Egyszerű áramkörök árama, feszültsége, teljesítménye

Átírás

1 Egyszerű árakörök áraa, feszültsége, teljesíténye A szokásos előjelek Általában az ún fogyasztói pozitív irányokat használják, ezek szerint: - a ϕ fázisszög az ára helyzete a feszültség szinusz hullá szöghelyzetéhez képest, - a fogyasztott P hatásos teljesítény a pozitív és a terelt a negatív, - az induktív fogyasztó Q eddő teljesíténye pozitív, a kapacitívé negatív Ohos ellenállás Váltakozó feszültségre kapcsolt ellenállás feszültségesése inden pillanatban egyensúlyt tart a hálózati (táp)feszültséggel Váltakozó feszültségforrásra kapcsolt ellenállás áraköri vázlata -=0 = Ha a tápfeszültség szinusz függvény szerint változik, = sinωt, ϕ u =0, akkor az előző egyenletből: ut it = = sinω t = I sinω t, itt I = Ohos ellenálláson az ára fázisban van a feszültséggel, ϕ i =ϕ u, így ϕ=0 eff Az ára és a feszültség effektív értéke közötti összefüggés: Ieff =, vagy I = p(t) Az ellenállás feszültségének, áraának és teljesítényének időfüggvénye A teljesítény pillanatértéke: pt = ut it = sinω t I sinω t= I sin ω t=

2 I Icosω t I = = ( cosω t) A teljesítény egy középérték körül kétszeres frekvenciájú koszinusz függvény szerint leng Előjele indig pozitív, tehát az energiaáralás iránya inden pillanatban azonos A teljesítény középértéke: P I = = eff Ieff = I = = I Az ellenállás teljesíténye hatásos teljesítény, értékegysége [P]=W watt Induktivitás Ideális (ellenállás entes) induktivitásra (tekercsre) kapcsolt váltakozó feszültség hatására folyó ára váltakozó ágneses teret hoz létre A váltakozó ágneses tér az induktivitáson önindukciós feszültséget indukál Ez a feszültség inden pillanatban egyensúlyt tart a hálózati (táp)feszültséggel Váltakozó feszültségforrásra kapcsolt induktivitás áraköri vázlata ut di t = 0 ut = di t dt dt Ha a tápfeszültség szinusz függvény szerint változik, = sinωt, ϕ u =0, akkor az előző egyenletből: it = tdt = t = I t = I t sin ω π cosω cosω sin ω ω, itt I = ω π Az ára 90 -os fáziskéséssel követi a feszültséget ϕi = ϕ = Az ára és a feszültség effektív értéke közötti összefüggés: I eff eff =, vagy I ω = ω X f Az induktív reaktancia frekvencia-függése ω=x - az induktív ellenállás (induktív reaktancia), értékegysége [X ]=Ω oh Az induktív reaktancia X =ω=πf arányos a frekvenciával és az induktivitással A tekercsben indukálódó feszültséget az induktív ellenálláson eső feszültség helyettesíti

3 p(t) Az induktivitás feszültségének, áraának és teljesítényének időfüggvénye A teljesítény pillanatértéke: pt = ut it = sinω t I cosω t= I kétszeres frekvenciájú szinusz függvény szerint változik A tekercsben negyed periódus alatt (pozitív szakasz) felhalozódó energia a következő negyed periódus alatt (negatív szakasz) visszaáralik a tápforrásba A tekercsben energia ne használódik fel, unkát ne végez, ezért eddő teljesíténynek nevezik és a axiális (csúcs) értékével jellezik Az ún fogyasztói pozitív irányok ellett az induktív eddő teljesítény pozitív előjelű: I Q = = eff Ieff = I = = I X, értékegysége [Q]=VAr voltaper reaktív X A eddő teljesítény fenti értelezése csak szinuszos táplálás esetén igaz Neszinuszos vagy többhulláú táplálásnál járulékos veszteségek jelennek eg, ezeket gyakran a eddővel összevonják, pl ipulzus-szerű táplálásnál 3 Kapacitás Egy kondenzátorban tárolt töltés inden pillanatban arányos a fegyverzetei közötti feszültséggel: q(t)= Ha a feszültség változik, változik a tárolt töltés és a töltés változásának egfelelő ára folyik az elektródokhoz (vezetési ára), illetve a dielektrikuon át (eltolási ára) dq t it = = du t dt dt sin ω t Váltakozó feszültségforrásra kapcsolt kapacitás áraköri vázlata 3

4 Ha a tápfeszültség szinusz függvény szerint változik, = sinωt, ϕ u =0, akkor az előző egyenletből: it du t d sinω t π = = = t = t + I t dt dt = + π ω cosω ω sin ω sin ω, itt I = ω = = X ω Az ára 90 -kal siet a feszültséghez képest ϕ ϕ π i = = Az ára és a feszültség effektív értéke közötti összefüggés: I eff =ω eff =X eff, vagy I=X X f ω A kapacitív reaktancia frekvencia-függése = X a kapacitív ellenállás (kapacitív reaktancia), értékegysége [X ]=Ω oh A kapacitív reaktancia X = = fordítottan arányos a frekvenciával és a kapacitással ω π f p(t) A kapacitás feszültségének, áraának és teljesítényének időfüggvénye A teljesítény pillanatértéke: pt = ut it = sinω t I cosω t= I sin ω t 4

5 kétszeres frekvenciájú szinusz függvény szerint változik A kondenzátorban az ára által szállított töltések építik fel a villaos teret A negyed periódus alatt (pozitív szakasz) felépülő villaos tér a következő negyed periódus alatt lebolik (negatív szakasz) A kondenzátorban energia ne használódik fel, unkát ne végez, ezért eddő teljesíténynek nevezik és a axiális (csúcs) értékével jellezik Az ún fogyasztói pozitív irányok ellett a kapacitív eddő teljesítény negatív előjelű: I Q = = eff Ieff = I = = I X X 4 Soros - kör A sorosan kapcsolt ellenállás feszültségesése és az induktivitás önindukciós feszültsége inden pillanatban egyensúlyt tart a tápfeszültséggel: ut u t u t ut it di t l = = 0 ut = it + di t dt dt X Váltakozó feszültségforrásra kapcsolt soros - kör vázlata A soros árakör eleein azonos az ára, ha szinusz függvény szerint változik, =I sinωt, ϕ i =0, akkor az előző egyenletből: = I sinωt+i ωcosωt=i (sinωt+ωcosωt)=i Zsin(ωt+ϕ u )= sin(ωt+ϕ u ) itt =I Z és sinωt+ωcosωt=sinωt+x cosωt= Zsin(ωt+ϕ u ), ωt=0 esetén X = Zsinϕ u, ωt=π/ esetén = Zsin(π/+ϕ u )= Zcosϕ u Az utóbbi két egyenlet hányadosából: X = tgϕ u, ϕ u = arctg X (ϕ u indig pozitív), a két egyenlet négyzetének összegéből: +X = Z Z = + X az árakör látszólagos ellenállása, ipedanciája, [Z]=Ω oh Z = + X X =ω ϕ Az ellenállás, az X ipedancia és a Z reaktancia összefüggésének illusztrálása 5

6 Az ohos-induktív árakörben az feszültség ϕ u szöggel siet az árahoz képest Mivel ϕ i =0, az ára fázisszöge a feszültséghez képest ϕ=ϕ i -ϕ u =-ϕ u, az ára késik a feszültséghez képest, ϕ = arctg X Z Aennyiben = sinωt, ϕ u =0, akkor it = sin( ω t ) ϕ, Z = = I I u (t) u (t) Soros - kör áraának és feszültségeinek időfüggvénye A teljesítény pillanatértéke: pt = ut it = I sinω t+ X cosω t I sinω t= ( ) cos ω t sin ω t = Isin ω t + IX cosω t sinω t = I + IX p(t) p (t) p (t) Soros - kör áraának és teljesítényeinek időfüggvénye A teljesítény középértékének különböző alakjai: I P I I I = = eff = = = I = I cosϕ, Z + X 6

7 a eddő teljesítény: Q I X I X I X I X X = = eff = = = I = I sinϕ Z + X A unkát (pl hőfejlesztést, echanikai elozdulást) végző hatásos teljesítény kisebb, int az egyenáraú körben száított I szorzat Ezt a szorzatot látszólagos teljesíténynek nevezik: S= eff I eff =I, [S]=VA voltaper A hatásos, a eddő és a látszólagos teljesítény közötti összefüggés az eddigiek alapján: P=Scosϕ, Q=Ssinϕ, illetve P +Q =S S Q ϕ u P A P hatásos, a Q eddő és az S látszólagos teljesítény összefüggésének illusztrálása A villaos elektroechanikai eszközök, berendezések (pl villaos forgógépek) helyettesítő áraköreiben a hatásos teljesítényt (echanikai teljesítény, súrlódási veszteség, vasveszteség stb) egyenértékű ohos veszteségi teljesíténnyel képezik, egfelelő nagyságú ellenállás beiktatásával A fogyasztott hatásos teljesítény a hővé vagy ás fajta energiává alakuló teljesítény középértéke, ai a tápforrásba ne tér vissza 5 Soros - kör A soros - körhöz hasonló képpen száítható Az ellenállás feszültségesése és a kondenzátoron az ára (töltésváltozás) okozta feszültség inden pillanatban egyensúlyt tart a tápfeszültséggel: ut u t uc t = ut it idt = 0 ut = it + idt X Váltakozó feszültségforrásra kapcsolt soros - kör vázlata Ha az ára szinusz függvény szerint változik, =I sinωt, ϕ i =0, akkor az előző egyenletből: I ut = Isinω t cosω t = IZsin( ω t + ϕu) = sin( ω t + ϕ u) ω itt =I Z és 7

8 I sinω t cosω t = sinω t X cosω t = Zsin ω t + ϕ ω ( ) ωt=0 esetén -X = Zsinϕ u, ωt=π/ esetén = Zsin(π/+ϕ u )= Zcosϕ u X Az utóbbi két egyenlet hányadosából: = tgϕ u, vagy ásképpen: X X ϕ u = arctg = arctg (ϕ u indig negatív), a két egyenlet négyzetének összegéből: +X = Z A fázisszög száításánál az X kapacitív reaktancia előjele negatív Z = + X az árakör látszólagos ellenállása, ipedanciája u ϕ u -X =ω Z = + X Az ellenállás, az X ipedancia és a Z reaktancia összefüggésének illusztrálása Az ohos-kapacitív árakörben az feszültség ϕ u szöggel késik az árahoz képest Mivel ϕ i =0, az ára fázisszöge a feszültséghez képest ϕ=ϕ i -ϕ u =-ϕ u, az ára siet a feszültséghez képest, ϕ = arctg X Z Aennyiben = sinωt, ϕ u =0, akkor it = sin( ω t + ) ϕ, Z = = I I u (t) u (t) Soros - kör áraának és feszültségeinek időfüggvénye 8

9 A teljesítény pillanatértéke: pt = ut it = I sinω t X cosω ti sinω t= ( ) cos ω t sin ω t = Isin ω t IX cosω t sinω t = I IX Az ellenállás teljesítényének középértéke a soros - körhöz hasonló képpen: I P I I I = = eff = = = I = I cosϕ, Z + X a eddő teljesítény különböző alakjai: I X Q I X I X I X = = eff = = = I Z X + X = I sinϕ p (t) p(t) p (t) Soros - kör áraának és teljesítényeinek időfüggvénye 6 Soros -- kör A soros - és - körhöz hasonló képpen száítható Az ellenállás feszültségesése, az induktivitás önindukciós feszültsége és a kondenzátoron az ára (töltésváltozás) okozta feszültség inden pillanatban egyensúlyt tart a tápfeszültséggel: u t u t u t u t u t i t di t dt idt = = 0, ebből ut = it + di t dt + idt X X Váltakozó feszültségforrásra kapcsolt soros -- kör vázlata Ha az ára szinusz függvény szerint változik, =I sinωt, ϕ i =0, akkor az előző egyenletből: I I ut = Isinω t+ Iω cosω t cosω t = I sinω t + ω cosω t ω ω 9

10 [ sinω ( ) cosω ] ( sinω cosω ) = I t + X X t = I t X t = =I Zsin(ωt+ϕ u )= sin(ωt+ϕ u ), itt ϕ u - az eredő feszültség fázishelyzete a árahoz képest, X = ω = X X - az eredő reaktancia ω Z = + X X=X - X ϕ u Az ellenállás, az X ipedancia és a Z reaktancia összefüggésének illusztrálása Az előzőekhez hasonlóan az eredő ipedancia: Z = +X, illetve Z = + X, X X X X X X és a fázisszög tgϕ u = =, vagy ϕ u = arctg = arctg u (t) u (t) u (t) Soros -- kör áraának és feszültségeinek időfüggvénye Mivel ϕ i =0, az ára fázisszöge a feszültséghez képest ϕ=ϕ i -ϕ u =-ϕ u : =I sin(ωt-ϕ) ϕ < 0, ha X > 0, azaz ω > ω - az eredő ára késik a feszültséghez képest (- jellegű), ϕ = 0, ha X = 0, azaz ω = ω - az eredő ára fázisban van a feszültséggel ( jellegű), ϕ > 0, ha X < 0, azaz ω < ω - az eredő ára siet a feszültséghez képest (- jellegű), 0

11 A teljesítény pillanatértéke: pt = ut it = I sinω t+ X X cosω ti sinω t= [ ] ( ) cos ω t sin ω t = Isin ω t + IX cosω t sinω t = I IX, részletezve: cos ω t az ellenállás teljesíténye: p t = I, sin ω t az induktivitás teljesíténye: p t = I X, sin ω t a kapacitás teljesíténye: p t = I X A p (t) hatásos teljesítény inden pillanatban pozitív, középértéke P=I p (t) és p (t) kétszeres frekvenciával leng, középértéke zérus, az eredőjük a kettő összege: sin ω t qt = p t + p t = I( X X) p(t) p (t) p (t) p (t) Soros -- kör áraának és teljesítényeinek időfüggvénye Az eredő eddő teljesítény: ( ) ( ) Q I = X X = I X X = I X A eddő teljesítény egyik része az induktivitás és a kapacitás között leng, a ásik részét az árakör a táphálózatból veszi fel és oda juttatja vissza Induktivitás és kapacitás egyidejű jelenléte esetén az induktivitás ágneses energiája (vagy annak egy része) átalakul a kapacitás elektrosztatikus energiájává (vagy annak egy részévé) Aennyiben az induktivitás és kapacitás energiájának axiua egegyezik, ha az induktivitásban ugyanakkora energia halozódik fel, int a kapacitásban, akkor ez a két áraköri ele ellátja egyást energiával és az -- árakör a táphálózatból ne vesz fel eddő teljesítényt és ne is ad oda le Ez a rezonancia jelensége A rezonanciára éretezett árakört rezgőkörnek nevezik Soros árakörben soros rezonanciáról és soros rezgőkörről beszélünk Jelen árakörben a rezonancia feltétele: X = ω = = ω X Így az eredő ipedancia: Z= (ivel X -X =0), az ára és a feszültség fázisban van, a tápforrásból nincs eddő teljesítény felvétel Az induktivitás energiája teljes egészében átalakul kapacitív energiává és fordítva Az induktivitáson és a kapacitáson eső feszültség inden

12 pillanatban egegyezik egyással és ellentétes előjelű, a kettő eredője zérus, így rövidzárként viselkedik A pillanatértékekre: u (t)=x =-X =u (t) ezért u (t)+u (t)=0, illetve p (t)=u (t)=-u (t)=-p (t), p (t)+p (t)=0 A rezonancia jellezője a rezonancia frekvencia, ainek jelölése f r, f 0 vagy f s, vagy a rezonancia körfrekvencia ω r, ω 0 vagy ω s Száításuk a reaktanciák egyezése alapján: ω 0 =, aiből ω 0 = vagy ω 0 = és f0 = ω 0 π Az összefüggésekből láthatóan akár az induktivitás, akár a kapacitás növelésével a rezonancia frekvencia csökken, fordított feladatnál pedig inél alacsonyabb a szükséges rezonancia frekvencia, annál nagyobb induktivitás és kapacitás értékeket kell választani X X f f 0 A rezonancia frekvencia értelezése 7 Párhuzaos - kör A feszültség indkét eleen azonos, ut i t di t = =, dt az áraok összeadódnak a csoóponti törvény szerint =i (t)+i (t), it = ut + utdt i (t) i (t) X Váltakozó feszültségforrásra kapcsolt párhuzaos - kör vázlata Ha a tápfeszültség szinusz függvény szerint változik, = sinωt, ϕ u =0, akkor az előző egyenletből: it = sinω t cosω t = ( Gsinω t B cosω t) = ω ( ) sin( ) = Y sin ω t + ϕ = I ω t + ϕ Itt ϕ=ϕ i - a fázisszög, az eredő ára fázishelyzete a feszültséghez képest,

13 B = ω - az induktív vezetés (induktív szuszceptancia), értékegysége [B ]=S Sieens i (t) i (t) Párhuzaos - kör feszültségének és áraainak időfüggvénye Gsinωt-B cosωt=ysin(ωt+ϕ), ωt=0 esetén -B = Ysinϕ, ωt=π/ esetén G= Ysin(π/+ϕ u )= Ycosϕ Az utóbbi két egyenlet hányadosából: B = tgϕ, ebből G ω ϕ = = = arctg B arctg arctg, G ω a két egyenlet négyzetének összegéből: G +B = Y Y = G + B az árakör látszólagos vezetése, adittanciája, [Y]=S Sieens A párhuzaos - kör fázisszöge negatív, az eredő ára ϕ szöggel késik a feszültséghez képest ϕ G - B Y = G + B A G konduktivitás, a B szuszceptancia és az Y adittancia összefüggésének illusztrálása 3

14 fordítottan arányos a frekvenciával és az in- Az induktív szuszceptancia B = = ω π f duktivitással B f Az induktív szuszceptancia frekvencia-függése A teljesítény pillanatértéke: pt = ut it = Gsinω t B cosω t sinω t= ( ) cos ω t sin ω t = Gsin ω t B cosω t sinω t = G B, részletezve: cos ω t az ellenállás teljesíténye: p t = G, sin ω t az induktivitás teljesíténye: p t = B p(t) p (t) p (t) Párhuzaos - kör feszültségének és teljesítényeinek időfüggvénye A teljesítény középértékének különböző alakjai: P G eff = = = = I cosϕ, a eddő teljesítény: Q B eff = = = = I sin( ϕ ) X X 4

15 8 Párhuzaos - kör A feszültség indkét eleen azonos, ut = i t = i t dt, az áraok összeadódnak a csoóponti törvény szerint =i (t)+ i (t) vagy ut du t it = + u t dt + dt i (t) i (t) X Váltakozó feszültségforrásra kapcsolt párhuzaos - kör vázlata Ha a tápfeszültség szinusz függvény szerint változik, = sinωt, ϕ u =0, akkor az előző egyenletből: it = sinω t + ω cosω t = ( Gsinω t + B cosω t) = = Ysin ω t + ϕ = I sin ω t + ϕ ( ) ( ) i (t) i (t) Párhuzaos - kör feszültségének és áraainak időfüggvénye Itt ϕ=ϕ i - a fázisszög, az eredő ára fázishelyzete a feszültséghez képest, B =ω - a kapacitív szuszceptancia ω ϕ = arctg B = = ω G arctg arctg, a párhuzaos - kör fázisszöge pozitív, az eredő ára ϕ szöggel siet a feszültséghez képest 5

16 Y = G + B B ϕ G A G konduktivitás, a B szuszceptancia és az Y adittancia összefüggésének illusztrálása A kapacitív szuszceptancia arányos a frekvenciával és a kapacitással B f A kapacitív szuszceptancia frekvencia-függése A teljesítény pillanatértéke: pt = ut it = Gsinω t+ B cosω t sinω t= ( ) cos ω t sin ω t = Gsin ω t + B cosω t sinω t = G + B, részletezve: p(t) p (t) p (t) Párhuzaos - kör feszültségének és teljesítényeinek időfüggvénye cos ω t az ellenállás teljesíténye: p t = G, 6

17 sin ω t az induktivitás teljesíténye: p t = B A teljesítény középértékének különböző alakjai: P G eff = = = = I cosϕ, a eddő teljesítény: B eff Q = = = = I sin( ϕ ) X X 9 Párhuzaos -- kör A feszültség indháro eleen azonos ut i t di t = dt i t dt = =, az áraok összeadódnak a csoóponti törvény szerint =i (t)+i (t)+i (t) vagy ut du t it = + u t dt + dt i (t) i (t) i (t) X X Váltakozó feszültségforrásra kapcsolt párhuzaos -- kör vázlata Ha a tápfeszültség szinusz függvény szerint változik, = sinωt, ϕ u =0, akkor az előző egyenletből: it = sinω t cosω t + ω cosω t = sinω t + ω cosω t = ω ω ( sin cos ) sin( ) sin( ) = G ω t + B ω t = Y ω t + ϕ = I ω t + ϕ Y = G + B B= B - B ϕ G A G konduktivitás, a B szuszceptancia és az Y adittancia összefüggésének illusztrálása Itt ϕ - a fázisszög, az eredő ára fázishelyzete a feszültséghez képest, 7

18 B = ω = B B - az eredő szuszceptancia ω Gsinωt+Bcosωt=Ysin(ωt+ϕ), ωt=0 esetén B= Ysinϕ, ωt=π/ esetén G= Ysin(π/+ϕ u )= Ycosϕ Az utóbbi két egyenlet hányadosából: B G = tgϕ, ebből ω ω ω ϕ = arctg B = = G arctg arctg, ω a két egyenlet négyzetének összegéből: G +B = Y Y = G + B az árakör látszólagos vezetése, adittanciája, [Y]=S Sieens i (t) i (t) i (t) Párhuzaos -- kör feszültségének és áraainak időfüggvénye Gsinωt+Bcosωt=Ysin(ωt+ϕ), ωt=0 esetén B= Ysinϕ, ωt=π/ esetén G= Ysin(π/+ϕ u )= Ycosϕ Az utóbbi két egyenlet hányadosából: B G = tgϕ, ebből ω ω ω ϕ = arctg B = = G arctg arctg, ω a két egyenlet négyzetének összegéből: G +B = Y Y = G + B az árakör látszólagos vezetése, adittanciája Mivel ϕ u =0, az ára fázisszöge a feszültséghez képest ϕ > 0, ha B > 0, azaz ω > ω - az eredő ára siet a feszültséghez képest (- jellegű), 8

19 ϕ = 0, ha B = 0, azaz ω = ω - az eredő ára fázisban van a feszültséggel ( jellegű), ϕ < 0, ha B < 0, azaz ω < ω - az eredő ára késik a feszültséghez képest (- jellegű) A teljesítény pillanatértéke: pt = ut it = Gsinω t+ Bcosω t sinω t= ( ) cos ω t sin ω t = Gsin ω t + Bcosω t sinω t = G + B, részletezve: cos ω t az ellenállás teljesíténye: p t = G, sin ω t az induktivitás teljesíténye: p t = B, sin ω t a kapacitás teljesíténye: p t = B A p (t) hatásos teljesítény inden pillanatban pozitív, középértéke P=I p (t) és p (t) kétszeres frekvenciával leng, középértéke zérus, az eredőjük a kettő összege: sin ω t qt = p t + p t = ( B B) p(t) p (t) p (t) p (t) Párhuzaos -- kör feszültségének és teljesítényeinek időfüggvénye A teljesítény középértékének különböző alakjai: P G eff = = = = I cosϕ, a eddő teljesítény: ( ) Q B B = = I sin( ϕ ) Párhuzaos árakörben párhuzaos rezonanciáról és párhuzaos rezgőkörről beszélünk Jelen árakörben a rezonancia feltétele: B = ω = = B, vagy X =X ω 9

20 ezonancia esetén Y=G (ivel B -B =0), az ára és a feszültség fázisban van, a tápforrásból nincs eddő teljesítény felvétel Az induktivitás energiája teljes egészében átalakul kapacitív energiává és fordítva Az induktivitáson és a kapacitáson folyó ára inden pillanatban egegyezik egyással és ellentétes előjelű, a kettő eredője zérus, így szakadásként viselkedik A párhuzaos rezgőkör sajátfrekvenciája és sajátkörfrekvenciája ugyanúgy száítható, int a soros körben 0