségével
Nem mindig az a bonyolult, ami annak látszik azaz geometria feladatok megoldása egy ritkán használt eszköz segítségével Rátz László Vándorgyűlés 2018 Győr Fonyó Lajos Keszthelyi Vajda János Gimnázium A
RészletesebbenO ( 0, 0, 0 ) A ( 4, 0, 0 ) B ( 4, 3, 0 ) C ( 0, 3, 0 ) D ( 4, 0, 5 ) E ( 4, 3, 5 ) F ( 0, 3, 5 ) G ( 0, 0, 5 )
1. feladat Írjuk föl a következő vektorokat! AC, BF, BG, DF, BD, AG, GB Írjuk föl ezen vektorok egységvektorát is! a=3 m b= 4 m c= m Írjuk föl az egyes pontok koordinátáit: O ( 0, 0, 0 ) A ( 4, 0, 0 )
RészletesebbenNagy András. Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 2010.
Nagy András Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 010. Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 1) Döntsd el, hogy a P pont illeszkedik-e az e egyenesre
RészletesebbenPitagorasz-tétel. A háromszög derékszögű, ezért írjuk fel a Pitagorasz-tételt! 2 2 2
1. a) Mekkora egy 5 cm oldalú négyzet átlója? Pitagorasz-tétel A háromszög derékszögű, ezért írjuk fel a Pitagorasz-tételt! e 5 5 50 e 50 7,07 cm b) Mekkora egy a oldalú négyzet átlója? e a a a e a. Egy
Részletesebben