14 A Black-Scholes-Merton modell. Options, Futures, and Other Derivatives, 8th Edition, Copyright John C. Hull

Méret: px

Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "14 A Black-Scholes-Merton modell. Options, Futures, and Other Derivatives, 8th Edition, Copyright John C. Hull"

Lilla Szalai
7 évvel ezelőtt
Látták:

1 14 A Black-choles-Merton modell Copyright John C. Hull 01 1

3 Részvényárak viselkedése (feltevés!) Részvényár: μ: elvárt hozam : volatilitás Egy rövid Δt idő alatt a hozam normális eloszlású véletlen változó: ( ) μδt Δt Δ φ, Copyright John C. Hull 01 3

4 Lognormális áreloszlás: Minthogy G = ln általánosított Wiener folyamat: Copyright John C. Hull 01 4 azaz 0 0, ln ln, ln ln μ φ μ φ

5 Lognormális áreloszlás: E( ) = e μ μ var ( ) = e ( e 1) 0 0 Copyright John C. Hull 01 5

6 Folytonosan jóváírt hozam Copyright John C. Hull = 0 0 μ φ = x x e x, ln

7 Folytonosan jóváírt hozam A részvényár várható értéke: 0 e μ Ezzel szemben a hozam várható értéke: μ / Magyarázat: ln[ E( / 0)] E[ln( / 0)] [ E ( )] = ln( ) μ > E[ ln( )] ln 0 Copyright John C. Hull 01 7

8 μ és μ / μ a hozam várható értéke egy nagyon rövid Δt időtartam alatt (jóváírás Δt után) μ / isa várható hozam egy hosszú időtartamra folytonos (illetve Δt gyakoriságú) jóváírással Copyright John C. Hull 01 8

9 Befektetési alapok hozama: Éves hozamok: 15%, 0%, 30%, 0%, 5% (1 éves jóváírás) zámtani átlag: 14% 100 x 1.15 x 1. x 1.3 x 0.8 x 1.5 = x = 19.5 (!!!) 100 x = zámtani átlag (14%) felel meg μ-nek Geometriai átlag (1.4%) felel meg μ /-nek Copyright John C. Hull 01 9

10 Volatilitás Folytonos jóváírással meghatározott 1 éves hozam standard szórása Egy rövid Δt időtartamra ez közelítőleg Δt Ha az ár $50 és a volatilitás 5% évente: 1nap 1keresk.na p = Δt = Δt 1 30 = 1.57% = % Copyright John C. Hull 01 10

11 Volatilitás becslés historikus adatokból 1. Ár adatsorok: 0, 1,..., n (τ gyakoriság, pl. τ = 1/5 heti záró árakra). Hozam minden egyes lépésre: i ui = ln i1 3. tadard szórás s az összesített u i adatokra s 1 n 1 4. Wiener tulajdonság miatt: = ( u ) n i = i u 1 Copyright John C. Hull 01 ˆ = s τ 11

12 Black-choles-Merton alapfeltevések A részvény és a részvényopció bizonytalansága ugyanazon tényezőkön alapul (μ és konstans). udunk rizikómentes portfóliót alkotni részvényből és részvény opcióból. A portfólió hozama rövid távon a rizikómentes befektetés hozamával egyezik meg. Folytonos kereskedés, nincs osztalék, a kamatláb lejárattól független. Nincs adó és tranzakciós költség. Copyright John C. Hull 01 1

13 Black-choles differenciálegyenlet Copyright John C. Hull részvény : opció 1 : ½ ƒ z ƒ t ƒ t ƒ ƒ ƒ z t μ μ Δ Δ = Δ Δ Δ = Δ f a call opció ára, -től függ z = ε t mindkét egyenletben azonos!!

14 Black-choles differenciálegyenlet A portfólió értéke, Π Π = ƒ ƒ Változás Δt alatt ΔΠ = Δƒ ƒ Δ Copyright John C. Hull 01 14

15 Copyright John C. Hull 01 : és Helyettesítés, - hozam kockázatmentes Alapfeltevés : a rƒ ƒ ½ ƒ r t ƒ ƒ t f f r f f t r = Δ Δ Δ = Δ Δ ΠΔ ΔΠ = Black-choles differenciálegyenlet

16 Black-choles differenciálegyenlet Bármilyen származtatott termék ára a B egyenlet megoldása. Egy adott termék: peremfeltételek Pl.: határidős szerződés ára ƒ = K a lejárati időben (t =) Behelyettesítés után a megoldás: ƒ= Ke r ( t ) Copyright John C. Hull 01 16

17 Black-choles-Merton árazás Copyright John C. Hull d r K d r K d d N d N K e p d N K e d N c r r = = = = = ) / ( ) / ln( ) / ( ) / ln( ) ( ) ( ) ( ) (

18 N(x) függvény N(x) annak a valószínűsége, hogy a véletlen változó kisebb x-nél (kumulatív valószínűség eloszlás) Copyright John C. Hull 01 18

19 Black-choles-Merton árazás Ha 0 extrém nagy értékű, c tart 0 Ke -r árhoz, és p nullához Fordítva: 0 alacsony értékénél c nullához tart, p határértéke Ke -r 0 Copyright John C. Hull 01 19

20 Kockázatmentes értékelés Az elvárt hozam, μ, nincsen benne a Black- choles-merton egyenletben! Kockázat-preferenciától teljesen független. Copyright John C. Hull 01 0

21 Kockázatmentes értékelés 1. Alapfeltevés: a részvények hozama megegyezik a kockázatmentes kamat-hozammal.. zámoljuk az opció hozamát. 3. Diszkontálás: kockázatmentes kamatláb. Copyright John C. Hull 01 1

22 Példa: határidős ügylet Elszámolásnál: K Kockázatmentes esetben: 0 e r K Jelenérték: e -r [ 0 e r K]= 0 Ke -r Copyright John C. Hull 01

23 VIX &P500 volatilitás index Copyright John C. Hull 01 3

Hasonló dokumentumok

8-9 Opciós piacok. Options, Futures, and Other Derivatives, 8th Edition, Copyright John C. Hull 2012 1

8-9 Opciós piacok. Options, Futures, and Other Derivatives, 8th Edition, Copyright John C. Hull 2012 1 8-9 Opciós piacok 1 Opció típusok Call: vételi jog Put: eladási jog Európai opció: csak lejáratkor érvényesíthető Amerikai opció: lejáratig bármikor érvényesíthető Pozíciók: long call, long put (vételi